电磁场与电磁波课后习题答案第一章
第一章
1.2给定三个矢量A ,B ,C :
A =a x +2a y -3a z B = -4a y +a z C =5a x -2a z
求:⑴矢量A 的单位矢量a A ;
⑵矢量A 和B 的夹角θAB ; ⑶A ·B 和A ⨯B ⑷A ·(B ⨯C )和(A ⨯B )·C ;
⑸A ⨯(B ⨯C )和(A ⨯B )⨯C
A 解:⑴a A =(a x +2a y -3a z )
A
⑵cos θ =AB A ·B /A B θAB =135.5o ⑶A ·B =-11, A ⨯B =-10a x -a y -4a z ⑷A ·(B ⨯C )=-42 (A ⨯B )·C =-42 ⑸A ⨯(B ⨯C )=55a x -44a y -11a z (A ⨯B )⨯C =2a x -40a y +5a z
1.3有一个二维矢量场F(r)=a x (-y )+a y (x),求其矢量线方程,并定性画出该矢量场图
形。
解:由dx/(-y)=dy/x,得x +y =c
1.6求数量场ψ=ln(x +y +z )通过点P (1,2,3)的等值面方程。 22222
解:等值面方程为ln (x +y 2+z )=c
则c=ln(1+4+9)=ln14
那么x +y 2+z =14
1.9求标量场ψ(x,y,z )=6x y 3+e 在点P (2,-1,0)的梯度。 2z 2222
∂ψ ∂ψ ∂ψ z 232解:由∇ψ=a x +a y +a z =12xy a x +18x y a y +e a z 得 ∂x ∂z ∂y
∇ψ=-24a x +72a y +a z
21.10 在圆柱体x +y 2=9和平面x=0,y=0,z=0及z=2所包围的区域,设此区域的表面为S:
⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量,其中矢量场的表达式为 2 A =a x 3x +a y (3y+z)+a z (3z-x) ⎰A ∙d S + 解:⑴A ∙d s =
⑵验证散度定理。 曲曲 232⎰A ∙d S =⎰(3ρcos θ+3ρsin θ+z sin θ) d ρd θ=156.4 xoz ⎰ A ∙dS +yoz ⎰ A ∙d S +⎰A ∙d S +⎰A ∙d S 上下xoz ⎰ A ∙dS =曲
yoz ⎰ A ∙d S =-xoz ⎰(3y +z ) dxdz =-6 yoz ⎰3x 2dydz =0
27A ∙d S A ∙d S (6-ρcos θ) ρd θd ρρcos θd ρd θπ +=+=⎰⎰⎰⎰2上下上下 A ∙d s =193
⑵⎰∇∙A dV =⎰(6+6x ) dV =6⎰(ρcos θ+1) d ρd θdz =193 V V V
即:A ∙d s =⎰∇∙A dV s V
22221.13 求矢量A =a x x+a y x y 沿圆周x +y =a 的线积分,再求∇⨯A 对此圆周所包围的表
面积分,验证斯托克斯定理。 π42a 解:A ∙d l = =xdx +xy dy ⎰l 4L
2∇⨯A =a z y
π4222θy dS ρsin ρd ρd θ∇⨯A ∙d s a === ⎰ ⎰S 4S S
l S 即:A ∙d l =∇⨯A ∙d s ,得证。
1.15求下列标量场的梯度:
⑴u=xyz+x 2 ∂u ∂u ∂u ∇u =a x +a y +a =a x (yz+zx)+a y xz+a z xy ∂x ∂y z ∂z
2 ⑵u=4x y+y 2z -4xz
∂u ∂u 2 ∂u 2∇u =a x +a y +a z =a x (8xy-4z)+a y (4x +2yz)+a z (y -4x) ∂x ∂z ∂y
∂u ∂u ∂u ⑶∇u =a x +a y +a =a x 3x+a y 5z+a z 5y ∂x ∂y z ∂z
1.16 求下列矢量场在给定点的散度
∂A x ∂A y ∂A z 22⑴∇∙A =++=3x +3y +3|(1,0,-1) =6 ∂x ∂y ∂z
⑵∇∙A =2xy+z+6z|(1,1,0)=2
1.17求下列矢量场的旋度。
⑴∇⨯A =0
⑵∇⨯A =a x (x -x )+a y (y -y )+a z (z -z )=0
1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x’,y ’,z ’), 求:
⑴P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量r ' ;
⑵从Q 点到P 点的距离矢量R ;
⑶∇⨯r 和∇∙r ; ⑷∇() 。
解:⑴r =a x x+a y y+a z z;
1R ' r =a x x ’+a y y ’+a z z ’ ' ⑵R =r -r =a x (x -x ’)+a y (y -y ’)+a z (z -z ’)
⑶∇⨯r =0, ∇∙r =3
⑷1=R ∂ ∂1 ∂ 1∇() =(a x +a y +a z ) R ∂z R ∂x ∂y
=-a x
=-a x
=-
1R 3 R =-3 R 12(x -x ') 12(y -y ') 12(z -z ') --a a z y 222R R R z -z ' y -y ' x -x ' -a y -a z R 3R 3R 3 [a x (x -x ’)+a y (y -y ’)+a z (z -z ’)]
1R 即:∇() =-3R R