量子力学第四版卷一(曾谨言著)习题答案第5章-1
第五章: 对称性及守恒定律
2ˆpˆP248设粒子的哈密顿量为 HV(r)。 2
(1) 证明
d(rp)p2/rV。 dt
(2) 证明:对于定态 2rV
ˆpˆxyˆpˆyzˆz,运用力学量平均值导数公式,以及对易算符的公配律: ˆp(证明)(1)rpx
d]
p)1[rp,H(r
dti
12ˆ][xˆpˆ,Hˆpˆxyˆpˆyzˆz,ˆV(x,y,zˆp[rp
2
ˆpˆxyˆpˆyzˆz,ˆp [x
1
ˆx2pˆy2(p2
2
2
2
ˆpˆxyˆpˆyzˆz,pxpypzˆp[x
,z)] (2)
122ˆpˆyˆz,pˆzˆp][z] [r
2
)] 1ˆz,pˆz2]ˆp[z2 (3) ]23
ˆpˆx,pˆxˆpˆxˆ2xˆpˆx [x]xp
ˆpˆxpˆxxˆpˆxpˆxxˆpˆxpˆxˆpˆx x
ˆ,pˆx]pˆxpˆx[xˆ,pˆx]pˆx [x
222
ˆxˆxˆx ip (4) ip2ip
2
3222
ˆVˆxˆxˆpˆpˆx,V]xˆpˆxVˆpˆxxˆpˆxVˆVˆxxˆ[pˆx,V] [x
ˆVˆ ix (5) x
将(4)(5)代入(3),得:
VVV222ˆ]i(pˆpˆ,Hˆxˆyˆz [rpp)i{xyz
xyz
i代入(1),证得题给公式:
ˆ2p
rV}
ˆ2dp
(rp)rV (6)
dt
ˆ (2)在定态之下求不显含时间t的力学量A
ˆrˆpˆ 结果是零,令A
2
dpˆpˆ)drV0 (7) 则rp*(rdt
ˆ2pp2但动能平均值
*d
由前式
P249 irial theorem) (2)库仑场 2 (3)VCr,n2
(解)先证明维里定理:假设粒子所在的势场是直角坐标(x,y,z)的n次齐次式,则不论n是正、负数,势场用直角坐标表示的函数,可以表示为以下形式,式中V假定是有理函数(若是无理式,也可展开成级数):
n
V(x,y,z)Cijkxiyjzk
ijk
(1)
此处的i,j,k暂设是正或负的整数,它们满足:
ijkn (定数)
Cijk是展开式系数,该求和式可设为有限项,即多项式。
根据前一题的结论:
V (2) 2r
现在试行计算本题条件下rV的式子及其定态下平均值。 rVx
VVV
yz
xyz
(x
yz)Cijxkiyjzk xyz
i1
ijk
ij1kik1
xyjzkyjCijxkyzzj
x
iC
(ijk)
C
ijk
i
ijk
xyjzk
nV(x,y,z)
这个关系在数学分析中称Euler
(3)
直接看出n
xyz
x1xy2yz3z (1x2y3z)2V
2
2
2
rV2,由(3)式可知
(2)库仑场 V
1xyz
2
2
2
直接看出V是x,y,z的n1次齐次式,按(3)式有: 2
但这个结论也能用(3)式验证,为此也利用前一题结论(2)有:
VVV
rVxyz
xyz
x
xyz
yz
(x2y2z2)3/2(x2y2z2)3/2(x2y2z2)3/2
1x2y2z2
V rV
rV1y2z2)2(2z)
n
由(2)得
P260ˆ(t)应(解)根据海森伯表象(绘景)的定义可导得海森伯运动方程式,即对于任何用海氏表象的力学算符A
满足:
ˆ1dAˆ,Hˆ] (1) [A
dti
ˆ2pˆˆ不随时间t变化) 又对于自由粒子,有H(p2
ˆ(t)xˆ(t)为海氏表象座标算符;代入(1) 令A
ˆ(t)1ˆ2dxp
ˆ(t),] [x
dti2
ˆ(t)dx1
