高考题:_第5章_平面向量.解三角形_第一节_平面向量2
第五章 平面向量、解三角形
第一节 平面向量
一、选择题
1.(2010湖南文)6. 若非零向量a,b满足|a||b|,(2ab)b0,则a与b的夹角为 A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
uur
2.(2010全国卷2理)(8)VABC中,点D在AB上,CD平方ACB.若CBa,uuruuurCAb,a1,b2,则CD
(A)
b
555
3.(2010辽宁文)(8)平面上O,A,B三点不共线,设OAa,OBb,则OAB的面积
3a
3
3a
3
5a
a
12
b (B)
21
b (C)
34
b (D)
43
等于
(A
(B
(C
(D
4.(2010辽宁理)(8)平面上O,A,B三点不共线,设OA=a,OBb,则△OAB的面积等于
5.(2010全国卷2文)(10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若CB= a , CA=
b , (A)
a
13
= 1 ,ba +
23
= 2, 则CD=
23
b (B)a +
13
b (C)
11
35
a +
45
b (D)
45
a +
35
b
6.(2010安徽文)(3)设向量a(1,0),b(,),则下列结论中正确的是
22
(A)a
b (B)ab
2
(C)a//b (D)ab与b垂直
7.(2010重庆文)(3)若向量a(3,m),b(2,1),ab0,则实数m的值为
32
32
(A) (B)
(C)2 (D)6
8.(2010重庆理)(2) 已知向量a,b满足ab0,a1,b2,,则2ab
A. 0 B. C. 4 D. 8
9.(2010山东文)(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a(m,n),
b(p,q),令abmqnp,下面说法错误的是
(A)若a与b共线,则ab0 (B)abba
(C)对任意的R,有(a)b(ab) (D)(ab)2(ab)2|a|2|b|2
10.(2010四川理)(5)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,
2
BC16,ABACABA则CAM
2
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1解析:由BC=16,得|BC|=4
11.(2010天津文)(9)如图,在ΔABC中,AD
AB,BC
BD,AD1,则
ACAD=
2
3
(A
)(B
13.(2010福建文)
(C
(D
14.(2010全国卷1文)(11)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PAPB的最小值为
(A) 4
3
4
32
15.(2010四川文)(6)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC16,
ABACABAC,则AM
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1
16.(2010湖北文)8.已知ABC和点M满足MAMBMC0.若存在实m使得
AMACmAM成立,则m=
A.2 B.3 C.4 D.5
17.(2010山东理)(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的a=(m,n),b(p,q),令ab=mq-np,下面说法错误的是( )
A.若a与b共线,则ab=0 B.ab=ba
2222
C.对任意的R,有(a)b=(ab) D. (ab)+(ab)=|a||b|
uuuruuur
18.(2010湖南理)4、在RtABC中,C=90°AC=4,则ABAC等于
A、-16 B、-8 C、8 D、16
20.(2010湖北理)5.已知ABC和点M满足MAMB+MC0.若存在实数m使得
ABACmAM成立,则m=
A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题
1.(2010上海文)13.在平面直角坐标系中,双曲线
的中心在原点,它的一个焦点坐标为
0),e1(2,1)、e2(2,1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上
的点P,若OPa1eb,则a、b满足的一个等式是 e(a、bR)2
4ab。
2.(2010浙江理)(16)已知平面向量,(0,)满足1,且与的夹角为120°,则的取值范围是__________________ .
3.(2010陕西文)12.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)若(a+b)∥c,则
m= .
4.(2010江西理)13.已知向量a,b满足a1,b2, a与b的
夹角为60°,则ab
5.(2010(17ABCD中,O是AC与BD的交点,P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点,在APMC中任取一点记为E,在B、Q、N、D中任取一点记为F,设G为满足向
量OGOEOF的点,则在上述的点G组成的集合中的点,落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为 。
6.(2010浙江文)(13)已知平面向量,,1,2,(2),则2a的值是
7.(2010天津理)(15)如图,在ABC中,AD
AB,BC
,
AD1,则ACAD .
