第二章 平稳随机过程的谱分析
第二章 平稳随机过程的谱分析
本章要解决的问题：
●
随机信号是否也可以应用频域分析方法
?
● 傅里叶变换能否应用于随机信号？
● 相关函数与功率谱的关系 ● 功率谱的应用 ● 采样定理 ● 白噪声的定义
2.1 随机过程的谱分析
2.1.1 预备知识
1、付氏变换:
对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即：
满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：
其反变换为：
2、帕赛瓦等式
由上面式子可以得到：
——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数
X
X
(ω) 表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称X
2
X
(ω) 为
2
能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度
一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？
随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量
一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数x T (t):
图2.1 x (t)及其截取函数
当x(t)为有限值时，裁取函数
x T
(t)满足绝对可积条件。因此，
x T
(t)的傅里叶变换存在，有
很明显，x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达式的变化）
用2T 除上式等号的两端，可以得到
等号两边取集合平均，可以得到:
令T →∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。 交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)
lim
T →∞
12T
⎰-T E [X
T
2
(t )]dt =
lim ⎰-∞T →∞2π
1
∞
E [X X (T , ω) ]
2T
2
d ω
上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q 。再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q 。
又因为X
X
(T , ω) 非负，所以极限lim
T →∞
2
E [X
X
(T , ω) ]2T
2
必定
存在，记为S X (
ω) ：
Q =lim
T →∞
12T
⎰-T E [X
T
2
(t )]dt =
12π
⎰-∞S X (ω) d ω
∞
注意：（1）Q 为确定性值，不是随机变量
（2）S X (ω) 为确定性实函数。（见式）
● 两个结论： 1．Q =A 式中，A =lim
T →∞
2
12T
表示时间平均。它说明，随机过
程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然， Q 不是随机变量。
若随机过程为平稳的，则
Q =A =E [X (t )]＝R X (0)
这是因为均方值与时间t 无关，其时间平均为它自身。
22
由于已经对X
X
(T , ω) 求了数学期望，所以S X (ω) 不再具有
2
随机性，它是ω的确定性函数。
● 功率谱密度：S X (ω) 描述了随机过程X(t)的功率
在各个不同频率上的分布——称S X (ω) 为随机过程X(t)的功
率谱密度。
● 对S X (ω) 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得
到X(t)的功率。
● 对于平稳随机过程，则有：
E [X (t )]=
2
12π
⎰-∞S X (ω) d ω
∞
2.1.3、功率谱密度的性质
证明：
证明：
因为X
X
(T , ω) 进行了取模运算，这是ω的实函数，所以
2
S X (ω) 也是ω的实函数，且为确定性实函数。
证明：
因此：
即：
得：
证明：对于平稳随机过程，有：
E [X (t )]=
2
1
2π
⎰-∞S X (ω) d ω
∞
2.2 联合平稳随机过程的互功率谱密度
2.2.1、互谱密度
可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法
推广而来。
考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为
x (t ) 和y (t ) ，定义两个截取函数x T (t )、y T (t )为：
因为x T (t )、y T (t )都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。
在时间范围(-T，T) 内，两个随机过程的互功率Q XY (T ) 为:（注意