ˆ(t),pˆ2] (2) [x
dt2i
ˆ(t),pˆ2]xˆpˆ2pˆ2xˆ 但 [x
ˆpˆpˆpˆxˆpˆpˆxˆpˆpˆpˆxˆ x
ˆ,pˆ]pˆpˆ[xˆ,pˆ]2ipˆ (3) [x
代入(2),得:
ˆ(t)ˆdx1p
ˆ2ip
dt2i
ˆptC
ˆ(t)积分得 x
ˆ(t)xˆ(0)代入得Cx(0) 将初始条件t0时,x
P260 (1) ˆ(t)1ˆ2(t)2xˆ2(t)dxpˆ(t), [x] (2)
dti22
将等式右方化简,用前一题的化简方法:
ˆ(t)1p22x212p2ˆ,ˆ,pˆ]ˆ,xˆ2] [x][x[xi22i2i
ˆ(t)1dx
ˆ(t) (3) p
dt
ˆ与t有关)但这个结果却不能直接积分(与前题不同,p,为此需另行建立动量算符的运动方程式:
ˆ(t)1ˆ2(t)2x2(t)dpp
ˆ(t), [p]
dti22
12x2(t)2
ˆxˆ2xˆ2pˆ} [p(t),]{p化简右方
hi22hi
=
2
2hi
ˆxˆxˆxˆpˆxˆxˆxˆpˆ} {p
=
2
2hi
ˆ,xˆ]xˆxˆ[pˆ,xˆ]}2xˆ2(t) {[p
ˆ(t)dp
ˆ(t)⑷ 2x
dt
ˆ(t)的微分方程式: 将⑶对时间求一阶导数,并与⑷式结合,得算符xˆ(t)dx
ˆ(t)0 ⑸ 2x2
dt
这就是熟知的谐振动方程式,振动角频率ωˆcostBˆsint ⑹ ˆ(t)Ax
ˆ,
A
ˆ(t)p
将
⑻ ⑼
ˆ(
0)xˆx
ˆ(0)p
ix
c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley
5.1设力学量A不显含t,H为本体系的Hamilton量,证明
d2
AA,H,H
dt2
2
证.若力学量A不显含t,则有
dA1
A,H,令A,HC dti
d2A1dC11
C,H, C,H则
idtidt22
d2
AA,H,H 2
dt
2
ˆ(不显含t)的平均值对时间的二次微商为: 5.1证明力学量A
d2
,H],H] (Hˆ是哈密顿量)
[[A 2
dt
2
此式遍乘
5.2
2
态中的平均值,有: d11ˆHˆ)d (1) ˆHˆA[A,H]*(A dtii
ˆ的本征态,故满足本征方程式 今代表H
ˆE (E为本征值) (2) H
ˆ是厄密算符,按定义有下式(需要是束缚态,这样下述积分存在) 又因为H
ˆ)d ˆ(A)dˆ)*(A
*H(H
~
(3)
(题中说力学量导数的平均值,与平均值的导数指同一量)
(2)(3)代入(1)得:
d1ˆ(Hˆ)d ˆ)d1ˆ)*(A*A(Hdtii
EˆdE**Aˆd *Aii
因EE*,而
d0 dt
5.2
dAdt
5.3证明,对于一维波包有:
d21
x(xppx) dt
(解)一维波包的态中,势能不存在故
2
ˆxpˆ H (自由波包) 2
依据力学量平均值时间导数公式:
2ˆxd21212p
ˆ,H][xˆ,] x[x
dtii2
12
ˆ2,pˆx[x] (2)
2i
2222
ˆ2,pˆxˆ2pˆxˆxˆ 但 [x]xpx
ˆxˆpˆxpˆxxˆpˆxxˆpˆx)(xˆpˆxxˆpˆxxˆpˆxpˆxxˆ) (x
ˆpˆxpˆxxˆpˆxxˆpˆxxˆ)(pˆxxˆpˆxxˆpˆxpˆxxˆxˆ) (x
ˆ[xˆ,pˆx]pˆxxˆpˆx[xˆ,pˆx][xˆ,pˆx]pˆxxˆpˆx[xˆ,pˆx]xˆ x
ˆ,pˆx]i 因 [x
2ˆ2,pˆxˆpˆxpˆxxˆ)