rr
8.(2010广东理)10.若向量a=(1,1,x), b=(1,2,1), rrrr
c=(1,1,1),满足条件(ca)(2b)=-2,则x三、解答题
1.(2010江苏卷)15、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足(ABtOC)·OC=0,求t的值。
2009年高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a(=x,1) ,b(=-x,x2), 则向量ab ( ) A平行于x轴 C.平行于y轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
D.平行于第二、四象限的角平分线
2.(2009广东卷理)一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处
于平衡状态.已知F1,且F1,则F3的大小为( )
F2成60角,F2的大小分别为2和4,
A. 6 B. 2 C.
3.(2009浙江卷理)设向量a,b满足:|a|3,|b|4,ab0.以a,b,ab的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A.3 B.4 C.5
D.6
4.(2009浙江卷文)已知向量a(1,2),b(2,3).若向量c满足(ca)//b,
c(ab),则c
5.(2009北京卷文)已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab,如果c//d 那么
( )
A.(,) B.(
9377
73,79
) C.(
7777
,) D.(,) 3993
( )
A.k1且c与d同向 B.k1且c与d反向 C.k1且c与d同向 D.k1且c与d反向
6.(2009北京卷文)设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合,点P0是P1P2P3的中心,
若集合S{P|PD,|PP0||PPi|,i1,2,3},则集合S表示的平面区域是 ( ) A. 三角形区域 C. 五边形区域
B.四边形区域
D.六边形区域
7.(2009北京卷理)已知向量a、b不共线,ckab(kR),dab,如果c//d,那
么 ( )
A.k1且c与d同向 B.k1且c与d反向 C.k1且c与d同向 D.k1且c与d反向
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点,BCBA2BP,则( ) A.PAPB0 B.PCPA0 C.PBPC0 D.PAPBPC0
9.(2009全国卷Ⅱ文)已知向量a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱
= b ︱=
10.(2009全国卷Ⅰ理)设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则acbc的最 小值为
( )
A.2
2 11.(2009湖北卷理)已知
C.
1 D.1
P{a|a(1,0)m(0,1),mR},Q{b|b(1,1)n(1,1),nR}是两个向量集合,
则PIQ
( )
A.{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}
12.(2009全国卷Ⅱ理)已知向量a
2,1,ab10,|ab|,则|b| ( )
5 D. 25
( )
13.(2009辽宁卷理)平面向量a与b的夹角为60,a(2,0)b1 则a2b
14.(2009宁夏海南卷理)已知O,N,P在ABC所在平面内,且
OAOBOC,NANBNC0,APB且P
PBPCPCPA,则点O,
( )
N,P依次是ABC的
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心
B.重心 外心 内心
D.外心 重心 内心
( )
15.(2009湖北卷文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
16.(2009湖南卷文)如图1, D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则( ) A.ADBECF0 B.BDCFDF0 C.ADCECF0
AC
BD.BDBEFC0E
17.(2009辽宁卷文)平面向量a与b的夹角为600,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |
等于
( )
C.4 D.12
18.(2009全国卷Ⅰ文)设非零向量a、b、c满足|a||b||c|,abc,则a,b( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
19.(2009陕西卷文)在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足学PA2PM,
则PA(PBPC)等于
43
49
( )
A.
49
B.
43
C. D.
20.(2009宁夏海南卷文)已知a3,2,b1,0,向量ab与a2b垂直,则实
数的值为 A.
)
17
(
B.
17
C.
16
D.
16
( )
21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,“a//b”的正确是
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
22.(2009福建卷文)设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且
满足a与b不共线, ac ∣a∣=∣c∣,则∣b •c∣的值一定等于 ( )
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
B. 以b,c为两边的三角形面积
C.a,b为两边的三角形面积
D. 以b,c为邻边的平行四边形的面积
23.(2009重庆卷理)已知a1,b6,a(ba)2,则向量a与向量b的夹角是( )
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
24.(2009重庆卷文)已知向量a(1,1),b(2,x),若a+b与4b2a平行,则实数x的值是
( ) A.-2
B.0
6
C.1 D.2
25.(2009湖北卷理)函数ycos(2x
)2的图象F按向量a平移到F',F'的函数解
析式为yf(x),当yf(x)为奇函数时,向量a可以等于
A.(
D.(
( )
6
,2) B.(
6
,2)
6)2
C.(
6
,2)
6
,2)
26.(2009湖北卷文)函数ycos(2x的图像F按向量a平移到F/,F/的解析式y=f(x),
6
当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于
( )
6,2)
A.(,2) B.(,2) C.(
6
6
,2) D.(
26.(2009广东卷理)若平面向量a,b
1,ab平行于x轴,b(2,1),B
则a .
o
27.(2009江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30,|a|2,|b|则向量ab
数量积ab= .