x T (t )、y T (t )为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）
由于x T (t )、y T (t )的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:
注意到上式中，x (t ) 和y (t ) 是任一样本函数，因此，具
有随机性，取数学期望，并令T →∞，得：
T →∞
lim E [Q XY (T )]=Q XY =lim E [
T →∞
12T
⎰-T x (t ) y (t ) dt ]
T
＝lim [
T →∞
12T
⎰-T R XY
E [X
T
(t , t ) dt ]
*
X
＝
12π
⎰-∞T lim →∞
∞
(T , ω) X Y (T , ω)]
2T
d ω
定义互功率谱密度为：
得：
同理，有：
又知
以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系。
2.2.2、互谱密度和互相关函数的关系
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。
定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度S XY (ω) 与互相关函数R XY (t , t +τ) 之间的关系为
若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有
即：
式中，A 表示时间平均。 显然：
证明：略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。
结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳) 的实随机过程，它们的
互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。
2.3.3、互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率ω的正
的、实的和偶函数。
性质1：S XY (ω) =S YX (-ω) =S YX (ω) 证明：S XY (ω) = ＝⎰ ＝⎰
∞-∞∞-∞
*
⎰-∞
∞
R XY (τ) e
-j ωτ
d τ
R YX (-τ) e R YX (τ) e
-j ωτ
d τ 令τ=-τ
*
＝S YX
j ωτ
d τ(ω)
＝⎰性
质
2
∞-∞
R YX (τ) e
-j (-ω) τ
d τ＝S YX (-ω)
；
：
Re[S XY (ω)]=Re[S XY (-ω)
Re[S YX (ω)]=Re[S YX (-ω)
证明：式中Re[·]表示实部。亦即互谱密度的实部为ω的偶函
数。
S XY (ω) =
⎰-∞
∞
∞
R XY (τ) e
-j ωτ
d τ
＝⎰
-∞
R XY (τ)[cosωτ+j sin(-ωτ)]d τ
所以：Re[S XY (ω)]
=
⎰-∞R XY
∞
(τ)
cos ωτd τ 令
τ=-τ
＝
⎰-∞R XY
∞
(-τ) cos ωτd τ
＝
Re[S XY (-ω)]
其它同理可证。 性质3：
证明：类似性质2证明。
性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有
证明：若X(t)与Y(t)正交，则R XY (t 1, t 2) =R
YX (t 1, t 2) =0 所以，S XY (ω) =S YX (ω) =0
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值m X
和m Y , 则
证明：因为
X(t)与
Y(t)不相关，所以
E [X (t 1) Y (t 2)]=m X m Y
S XY (ω) =
⎰-∞
∞
R XY (τ) e
-j ωτ
d τ＝m X m Y
⎰-∞
∞
e
-j ωτ
d
τ
＝2πm X m Y δ(ω) （注意12πδ(ω) ） 性质6：
式中，A表示时间平均。
这给出了一般的随机过程（包含平稳）的互谱密度与互相关函数的关系式。
[例2.2]
设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关
函数R XY (τ) 为:
求互谱密度S XY (ω) , S YX (ω) 解：先求S XY (ω) ：
再求S YX (ω)
2.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号：x(t) X (j ω) 。
随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。
1．定义：
若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：
这一关系就是著名的维纳—辛钦定理、或称为维纳—辛钦公式。
2. 证明：
