一类三对角矩阵的逆矩阵_卢树强
第24卷第3期 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Vol.24,No.3 2008年5月 Journal of Qiqihar University May,2008
一类三对角矩阵的逆矩阵
卢树强,包树新
(大庆师范学院 数学系,黑龙江 大庆 163712)
摘要:刻划了一类三对角矩阵的逆矩阵的形式。
关键词:三对角矩阵;逆矩阵
中图分类号:O241.6 文献标识码:A 文章编号:1007-984X(2008)03-0067-02
设Cm×n表示复数域上m×n矩阵集。
定义 矩阵A=(aij)∈Cm×n,满足条件aij=0,|i-j|>k,则称矩阵A为带型矩阵。若m=n且k=1时,称[1]
矩阵A为三对角矩阵。
⎡*⎢*例 5×5的三对角矩阵为⎢0⎢0⎢⎣0***000***000***0⎤0⎥0⎥,其中*表示任意非零元素。 *⎥*⎥⎦
三对角矩阵是一种特殊的带型矩阵。三对角矩阵也是Hessenberg矩阵的一个特例。 本文刻划了一类特殊的三对角矩阵的逆矩阵的形式。
1 引理
引理1 n阶行列式Dn=
D0 =1。
证
n≥2时按第1行展开即得递推关系式,D1由行列式的定义可直接得到。
引理2 k≥2时,Dn满足关系式
aDk-1Dn-k-bc(Dk-2Dn-k + Dk-1Dn-k-1)= Dk-1Dn-k+1-bcDk-2Dn-k=Dn
证
因aDk-1Dn-k-bc(Dk-2Dn-k + Dk-1Dn-k-1)= aDk-1Dn-k-bcDk-1Dn-k-1-bcDk-2Dn-k=Dk-1(aDn-k- bc Dn-k-1)-bcDk-2Dn-k = Dk-1 Dn-k+1-bcDk-2Dn-k。用数学归纳法证明Dk-1 Dn-k+1-bcDk-2Dn-k=Dn即可。
i)当k=2时,由引理1知Dn=aDn-1-bcDn-2,则D1Dn-1-bcD0Dn-2=Dn;
ii)假设k=s时,Ds-1 Dn-s+1 – bcDs-2Dn-s= Dn;
当k=s+1时,DsDn-s–bcDs-1Dn-s-1=(aDs-1-bcDs-2)Dn-s-bcDs-1Dn-s-1=aDs-1Dn-s- bcDs-1Dn-s-1-bcDs-2Dn-s= Ds-1Dn-s+1 – bcDs-2Dn-s= Dn。 收稿日期:2008-03-31
作者简介:卢树强(1979-),男,黑龙江大庆人,助教,大学本科,研究方向:数理统计,E-mail:[email protected]。 [2]acba%满足递推关系式D n=aD n-1-bcD n-2 (n≥2) ,并且D1 = a,记 %%bca
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所以,对于任意的正整数n都有
aDk-1Dn-k-bc(Dk-2Dn-k-Dk-1Dn-k-1)= Dk-1 Dn-k+1-bcDk-2Dn-k=Dn
成立。
2 主要结论
⎡ab⎤⎢ca%⎥1定理 若A=⎢∈Cn×n可逆,则A−1=A*,其中A*=(pij)为A的伴随阵,且满足⎥%%bDn⎢⎥ca⎣⎦
i+ji−j⎧⎪(−1)cDj−1Dn−ipij=⎨(−1)i+jbj−iDi−1Dn−j⎪⎩1≤j≤i≤n。 1≤i≤j≤n
证
只要证明AA*=Dn即可。
⎡a⎢c⎢0
设A=⎢⎢⎢0⎢0⎣bac000ba%00"000⎤"000⎥"000⎥⎥,%%%%%⎥"cab⎥
"0ca⎥⎦A*=(pij),则有AA*=(qij),其中
1)q11=aDn-1-bcDn-2=Dn,q1j=a(-1)1+jbj1Dn-j+b(-1)2+jbj2D1Dn-j =(-1)j(-aDn-j+D1Dn-j)bj1=0, ---
j=2,…,n;
2)当1
--(i+1)DiDn-j= (-1)(i
(-1)(i-1)+jbji Dn-j (cbDi-2-aDi-1+Di)=0; --1)+j3)当1≤j
-1)+i4)当 1
5)qnj=c(-1)(n-1)+jbDi-2Dn-i+aDi-1Dn-i+b(-1)(i+1)+icDi-1Dn-(i+1) =-cbDi-2Dn-i+ -aDi-1Dn-i-b cDi-1Dn-(i+1),由引理2知,qii= Dn; c(n-1)-jDj-1D1+a (-1)n+jcnjDj-1=(-1)(n-1)+j c(n-1)-jDj-1(cD1-ac)=0 j=1,…,n-1; qnn=c(-1)(n
-1)+nbDn-2+a Dn-1= Dn。
参考文献
[1] 张贤达. 矩阵分析与应用[M]. 北京:清华大学出版社,2004.
[2] 白述伟. 高等代数选讲[M]. 哈尔滨:黑龙江教育出版社,2000.
Inverse matrix of third opposite angles matrixes
LU Shu-qiang,BAO Shu-xin
(Daqing Normal School Mathematics Department,Heilongjiang Daqing 163712,China)
Abstract:In the paper, we characterize the inverse matrix of third opposite angles matrixes.
Key words:third opposite angles matrixes;inverse matrix