A P o
28.(2009安徽卷理)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为 120 .
如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.
若OCxOAyOB,其中x,yR,则xy
C
的最大值是________.
29.(2009安徽卷文)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC
的中点,或
=
+
,其中
,
R ,则
+
= _________.
30.(2009江西卷文)已知向量a(3,1),b(1,3), c(k,2),若(ac)b 则
k.
31.(2009江西卷理)已知向量a(3,1),b(1,3),c(k,7),若(ac)∥b,则
k.
32.(2009湖南卷文)如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若
ADxAByAC,
则 x ,y
.
图2
33.(2009辽宁卷文)在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为___________.
34.(2009年广东卷文)(已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直,其中(0,(1)求sin和cos的值
,求cos的值
2
35.(2009江苏卷)设向量a(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin)
(1)若a与b2c垂直,求tan()的值;
(2)求|bc|的最大值;
(3)若tantan16,求证:a∥b.
2
)
(2)若5cos()35cos,0
36.(2009广东卷理)已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直,其中(0,
2).
(1)求sin和cos的值; (2
)若sin()
10
0
2
,求cos的值.
37.(2009湖南卷文)已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).
(1)若a//b,求tan的值;
(2)若|a||b|,0,求的值。
38.(2009湖南卷理) 在ABC,
已知2ABAC
2
求角A,B,AC3BC,
C的大小.
39.(2009上海卷文) 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m(a,b),
n(sinB,sinA),p(b2,a2) .
(1) 若m//n,求证:ΔABC为等腰三角形; (2) 若m⊥p,边长c = 2,角
ΔABC的面积 .
2008年高考题
一、选择题
△ABC1.(2008全国I)在中,ABc,ACb.若点D满足BD2DC,则AD
( )
33
2.(2008安徽)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若AB(2,4),AC(1,3),
A.
23
b
13
c B.
53
c
23
b C.
23
b
13
c D.b
12
c
则BD
( )
A. (-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
3.(2008湖北)设a(1,2),b(3,4),c(3,2)则(a2b)c ( )
A.(15,12) B.0 C.3 D.11 4.(2008湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且
DC2BD,CE2EA,AF2FB,则ADBECF与BC
( )
A.反向平行 C.互相垂直
B.同向平行
D.既不平行也不垂直
5.(2008广东)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE
的延长线与CD交于点F.若ACa,BDb,则AF
1
( )
23b
A.
14
a
12
b B.
23
a
13
b C.
12
a
14
b D.a
3
6.(2008浙江)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足
(ac)(bc)0,则c的最大值是
( )
22
A.1 B.2 C.2 D.二、填空题
1.(2008陕西)关于平面向量a,b,c.有下列三个命题:
①若ab=ac,则bc.②若a(1,k),b(2,6),a∥b,则k3. ③非零向量a和b满足|a||b||ab|,则a与ab的夹角为60.
其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
b2且a与b的夹角为,b满足a12.(2008上海)若向量a,则ab .
3
3.(2008全国II)设向量a(1,2),b(2,3),若向量ab与向量c(4,7)共线,
则
4.(2008北京)已知向量a与b的夹角为120,且ab4,那么b(2ab)的值为
5.(2008天津)已知平面向量a(2,4),b(1,2).若ca(ab)b,则
|c|_____________.
20.(2008江苏)a,b的夹角为120,a1,b3 则5ab .
第二部分 两年联考题汇编
2010年联考题
题组二(5月份更新)
1.(池州市七校元旦调研)设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则acbc的最小值为 ( )
(A)2 (B
2 (C)
1 (D)1答案 D
2
解: a,b,c是单位向量acbcab(ab)
cc
1|ab||c|1
ab,c1
D.
2.(肥城市第二次联考)设、、为平面,m、n为直线,则m的一个充分条件是( ).