下面就来推导这一关系式。证明方法类似式的证明。
因为：由(3.1.14)式 S X (ω) =lim
E [X
X
(T , ω) ]2T
2
T →∞
(T , ω)]
T -T
-j ωt 2
=lim
12T
T →∞
E [X
T -T
X
(T , ω) X
j ωt 1
*
X
＝lim
12T
T →∞
E [⎰
X (t 1) e
dt 1⎰
X (t 2) e dt 2]
交换积分和数学期望顺序
＝lim
12T
T →∞
⎰⎰
-T
T T -T
E [X (t 1) X (t 2)]e
-j ω(t 2-t 1)
dt 1dt 2
＝lim
T →∞
12T
⎰-T ⎰-T R X (t 2
T T
-t 1) e
-j ω(t 2-t 1)
dt 1dt 2
，t 1=
设τ=t 2-t 1，u =t 2+t 1，则t 2=
τ+u
2
u -τ2
1
1
所以：J =∂(t 1, t 2)
=2
2∂(τ, u )
-11=12 2
2
τ
τ
+τ
图2.2
则S X (ω) =lim
12{2T
T →∞
T
⎰
0d τ
⎰2T -τ
1-2T +τ
2
R X (τ) e -j ωτ
du +⎰0
1-2T
d τ
⎰2T +τ
-2T -τ
2
R X (τ) e
-j ωτ
du }
＝lim {
12T
d τ
1T →∞
2T ⎰-2T ⎰2T --2T +2
R X (τ) e
-j ωτ
du }
＝lim
1
(2T -) R
T →∞
2T
⎰2T
-2T
X (τ) e
-j ωτ
d τ
＝lim
2T
-
-j ωτ
T →∞⎰-2T
(12T
) R X (τ) e
d τ （1）
∞2T ＝⎰
-∞
R τ
X (τ) e
-j ωτ
d τ－lim
T →∞
⎰
-2T
2T
) R X (τ) e
-j ωτ
d τ (注意T →∞,
2T
→0；且τ→∞时，R X (τ) →0因此，通常情况下，第二项为0
。
＝⎰证毕。
∞-∞
R X (τ) e
-j ωτ
d τ
推论：对于一般的随机过程X(t)，有：
则
平
均
2
功率为：
lim
T →∞
12T
⎰-T E [X
T
(t )]dt =
12π
⎰-∞S X (ω
) d ω（τ＝0）——时
∞
间平均加统计平均。
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数R X (τ) 是实偶函数，
功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。
（常见的几种付氏变换关系需要记住）
[例3.3] 平稳随机过程的自相关函数为R X (τ) =Ae
-β，A>0,
β>0，求过程的功率谱密度。
解：应将积分按＋τ和－τ分成两部分进行。
解：注意此时⎰
∞－∞
R X (τ) τ不是有限值，即不可积，因此
R X (τ) 的付氏变换不存在，需要引入δ函数。
S X (ω) =
⎰-∞
∞
R X (τ) e
-i ωτ
d τ=
⎰-∞
∞
A
2
2
cos(ω0τ) e
-i ωτ
d τ
＝
A
2
2
⎰-∞
∞
e
j ω0τ
+e 2
-j ω0τ
e e
j ω0τ
-j ωτ
d τ
（注意：cos(ω0τ) =
+e 2
-j ω0τ
）
-j ωτ
＝
A 4
2
⎰-∞
2
∞
（e
j ω0τ
+e
-j ω0τ
）e d τ
＝
πA
2
[
δ
(ω-ω0) +δ(ω+ω0
)]
j ω0τ
（注意：e
2πδ(ω-ω0) ）
显然，它与时间t 有关，所以Y(t)为非平稳随机过程，
（一定要注意一般随机过程与平稳随机过程的平均功率和谱
密度的求法区别）
2.4 离散时间随机过程的功率谱度
2.4.1、离散时间随机过程的功率谱密度
1．平稳离散时间随机过程的相关函数
设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为:
简写为：
2．平稳离散时间随机过程的功率谱密度
式中，T 是随机序列相邻各值的时间间隔。S X (ω) 是频率为ω的周期性连续函数，其周期为
2πT
记为
=2ωq 。S X (ω) 的傅里叶级数的
系数恰为R X (m ) ，这里
就是奈奎斯特频率（不是采样频率）。这说明离散序列的功率
谱为周期函数。
因为S X
(ω) 为周期函数，周期为2ωq ，
3. 谱分解 ① z 变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为R X (m ) 的z 变换，并记为S 'X (z )，即
式中z=e
j ωT
，且
上式中，D 为在S 'X (z )的收敛域内环绕z 平面原点反时针旋转的一条闭合围线。
② 性质
因为自相关函数R X (m ) =R X
(-m ) ，带入式即可。
③ 谱分解
谱分解定理：设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率
'谱密度函数S 'X (z )。则S X (z )可分解为：
单位圆之内的全部零点和极点；B(z 零点和极点。
