1.4 多项式的一些整除性质(答案)
1．4 整数的一些整除性质
1． 对下列整数a , b ，分别求出a 除b 所得商数和余数：
（i ）a =17, b =-235； （ii ）a =-8, b =2
（iii ）a =-9, b =-5； （iv ）a =-7, b =-58
解：（i ）商数为-14，余数为3。
（ii ）商数为0，余数为2。
（iii ）商数为1，余数为4。
（iv ）商数为9，余数为5。
2． 设a , b 是整数且不全为0，而a =da 1, b =db 1, d , a 1, b 1∈Z 。证明，d
是a , b 的一个最大公因数必要且知要(a 1, b 1) =1。
分析：要证d 是a , b 的一个最大公因数，可以从两个途径考虑：法一，可以根据最大公因数的定义，先证d 是a , b 的一个公因数，再证a , b 的所有公因数均可整除d 。法二，可以根据本节定理3，先证d 是a , b 的一个公因数，再证对a , b ，d ，存在整数t 1, t 2，满足：at 1+bt 2=d 即可。同理分析：要证(a 1, b 1) =1可以从互素的定义入手，也可以从本节定理4入手。
证明：法一（从本节定理3和定理4考虑）
“⇒” 因为a , b 不全为0且d 是a , b 的一个最大公因数
所以d ≠0且∃t 1, t 2∈Z , st
at 1+bt 2=d
又a =da 1, b =db 1
所以da 1t 1+db 1t 2=d
即：a 1t 1+b 1t 2=1
根据本节定理4有：(a 1, b 1) =1
⇐ 因为(a 1, b 1) =1
所以t 1, t 2∈Z , st
a 1t 1+b 1t 2=1
所以da 1t 1+db 1t 2=d
即：at 1+bt 2=d
又a =da 1, b =db 1
根据定理3有：d 是a , b 的一个最大公因数
法二（根据定义证明）
“⇒” 因为a , b 不全为0且d 是a , b 的一个最大公因数
第四节 整数的一些整除性质 8
所以d ≠0且∃t 1, t 2∈Z , st
at 1+bt 2=d
又a =da 1, b =db 1
所以da 1t 1+db 1t 2=d
即：a 1t 1+b 1t 2=1
对任意c ∈Z 且c a 1, c b 1，则：
c a 1t 1+b 1t 2 即：c
又1为a 1, b 1的公因数
所以1为a 1, b 1的最大公因数
所以(a 1, b 1) =1
⇐ 因为(a 1, b 1) =1
所以t 1, t 2∈Z , st
a 1t 1+b 1t 2=1
所以da 1t 1+db 1t 2=d
即：at 1+bt 2=d
对任意c ∈Z 且c a , c b ，则：
c at 1+bt 2 即：c d
又a =da 1, b =db 1
所以d 是a , b 的一个公因数
所以d 是a , b 的一个最大公因数
3． 设a , b 是不等于零的整数。满足下列两个条件的正整数m 叫做a , b 的最
小公倍数：（i ）a m , b m ；（ii ）如果h ∈Z 且a h , b h , 则m h 。证明：（a ）任意两个不等于零的整数a , b 都有唯一的最小公倍数；（b ）令m 是a , b 的最小公倍数而d =(a , b ), 则ab =dm 。
分析：根据要证明的结论（a ）、（b ），可以推测出a , b ， d =(a , b ), m 之间应该有一定的内在联系，若能揭示它们之间的内在联系，对我们解决问题应有一定的帮助。如何揭示它们的关系，可以通过举例法得出m =a 1b 1d , (a =a 1d , b =b 1d ) .
证明：（法一）
( a) 先证最小公倍数的存在性
设d =(a , b ),
第四节 整数的一些整除性质 9
因为a , b 都不为零
所以d ≠0
令：a =da 1, b =db 1
根据题2有：(a 1, b 1) =1
令：m =da 1b 1
所以m =ab 1=a 1b
所以令m 是a , b 的公倍数
下证:对任意的h ∈Z ，如果a h , b h , 则m h
因为a h , b h
所以存在h 1, h 2∈Z , st
h =h 1a =h 2b
即h =h 1da 1=h 2db 1
所以h 1a 1=h 2b 1
所以a 1h 2b 1
因为(a 1, b 1) =1
根据本节定理5知：a 1h 2
所以∃t ∈Z , st :h 2=a 1t
所以h =h 2db 1=ta 1db 1=tm 所以m h ，即m 是a , b 的最小公倍数
下证最小公倍数的唯一性：
再任取a , b 的最小公倍数n 所以m n , n m
又m ，n 均为正数
所以m =n ，即：
a , b 的最小共倍数唯一。
（a ）法二（利用最小数原理）{ 令I =h h ∈Z , h >0, a h , b h } 因为ab ∈I
所以I ≠∅
根据最小数原理，设m 为I 中最小数，则
m 为a , b 的最小公倍数
（因为若存在h ∈Z 且a h , b h , 但m 不整除h
则根据带余除法，存在q , r ∈Z , 0
第四节 整数的一些整除性质 10
r =h -mq 因为a h , b h , a m , b m
所以:a h -mq , b h -mq
所以r ∈I
这与m 为I 中最小数矛盾）
最小公倍数唯一性的证明同法一。
(b) 因为m =da 1b 1 所以md =d a 1b 1=ab
4． 设p 是一个大于1的整数且具有以下性质：对任意的整数a , b ，如果2
p ab ，则p a 或p b 。证明：p 是一个素数（定理1.4.5的逆命题） 证明：用反证法证明：
若p 不是一个素数
因为p >1
所以存在a , b ∈Z , p >a >1, p >b >1, st （1）
p =ab 所以p ab 根据条件有p a 或p b
这与（1）矛盾
所以p 是一个素数
5． 设p 1, p 2, , p n 是两两不同的素数，而a =1+p 1p 2 p n 。（i ）证明：
p i (i =1, 2, , n ) 不整除a ；（ii ）利用（i ）证明，素数有无限多个。 证明：（i ）（法一从带余除法考虑）
因为a =1+p 1p 2 p n
所以a =p i (p 1p 2 p i -1p i +1 p n ) +1
所以p i 除a 的余数为1
所以p i (i =1, 2, , n ) 不整除a
法二：反证法
1, 2, , n }, st 若t ∈{
p t a 因为p t p 1p 2 p n 所以p t a -p 1p 2 p n 即：p t ，从而p t =1
这与p t 为素数矛盾
第四节 整数的一些整除性质 11
所以p i (i =1, 2, , n ) 不整除a 法三：从互素的角度考虑
因为a =1+p 1p 2 p n
所以a -p i (p 1p 2 p i -1p i +1 p n ) =1 根据本节定理4知：
a 与p i (i =1, 2, , n ) 互素
又p i (i =1, 2, , n ) 为素数
所以p i (i =1, 2, , n ) 不整除a （ii ）用反证法证明：
假设素数有有限个，不妨设为： p i (i =1, 2, , n )
令：a =1+p 1p 2 p n 根据（i ）知p i (i =1, 2, , n ) 不整除a 所以a 为素数
又a ≠p i (i =1, 2, , n )
这与假设矛盾
所以素数有无限多个。
第四节 整数的一些整除性质 12