A.,n,mn B.m,, C.,,m D.n,n,m 答案 D
解析: A选项缺少条件m;B选项当//,时,m//;C选项当
、、(看着你现在所在房间的天花板上的墙角), 两两垂直m时,m;
D选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D). 3. (马鞍山学业水平测试)已知向量a是
A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和10 答案 A
4.(肥城市第二次联考)(肥城市第二次联考)自圆x2+y2-2x-4y+4=0外一点P(0,4)向圆引两条切线,切点分别为A、B,则
PAPB等于( ) 125
65
(2,3,5)与向量b(4,x,y)
平行,则x,y的值分别
(A) (B)5
5
答案 A
解析:设PA、PB的夹角为2
,则切线长|PA||PB|
2,结合圆的
5
对称性,cos
12
cos2,所以PAPB=。
55
3
5. (马鞍山学业水平测试)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若
A1B1a
,A1D1
12
b
,A1A
c
, 则下列向量中与B1M相等的向量是
12
A.
12
abc
B.
a
12
bc
C.
12
a
12
bc
D.
12
a
12
bc
答案 D
6.(祥云一中月考理)若向量a、b满足ab(2,1),a(1,2),则向量a与b的夹角等于 ( )
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
答案:D
7. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知 |a|6,|b|3,ab12,则向量a在向量b方向上
的投影是( )
A.4 B.4 C.2 D.2 答案A
8. (三明市三校联考)若e1,e2是夹角为的单位向量,且a2e1e2,b3e12e2,
3
则ab ( )
A.1 B. 4 C. 答案C
72
D.
72
9
.(昆明一中二次月考理)已知向量为 ( )
,若∥,则的值
A.答案:D 10.
B. C. D.
向量
a(1,1),b(1,1),c(2cos,2sin)(R),实数m,n满足manbc,则
2
2
(昆明一中三次月考理)已知
(m3)n的最大值为
A.2 B.3 答案:D
11.(安庆市四校元旦联考)已知圆(x2)2y29和直线ykx交于A,B两点,O是坐标
原点, 若OA2OBO,则|AB| . 答案
C.4 D.16
12. (祥云一中三次月考理)若向量a,b11且a与b的夹角为,则
3
3 ab
答案:
13. (祥云一中三次月考理)若向量a,b11且a与b的夹角为,则
3
答案:7
14.(本小题满分12分)设向量向量的直线与经过点
,以向量
,过定点
,以
方向
为方向向量的直线相交于点P,其中
(1)求点P的轨迹C的方程; (2)设过
的直线与C交于两个不同点M、N,求
的取值范围
题组一(1月份更新)
一、选择题
1、(2009杭州二中第六次月考)已知C为线段AB上一点,P为直线AB外一点,满足
PAPCPBPC
,I为PC上一点,且 PAPB2,PAPB,PAPB
ACBIBA(
AC
APBIBA)(0),则的值为 ( ) APBA
A.5 B. 2
C. 51 D. 0 答案 C
2、(2009滨州一模)已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点,且|OAOB||OAOB|,其中O为原点,则实数a的值为
A
B
A.2 B.-2 答案 C
4(2009玉溪一中期末)已知向量
OA,OB
C.2或-2 D
或
满足
|OA||OB|1
,OAOB0,
OCOAOB (,R)若M为AB的中点,并且|MC|1,则点(,)在
( )
A.以(B.以(
12
11
,)为圆心,半径为1的圆上 22,1212,
)为圆心,半径为1的圆上
12
C.以(D.以(答案D
)为圆心,半径为1的圆上
11
,)为圆心,半径为1的圆上 22
1
提示:由于M是中点,ABC中,OM(OAOB),
2
11
MCOCOM()OA()OB1,
22
21111
所以()OA()OB1,所以()2()21
2222
4、(2009东莞一模)已知 a,b是不共线的向量
,若AB1ab,ACa2b(1,2R),则A、B、C三点共
线的充要条件为 A.121 答案 C
2nis)a
5、(2009日照一模)已知向量OC=(2,2),CAa
B121 C.1210 D.1211
,则向量OA的
模的最大值是
A.