证明：总可以将S 'X (z )表示成两个多项式之比：
-1
) 中包含了单位圆之外的全部
上式中：
由于R X (m ) 是实函数，因此多项式N(z)、D(z)的系数也都是实数、
且有M ＜N 。
对式(3.4.9)因式分解，形式如下：
设a 1是N(z)的一个根，是S 'X (z )的一个零点，那么，a 1应满足
而根据性质[见式(3.4.8)]可知，若上式成立，则下式必成立：
这就是说，a 1
-1
也一定是N(z)的一个根；或者说a 1
-1
-1
是S '
X (z )的
一个零点。于是，两个零点a 1和a 1
'
总是同时出现。
-1
同理，若β1是S x (z )的一个极点，则β1
也必定是
S 'X (z )的一个极点。或者说，两个极点必定同时出现。
根据上面的讨论，便可将式(3.4.11)分解成两项相乘，即
单位圆之内的全部零点和极点；B(z
的全部零点和极点。--------即证。
-1
) 中包含了单位圆之外
解：应用式(3.4.5)，可以得到
整理得:
将z=e
j ωT
代人
2.4.2、平稳随机过程采样定理
1．预备知识
在分析确定性的离散时间信号时，香农采样定理占有重要地位。
它建立了连续信号与其采样离散信号之间的变换关系。
设s(t)是一个确定性连续限谱实信号，它的频带范围限于(-ωc ，+ωc ) 之间。香农采样定理告诉我们，当采样周期小于或等于1/2f c (ωc =2πf c 时) ，可将s(t)展开成:
因此，采样频率为：
f s =
1
T
≥
12f c
原信号的恢复：满足采样定理的采样值通过一个低通滤波器
（冲激响应为S a 函数），就可以无失真的恢复原信号。
2．平稳随机过程的采样定理 现在将香农采样定理推广到随机信号。
定义：若X(t)为平稳随机过程，具有零均值，它的功率语密度
S X (ω) 限于(-ωc ,+ωc ) 之间：（即假设连续过程的功率谱有界）
则可证明，当满足条件T 小于或等于1/2f c 时，便可将X(t) 按它的振幅样本展开为：
这就是平稳随机过程的采样定理。
式中，T 为采样周期X(nT)表示在时间t=nT时，对随机过程X(t)的任一样本函数X (t ) 的振幅采样， l.i.m 则表示均方意义下的极限。例如
证明：因为 X(t)的自相关函数及R X (
τ) 是τ的确定性因数， 由维纳—辛钦定理，R X (τ) S X (ω) ， 又因为S X (ω) 带宽有限，
由预备知识的香农采样定理，
R X (τ) 的振幅可以展开成：
由付氏变换时移性质，可得：
这里a 为任一常数。显然。S X (ω) e
的。
再由香农采样定理，将R X (τ-a ) 展开:
-j ωa
带宽也是有限
令τ－a =τ'，再令τ'=τ，则上式可变为：
现在令：
若
采样定理就得到了证明。 下面分别证明上式的两项均为0。
ˆ(t )]X (t )} ① E {lim [X (t ) -X
N →∞
＝
N
R X (0) -lim
N →∞
∑
n =-N
E [X (nT ) X (t )]
sin(ωc t -n π)
ωc t -n π
（4）
令τ=0, a=t，得：
∞
R X (0) =∑
n =-∞
R X (nT -t )
sin(ωc t -n π)
ωc t -n π
(5)
比较（4）（5）式得：
ˆ(t )]X (t )}＝0 （6） E {lim [X (t ) -X
N →∞
②令τ=
t , a=mT，得：
∞
R X
(t -mT ) =
又：
∑
n
=-∞
R
X (nT -mT )
sin(ωc
t -n π)
ωc t -n π
（7）
（8）
（7）（8）式比较，上式等号右端为零。于是可得：
由① ②可见：
证毕。
为了书写方便，也常把采样定理写成：
但应注意，上式的近似是表示均方意义下的极限，它与一般意义下的近似是不同的。
2.4.3、功率谱密度的采样定理
由平稳随机过程的采样定理，可以通过对平稳随机过程X(t)的采样而得到与之相对应的离散时间随机过程X(n)。
现在讨论X(n)的自相关函数(或称自相关序列) 与X(t)的自相关函数、X(n)功率谱密度和X(t)功率谱密度之间的关系。
定义：设X(t)为广义平稳随机过程，
用R C (τ)
和S C (ω) 分别表示它的自相关函数和功率谱密度，且S C (ω) 的带宽有限（这里下标C 表示连续）。现在，应用采样定理对X(t)采样，构成采样离散时间随机过程X(n)＝X(nT)，其中T 为采样周期。R (τ) 和S (ω) 分别表示X(n)的自相关函数和功率谱密度，则
式中ωq ＝π周期函数）
结论：
（1） 离散时间随机过程的自相关函数R(m)正是
―即功率谱密度的采样定理。（随机序列功率谱为
对连续过程自相关函数R C (τ) 的采样。
（2
） S (ω) 等于S C (ω) 及S C (ω) 的所有各位
移之和，即S C (ω) 以2ωq 为周期延拓，所以S (ω) 为周期函数。
S (ω) 与S C (ω) 关系如下图示意：
图2.3 证明：
预备知识：
若确定性函数f(t)为周期函数，周期为T ，即f(t)=f(t+mT)，m 为任意整数，则它总可以展开为傅立叶级数：（《信号与线性系统分析》吴大正主编，P129）