[x]2i(x
代入(2)式,得到待证的一式。
j/] ⑴
5.4 ⑵
rirj/)] =[
i
rj/)] 11
ˆ1x2pˆ1y2pˆ1z2)ˆix2pˆiy2pˆiz2)] (p(p2mi2mi
V(/r1r2/) V(/r2r3/)V(/rirj/)] ⑷
2
2
2
ˆ1xpˆ2xpˆix,=[p
ˆ1xpˆ2xpˆix,+[p
ˆix,pˆjz]0 ˆix,pˆjx]0 , [pˆix,pˆjy]0 ,[p第一个对易式中,因为:[p
故整个 [
ˆix,p
i
i
1
ˆi2]0 p2mi
至于第二个对易式中,其相互势能之和有以下的形式
V[/rirj/]V(xixj,yiyj,zizj)
i,j
i,j
ij
=
1
{V(xixj,yiyj,zizj)V(xixj,yiyj,zizj)} 2i,j
又⑷式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和,由于不同粒子的坐标算符和动量算符永远能够对
易,⑷式又能简化成:
ˆ][pˆ(xx,yy,zz)] ˆx,Hˆix,V[pijijij
i
j
=
ˆ[p
i
j
ix
1ˆˆ(xx,yy,zz
,{V(xixj,yiyj,zizj)Vjijiji
2
ˆ]ˆx,H [p
jyi,zjzi)]] =
i
5.5ˆ H
ˆˆ
]的分量看其是否等于零。 要考察合力矩是否守恒,可以计算[L,H
1ˆˆˆi2V[rirj]] [Lx,H][(yipizzipiy),p
ii2ii,j
ii
1
ˆix2pˆiy2pˆiz2)(pˆix2pˆiy2pˆiz2)(yipizzipiy)][(yipizzipiy)(p
2i
j
[(yipizzipiy)V(xixj,yiyj,zizj)V(xixj,yiyj,zizj)(yipixzipiy)]
i
1
ˆix2pˆix2yipiz)(yipizpˆiy2pˆiy2yipiz)(yipizpˆiz2pˆiz2yipiz)[(yipizp
2i
2
2
2
2
2
2
ˆixzipiyzipiypˆix)(pˆiyzipiyzipiypˆiy)(pˆizzipiyzipiypˆiz)](p
[(yipixVVyipix)(VzipiyzipiyV)]
i
j
⑶
因为 [pix,piy][piz,piz][piz,pix][piz,piy]0 因而⑶可以化简:
2222
ˆ] [Lx,H
ˆ
122
ˆˆˆ {[0[y,p]p000[piiyiziz,zi]piy}{[piz,yiV][ziV,piy]}
i2iij
用对易关系:
ˆ]
[Lx,H
ˆ
ˆˆ [Lx,H]同理可证 ˆ
因此L
5.6 [证明]是任意力学量, i=1,2,3,…
ε)
{A,B}
i
ABAB
qipipiqi
d
A{pi,qi}0 dt
在经典力学中,力学量A 随时间守恒的条件是
或写作:
dAAAqiApi
0 dttpitiqit
将哈密顿正则方程式组:
dqiHdpiH
dtpidtqi
代入前一式得
dAAAHAHA{A,H}0 dttqppqtiiiii
因此,若力学量A,B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是:
{A,H}0 ⑵ {B,H}0 ⑶
假定以上两条件都适合,我们来考察{A,B}是否也是守恒的?为此只需要下能否成立:
{{A,H},H}0 ⑷
Ii