3 B
D.18 答案 B
6、(2009上海八校联考)已知AB(k,1),AC(2,4),若k为满足|AB|4的整数,
则ABC是直角三角形的整数k的个数为( )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)7个
答案 C
7、(2009桐庐中学下学期第一次月考)已
0,且关于x的函数
f
x
13x
3
abx在R上有极值,则a 与b的夹角范围是 ( )
2
A.0,
2
B., C., D., [高考学习网] 66333
答案 C
8、(2009聊城一模)
在ABC中,已知向量AB(cos18,cos72),BC(2cos63,2cos27),则ABC的面
积等于 A.
22
B.
24
C.
32
( )
D.2
答案A
1x
9、(2009番禺一模)设P是双曲线y上一点,点P关于直线yx的对称点为Q,点
O为坐标原点,则OPOQ( ).
A.1 B.2 C.3 D.0 答案 B
10、(2009聊城一模)已知在平面直角坐标系
2OMOA2,
xOy中,O(0,0),A(1,2),B(1,1),C(2,1),动点M(x,y)满足条件
1OMOB2,
则OMOC的最大值为 A.-1 答案D
B.0
C.3
( ) D.4
12
11、(2009广州一模)已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OBOAOC,则
33
|AB|:|BC|
A.1:3 B.3:1 C. 1:2 D. 2:1 答案 D
12、(2009茂名一模)已知向量a(2,1),ab(1,k),若ab,则实数k等于( )
A、
12
B、3 C、-7 D、-2
13、(2009韶关一模理)若OA=a,OB=b, 则∠AOB平分线上的向量OM为 A.
a|a|
b|b|
B.(
a|a|
b|b|
),由OM确定
C.
ab|ab|
D.
|b|a|a|b|a||b|
答案 B
14、(2009韶关一模文)已知a3,1,b1,2,若2ab∥akb,则实数k的值是
A. -17 B. 答案 B 12
C.
1918
D.
53
311
15、(2009玉溪一中期中)7.已知a,2sin,bcos,,且a与b平行,则
232
锐角的值为 ( )
A.
答案B
8
B.
6
C.
4
D.
3
16、(2009玉溪一中期中)已知P1P21,点P在P1P2延长线上,且PP22,则点P分
P1P2所成的比是 ( )
A.2 B.
答案 C
17、(2009玉溪一中期中)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动
点,APAB,若OPABPAPB,则实数的取值范围是 ( )
1
1
12
C.-
32
D.-
23
A.2
1
2
1
1
B.
C. 2
1
2 D.
1
2
1
2
答案B
二、填空题
1、(2009上海普陀区)设e1、e2是平面内一组基向量,且ae12e2、be1e2,则
向量e1e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合,即e1e2 a b.
答案
23
,
13
;
,02、(2009上海十校联考)已知平面上直线l的方向向量d3,4,点O0
在l上的射影分别是O1和A1,则O1A1________________
和A4,2
答案4
3、(2009上海卢湾区4月模考)在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A、B、C三
点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数,使得OCOA(1)OB成
立,此时称实数为“向量OC关于OA和OB的终点共线分解系数”.若已知P1(3,1)、
P2(1,3),且向量OP3是直线l:xy100的法向量,则“向量OP3关于OP1和
OP2的终点共线分解系数”为 .
答案 -1
4、(2009
上海九校联考)若向量a,b 满足a
b2,(ab)a,则向量a与b的夹
角等于 答案
4
2
5、(2009
直,则= 。 答案 2 三、解答题
2
,a与b的夹角为45,要使ba与a垂
1、(2009
滨州一模)已知向量a(1,cosx
x),b(f(x),cosx),
3
其中>0,且ab,又f(x)的图像两相邻对称轴间距为.
2
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ) 求函数f(x)在[-2,2]上的单调减区间.
(Ⅰ) 由题意ab0
f(x)cosx(cosx
1cos2x
212
x)
2
sin(2x
6
)
13
由题意,函数周期为3,又>0, (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x) 2k 3k
22x3
12sin(
2x3
;
62
) ,kz
6
2k
3
2
x3k2,kz
又x2,2,f(x)的减区间是2,
2,2
.
2、(2009南华一中12月月考)已知A、B、C的坐标分别为A(4,0),(0,B4),C(3cos,3sin). (1)若(,0)且|AC||BC|,求角的值;
2sinsin2
1tan
2
(2)若ACBC0,求的值.