∞
⎧jn Ωt
f (t ) =F e ∑n ⎪⎪n =-∞
指数形式表示：⎨ T
1-jn Ωt
2f (t ) e ⎪F n =dt ⎰T T -⎪⎩2
X (t ) 、S C (w ) 与X (n ) 、S (w ) 的对应关系
n =0, ±1, ±2,.... , Ω=
2πT
注意S C (ω) 是确定性函数。
∞
因为
∑S C (ω
n =-∞∞
+2n ωq ) 是周期为2ωq 的连续函数，则傅里叶
∞
级数展开式为：
∑S C (ω+2n ωq ) =
ωq
∑a n e
-jn ωT
(这里与通常的傅
n =-∞n =-∞
立叶级数不同) 其中：a n =
12ωq
⎰
S C (ω) e
jn ωT
d ω
-ωq
=
1
∞
2ωq -∞
带入上式得：
∞
⎰S C (ω) e
jn ωT
d ω=
2π2ωq
R C (nT ) =TR (n )
∞
∑
1T
S C (ω+2n ωq ) =∑TR (n ) e
n =-∞
∞
-jn ωT
＝S (ω) （离散时
n =-∞
∞
∑S C (ω+2n ωq ) =∑
R (n ) e
-jn ωT
n =-∞n =-∞
间功率谱密度的定义）
定理证毕。
2.5 白噪声
随机过程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来
分类。就概率密度而言，正态分布(或称为高斯分布) 的随机过程占有重要地位；就功率谱密度来说，则具有均匀功率谱密度的白噪声非常重要。
2.5.1、理想白噪声
定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密
度均匀分布在(-∞，+∞) 的整个频率区间，即
其中N 0为一正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称为白噪
声。
自相关函数为
理解：白噪声的自相关函数是一个σ函数，其面积等于功率谱
密度。
理解：白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多么邻近) 的取值都是不相关的。这就意味着白噪声过程随时间的起伏极快，过程的功率谱极宽。
总结：
（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。
（
2
2）白噪声的均方值
为无限大，
E [X (t )]=
R N (0) =
其均方值总是有限的。
N 02
δ(0) =
∞，而物理上存在的随机过程，
（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。
2.5.2、限带白噪声
限带白噪声又可分为低通型的和带通型的。
1．低通型
定义：若过程的功率谱密度满足
则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通
滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。
低通型限带白噪声的自相关函数为
图2.4示出了低通型限带白噪声的S X (ω) 和R X (
τ) 的图形，注
意，时间间隔为π
整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值
为0，相关函数值为0）。
图2.4 低通限带白噪声 （a ）S X (ω) ; （b ）R X (τ)
2. 带通型
带通型限带白噪声的功率谱密度为
由维纳—辛钦定理，得到相应的自相关函数为
图2.5中示出了带通型限带白噪声的S X (ω) 和R X (τ) 的图形。不难看出，将白噪声通过一个理想带通滤波器便可产生这种带通型限带白噪声。
图2.4 带通型限带白噪声 （a ）S X (ω) ; （b ）R X (τ)
2.5.3、色噪声
按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以
外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。
小 结
1． 随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过
程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：
X (t ) X (j ω)
但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即
A
若随机过程X(t)平稳，则
R X (τ) S X (ω)
2． 平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求
积分（有个
12π
系数）；求相关函数后令τ＝0
3． 随机过程的平均功率： 一般过程：lim
T →∞
12T
⎰-∞
∞
E (X (t )) dt ，即集合平均＋
2
统计平均。
4． 特定函数的付氏变换需记忆