式中FF与H无关),前式中{B,pi}的值可在⑴中,作替代A—>B,B—>pi得到,{A,pi}求法类似。再在⑹式中,令H=pi,得:I=F(A,B)因而得: F(A,B)
{A,B} qi
同理令H=qi得:G(A,B)
{A,B} pi
将所得的F和G代入⑹,并将这结果再和⑸等同起来,得到: {A,{B,H}}—{B,{A,H}}
i
HHA,B}{A,B}}{{A,B},H} qipipiqi
这个式子说明:如果(2),(3)满足,(4)式就成立即{A,B}守恒。
ˆ,Bˆ守恒的条件是 在量子力学体系情形,A
ˆ,Hˆ]0 [Bˆ,Hˆ]0 [A
ˆ,BˆBˆ,Hˆ]Hˆ][AˆBˆAˆ] 再考察 I[[A
ˆBˆ,Hˆ,Hˆ][BˆAˆ] [A
ˆBˆ后得到: ˆHˆBˆHˆA将此式加减A
ˆ,Bˆ[Bˆ,Hˆ][Hˆ ˆ]Hˆ]Aˆ,Hˆ][Aˆ]BˆBˆ[Hˆ,Aˆ,Bˆ]A[[A
ˆ,Bˆ是守恒量,前一式等号右方[Aˆ,Hˆ]0,[Bˆ,Hˆ]00 若A
ˆ,Bˆ,Bˆ,Bˆ]Aˆ是守恒量,则Aˆ,Hˆ所以[A
ˆ,Bˆ,Bˆ的值为确定值A0和Bˆ]的值为0。 有共同本征态,在此态中测得A,[A
5.7——3.2,
5.8Dxa方向平移距离a算符.证明下列形式波函数(Bloch波函数)xeikxeika
证:Dxaikaeikxkxeikax 证毕
5.8 (x)eikxk(x) ,k
(xa)k(x)
ika
ˆ(a)的本征函数,相应的本征值是e是Dx
。
ˆ(a)是位移算符,它的本征态具有空间的移动(或平移)的对称性,假使(x)是这种态,则(证明)Dxˆ(a)(x)(x) Dx
同时(x)是有运动对称性的: (xa)(x)
将Dx(a)作用于Bloch函数:
ˆ(x)(xa)eik(xa)(xa)eikaeikx(x)eika(x) Dxkk
5.9——6.7
5.9设m表示Lz的本征态(本征值为m),证明
eikLze
ikLy
m
是角动量L沿空间,方向的分量Ln
LnLnLxsincosLysincsin证:算符e
ikLy相当于将体系绕y轴转角,m原为Lz的本征态,
'
本征值为mz轴(开始时和实验室z轴重合)已转到实验室坐标系的,方向,即Ln的本征态。本征值是状态的物理属性,不受坐标变换的影响,故仍为m. P327)
5.10——2.12
5.11 5.12答案没找到 5.13——3.10 5.14——3.16
5.14验证积分方程式
ˆ,B()d] ˆ(t)Bˆi[A B0
t
o
ˆ与时间无关) ˆ(t)eiAtB(0)eiAt (A有下列解:B
ˆ
ˆ
(证明)根据第四章第40习题,有:
ˆtL
ˆeˆAˆ[Lˆ]]....... (2) ˆ,A]1[Lˆ,[Lˆ,AeLA
!
ˆtLˆ ,题给一式Bˆ (前式中的) ˆ(0)A因此令题给一式中的iA
ˆt,Bˆt,[iAˆt,Bˆ(t)Bˆ(0)[iAˆ(0)]1[iAˆ(0)]].... . . . 则 B
2!
2
(it)ˆ,Bˆ,[Aˆ,Bˆ(0)(it)[Aˆ(0)]ˆ(0)]]...... (3) [A B
2!
ˆ,Bˆ,[Aˆ,Bˆ()d1{B(0)(it)(it)[Aˆ(0)](it)[Aˆ(0)]]......} (4) 将(3)积分:B
i2!3!0
将(4)代入(1)式右方:
t22
ˆt,[iAˆt,Bˆi[A,Bˆ()d]B[iAt,Bˆ(0)]1[iAˆ(0)]]......Bˆ(t) B002!0
题得证。
t