解: AC(3cosa4,3sin),BC(3cos,3sin4), (1)由|AC||BC|得AC
2
BC,„„„„„„„„„ 2分
sincos
2
即(3cos4)29sin29cos2(3sin4)2.
(,0),
34
. „„„„„„„„„ 5分
(2)由ACBC0,得3cos(3cos4)3sin(3sin4)0,
解得sincos
2sinsin2
1tan
2
2
34
. 两边平方得2sincos
716
,„„„ 7分
2sin2sincos
1
sincos
x4
2sincos
716
.„„„„ 10分
3、(2009临沂一模)已知向量m
(1)若m•n=1,求cos(
23
x)的值;
,1),n=(cos
x4
,cos
2
x4
)。
(2)记f(x)=m•n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足 (2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围。 解:(I)m•
n=2
x4cos
x4cos
2
x4
=x2
x2
12
cos12
x2
12
=sin( ∵m•n=1 ∴sin(
x2
6
)
6
)
12
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
3
2
cos(x)12sin(12
x2
6
)
= cos(
23
3)
12
x)cos(x┉┉┉┉┉┉┉6分
(II)∵(2a-c)cosB=bcosC
由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC┉┉┉┉┉┉7分 ∴2sinAcosBsinCcosBsinBcosC
∴2sinAcosBsin(BC) ∵ABC
∴sin(BC)sinA,且sinA0 ∴cosB∴0A∴
6A2
12,B
3
┉┉┉┉┉┉8分
23
┉┉┉┉┉┉9分
6
1
22,
sin(x2
A2
6
)1┉┉┉┉┉┉10分 12
又∵f(x)=m•n=sin(∴f(A)=sin(
A2
6
),[高考学习网]
6
)
12
┉┉┉┉┉┉11分
32
故函数f(A)的取值范围是(1,)┉┉┉┉┉┉12分
2009年联考题
一、选择题
1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量
a(3,1),b(x,3),a//b,则x等于
( )
A.9 答案 B
B.1 C.-1 D.-9
2.(2009昆明市期末)在△ABC中AR2RB,CP2PR,若APmABnAC,则mn
( )
2389
79
A.C.
B
D.1
答案 B
3.(2009玉溪市民族中学第四次月考)已知向量a(m,2),b(2,4m),若a与b反向,则m=
A.-1 答案A
4.(2009上海闸北区)已知向量a和b的夹角为120,|a|2,且(2ab)a,则|b|
( )
A.6 B.7 C.8 答案 C
5.(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知a、b是不共线的
ABabACab(,R),则A、B、C 三点共线的充要条件是:()
( )
B.-2
C.0 D.1
D.9
A.1 B.1 答案 D
C.1 D.1
6.(辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试)已知向量
OA(0,2),OB(2,0),BC(2cos,2sin),则OA与OC夹角的取值范围是
A.[0,
4 ]
( ) B.[
3,23]
C.[
4
,
34
] D.[
6
,
56
]
答案 C
[高考学习网] 二、填空题
7. (山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知
2ab(1,
3),c(1,
3),且ac3,|b|4,则b与c的夹角为 .
答案 60
8.(2009
云南师大附中)设向量
答案 60 9.(2009冠龙高级中学3
_________. 答案
12
月月考)若向量a
与b
的夹角为60,ab1
AB2,AC3,ABAC
则CAB
_________
,则aab
b2,(ab)a,则向量a与b的
10.(2009
上海九校联考)若向量a,b 满足a
夹角等于 答案
4
11.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题
① 非零向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°; ② a·b>0是a、b的夹角为锐角的充要条件;
③ 将函数y=|x-1|的图象按向量a=(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为y=|x|; ④若(ABAC)·(ABAC)=0,则△ABC为等腰三角形
以上命题正确的是 。(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 答案 ①③④
12.(2009扬州大学附中3月月考)在直角坐标系xOy中,i,j分别是与x轴,y轴平行
的单位向量,若直角三角形ABC中,ABij,AC2imj,则实数m= .
答案 -2或0
13.(2009丹阳高级中学一模)已知平面上的向量PA、PB满足
2PAPB
2
4,AB2,设向量PC2PAPB,则PC的最小值是
答案 2
三、解答题
14.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知向量m
x4
,1),
x4
n=(cos,cos2
x4
)。
23
x)的值;
(1)若m•n=1,求cos(
(2)记f(x)=m•n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足 (2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围。
解 (I)m•n
2
x2
12x4cos
x4cos
2
x4
=x2
cos12
x2
12
=sin(
∵m•n=1 ∴sin(
x2
6
)
6
)
12
2
cos(x
3
)12sin(12
x2
6
)
= cos(
23
3)
12
x)cos(x
(II)∵(2a-c)cosB=bcosC
由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC ∴2sinAcosBsinCcosBsinBcosC
∴2sinAcosBsin(BC) ∵ABC
∴sin(BC)sinA,且sinA0 ∴cosB∴0A∴
6A2
12,B
3
23
6
1
22,
sin(x2
A2
6
)1 12
又∵f(x)=m•n=sin(
6
),
A2
∴f(A)=sin(
6
)
12
32
故函数f(A)的取值范围是(1,)
15.(2009
牟定一中期中)已知:ax,cosx),b(cosx,cosx),
f(x)2ab2m1(x,mR).
(Ⅰ) 求f(x)关于x的表达式,并求f(x)的最小正周期; (Ⅱ) 若x[0,
2
]时,f(x)的最小值为5,求m的值.
解 (Ⅰ
) f(x)xcosx2cos2x2m1„„2分
2xcos2x2m
2sin(2x
6
)2m.
f(x)的最小正周期是.
(Ⅱ) ∵x[0,∴当2x
6
276
],∴2x
6
[
6
,
76
].
即x
2
时,函数f(x)取得最小值是2m1.
∵2m15,∴m3.
16.(2009玉溪一中期末)设函数
f(x)ab,其中a(2cosx,1),b(cosx,3sin2x,)(xR)
(Ⅰ)若f(x)1
3且x,,求x;
33
c(m,n)(|m|
(Ⅱ)若函数y2sinx的图象按向量
的图像,求实数m,n的值。
2
解 (1)f(x)2cosx
2
)平移后得到函数yf(x)
3sin2x3sin2xcos2x1
2sin[2xsin(2x
6
]
6
32
)
2,3
又x[
2x
]2x
6
[
5
2,6
]
6
3
x
4
(2)y2sin2x按c(m,n)平移后
为y2sin(2x2m)n而yf(x)2sin(2x
m
6
)1
12
,n1
17.(2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)已知向量
3
a(sinx,),b(cosx,1).
2
(1)当a//b时,求2cos2xsin2x的值;
(2)求f(x)(ab)b在,0上的值域.
233
解(1)a||b ,∴cosxsinx0,∴tanx
22
2cos
2
xsin2x
2cos
2
x2sinxcosx
2
sinxcos
2
x
22tanx1tan
2
x
2013
. (5分)
1
(2)
ab(sinxcosx,)
2
f(x)(ab)b
234
sin(2x
4
)
∵
2
x0,∴2x
4
4
,∴1sin(2x
4
)
2
21
f(x) ∴函数 f(x)的值域为∴, (10分) 2222
1
18.(青岛市2009年高三教学统一质量检测)已知向量
a(sin,cos),b(6sincos,7sin2cos),设函数f()ab.
(Ⅰ)求函数f()的最大值;
(Ⅱ)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,f(A)6, 且
ABC的面积为3
,bc2,求a的值.
解 (Ⅰ)f()absin(6sincos)cos(7sin2cos)
6sin2cos8sincos4(1cos2)4sin2
2
22
4
)2
f()
max
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(A
)A
2
4
)2
6,sin(2A
4
)
2
因为0A
12
,所以
4
2A
4
34
,2A
4
4
,A
4
SABC
bcsinA
4
3bc,
又bc2
abc2bccosA(bc)2bc2bc
2222
2
(22
2
2
10a19.(黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测)已知△ABC的面积S满足
3S且ABBC6,AB与BC的夹角为
(1)求的取值范围;
(2)求函数f()sin2sincos3cos的最大值
解 (1)由题意知ABBC|AB||BC|cos6.
2
2
1116
3tan; S|AB||BC|sin()|AB||BC|sin
222cos3S即33tan
1tan (2)
又[0,][
43
]
f()sin2sincos3cos1sin22cos2sin2
cos2 2
222
4
)
4,3
[],234
4
[
311
] 412
时,f()最大,其最大值为3.
当2
4
,即
4
20.(2009广东江门模拟)如图4,已知点A(1 , 1)和 单位圆上半部分上的动点B. ⑴若OAOB,求向量OB; ⑵求|OAOB|的最大值.
解 依题意,B(cos , sin),0(不含1个或2个端点也对) OA(1 , 1),OB(cos , sin) (写出1个即可)---------3分
因为OAOB,所以OAOB0 ---------4分,即cossin0-
34
解得,所以OB(
22
,
22
.
⑵OAOB(1cos , 1sin),|OAOB|(1cosθ)(1sin)
22
32(sincos)------11分
4
322sin(
4
------12分
当
时,|OAOB|取得最大值,|OAOB|max
322
21
.
21.(山东省滨州市2009年模拟)已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对
的角,向量m(sinA,sinB),n(cosB,cosA),且mnsin2C.[高考学习网] (Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA(ABAC)18,求边c的长. 解 (Ⅰ)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB) 在△ABC中,由于sin(AB)sinC,
mnsinC.
又mnsin2C,
sin2CsinC, 2sinCcosCsinC
3
又sinC0,所以cosC
12
,而0C,因此C.
(Ⅱ)由sinA,sinC,sinB成等差数列,得2sinCsinAsinB,
由正弦定理得2cab.
CA(ABAC)18,CACB18,[高考学习网]
即abcosC18,由(Ⅰ)知cosC由余弦弦定理得 c
c
2
2
2
2
2
12
,所以ab36.
2
ab2abcosC(ab)3ab,
2
4c336, c
36,
c6.
22.(山东临沂2009年模拟)如图,已知△ABC中,|AC|=1,∠ABC=
23
,∠BAC=θ,记f()ABBC。
(1) 求f()关于θ的表达式; (2) 求f()的值域。
解:(1)由正弦定理,得
|BC|sin
1sin
23
|AB|sin(
23)
|BC|
sinsin
2
3
sin(
,|AB|
2)
3
33
41
f()ABBC|AB||BC|cossinsin()
3332
sin
2
3
)
2313
2
12
sin)sin166
6) 56
sin2
16
cos2
16
sin(2
6
).(02
3
(2)由0
3
,得
6
,
∴0
1213
sin(2
6
)1, 16
1
1
sin(2
6
)
,即f()的值域为(0 ,] 66.
23.(山东日照2009年模拟)已知ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满
足(2ac)cosBbcosC。 (I)求角B的大小;
(Ⅱ)设m(sinA,1),n(1,1),求mn的最小值。
解 (I)由于弦定理
asinA
csinC
bsinB
2R,
有a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
代入(2ac)cosBbcosC,得(2sinAsinC)cosBsinBcosC。 即2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC).
ABC,2sinAcosBsinA 0A,sinA0 cosB
12
3
0B,B
(Ⅱ)mnsinA1, 由B
3
,得A(0,
2
23
)。
所以,当A
时,mn取得最小值为0,
24.(2009年宁波市高三“十校”联考)已知向量a
sinx,cosx,b
x,cosx且
b0,函数fx2ab1
(I)求函数fx的最小正周期及单调递增区间;
cos2x
(II)若ab,分别求tanx及的值。
fx1
(I)解;
- 31 -
cosx21x3si
2
f
xsixncxos2xcos
2
1
T令2k
2xcos2x2sin2x
6
2
2x
6
2k
2
,kZ
得到的单调递增区间为k
(II)
ab,则sinx
3cxoscoxs
2
3
,k
6
kZ
,xcos
2
0x
3
1
cosx2
2
1xtan13
f
x14sxin
25.(安徽省江南十校2009年高三高考冲刺)在ABC中,
AB1,AC2,BC,记AB与AC的夹角为.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)求函数f()2sin(
2
4
)
2
2
2的最大值和最小值.
2
解 (1)由余弦定理知:cos所以0cos
12
12a21
2
5a4
,
2
,又a,
(0,)[,又
2
3
2
]即为的取值范围;
(Ⅱ)f()2sin(
3,2
4
)23
22sin(2
3
)1,因为
[]
3
2,所
以
2
2sin(2
3
),1因此f()max
3,
f()min1.
- 32 -