集合与函数单元测试(含答案)

高一上集合与函数单元测试

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（每小

题5分，共50分）

1. 一个非空集合A 中的元素a 满足：a ∈N ，且4-a ∈A ，则满足条件的集合A 的个数有（ ）

A. 6 B. 7 C . 8 D. 5

2. 已知函数f (x ) 的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x +2) 的定义域和值域分别是 （ ）

A. [0,1]，[1,2] B. [2,3]，[3,4] C. [-2, -1]，[1,2] D. [-1,2]，[3,4] 3. 函数f (x ) =x 2对于任意的x , y ∈R 都有( )

A. f (x +y ) =f (x ) f (y ) B. f (xy ) =f (x ) +f (y ) C. f (xy ) =f (x ) f (y ) D. f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 4

．函数y =

）

A ．(0,+∞) B ．(0,] C ．[, +∞) D ．(-2, 2) 5. 若函数f (x )

满足f 1212

1

=x ++1，则函数f (x ) 的表达式是（ ）

x 2

2

A. x B. x +1 C. x -2 D. x -1

22

⎧x 2+1(x ≤0)

6. 已知函数y =⎨，那么使函数值为5的x 的值是（ ）

(x >0) -2x ⎩

A ．-2 B ．2或-

55

C ． 2或-2 D ．2或-2或- 22

7．已知函数f (x ) 的定义域为x ∈R x ≠0，且对任意非零实数x , y 都满足

{}

f (x y ) =f (x +) f (，则（y ) ）

A ．f (1)=0且f (x ) 为偶函数 B ．f (-1) =0且f (x ) 为奇函数

C ．f (x ) 为增函数且为奇函数 D ．f (x ) 为增函数且为偶函数 8．设奇函数f (x ) 在(0，＋∞) 上为减函数，且f (2)＝0，则不等式为（ ）

A. (-∞, -2) (0,2) B. (-∞, -2) (2,+∞) C. (-2,0) (0,2) D. (-2,0) (2,+∞) 9. 已知函数f (x ) =⎨

f (x ) +2f (-x )

x

⎧-x +m

2

, x ≥0

⎩-(m +4) x +m -m -3, x

，若对任意的实数x 1, x 2(x 1≠x 2) 都有

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

A. (-4, +∞) B. (-∞, -1) (3,+∞) C. (-∞, -1] [3,+∞) D. (-4, -1] [3,+∞)

⎧10

-2,0

10. 已知函数f (x ) =⎨，若实数a 、b 、c 满足：a

⎪-1x +6, x >10⎪⎩2

abc

的取值范围是（ ） a +b

24

A. (10,12) B. (25,30) C. (4,) D. (25,+∞)

5

f (a ) =f (b ) =f (c ) ，则

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）.

11. 已知集合A ={-1,1}，则集合B =a -b a , b ∈A 的真子集的个数有个. 12. 已知函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 都有f (x +4) =f (x ) +f (2)，

若f (1)=2，则f (6)+f (-3) = .

13. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动得人数为 . 14.

已知函数f (x ) =

{}

（a ≠1）. （1）若f (x ) 在x =2处有意义，则实数a 的取值范围是； （2）若f (x ) 在区间(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是

15. 已知函数f (x ) =⎨

⎧2x +b ,

2

2

x ≥0

⎩x +(a -4a ) x +1, x

，其中a , b ∈R . 若对任意的非零实数x 1，

存在唯一的非零实数x 2（x 1≠x 2），使得f (x 2) =f (x 1) 成立，则a +b 的取值范围为

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分).

16. （本小题满分12分）

已知函数f (x ) =x 2-4x ++1.

（1）去绝对值，把函数f (x ) 写成分段函数的形式，并作出其图象； （2）求函数f (x ) 的单调区间； （3）求函数f (x ) 的最小值.

17. （本小题满分12分）

设常数a ∈R ，集合A =x (x -1)(x -a ) ≥0, B =x x ≥a -1. （1）若0∈A B ，求a 的取值范围； （2）若A B =R ，求a 的取值范围.

18. （本小题满分12分）

设二次函数f (x ) 同时满足下列条件：①f (0)=8；②f (x -2) 为偶函数；③关于x 的方程f (x ) =4有两个不等实根x 1, x

2，且|x 1-x 2|=（1）求函数f (x ) 的表达式；

（2) 当x ∈[－2，2]时，g (x ) =f (x ) -kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．

19. (本小题满分12分)

22

已知f (x ) 为R 上的奇函数，且x >0时f (x ) =-x +(a +2) x -a +5（其中a 为实常

{}{}

数）.

（1）求f (0)的值；

（2）求x

（3）若f (x ) 在区间(0,2]上的最大值为2，求a 的值.

20. （本小题满分13分）

x 2

已知函数f (x ) =2.

x +1

（1）证明对任意实数x ，都有f (x ) =f (x ) ，说明f (x ) 在(0,+∞) 上的单调性并证明之； ．．（2）记A =f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+ +f (100)，

1111

B =f (1)+f () +f () +f () + +f () ，求A +B 的值：

234100

（3）若实数x 1, x 2满足f (x 1) +f (x 2) >1. 求证：x 1x 2>1.

21. （本小题满分14分）

已知偶函数．．．f (x ) 对任意x 1, x 2∈R ，恒有f (x 1+x 2) =f (x 1) +f (x 2) +2x 1x 2+1. （1）求f (0),f (1),f (2)的值； （2）求f (x ) 的解析式；

2

（3）是否存在实数a ，使得不等式f (x ) -af (x ) +1

立？若不存在，说明理由；若存在，求实数a 的取值范围.

参考答案

一、BCCCD ，AACDB

二、11、7 12、2 13、12

14、（1）(-∞,1) (1,]；（2）(-∞,0) (1,3] 15、[1,5]

2⎧⎪x -4x -3(x ≥-1)

三、16. 解：（1）f (x ) =⎨2

⎪⎩x +4x +5(x

32

⎧(x -2) 2-7(x ≥-1) ⎪

=⎨ （2分） 2

⎪⎩(x +2) +1(x

其图象如右图所示。 （6分） （2）f (x ) 的单调减区间为(-∞, -2),(-1,2) ；

单调增区间为(-2, -1),(2,+∞) （10分）

（3）由图象知，当x =2时，f (x ) 取得最小值-7. （12分）

17. 解：（1） 0∈A B , ∴0∈A 且0∈B . （3分）

⎧-(-a ) ≥0

，解得0≤a ≤1，故a 的取值范围为[0,1]. （6分） ∴⎨

⎩0≥a -1

（2）当a ≥1时，A ={x x ≤1，或x ≥a }，B =x x ≥a -1 A B =R , ∴a -1≤1，即1≤a ≤2满足条件；（8分） 当a

a -1

18．解：（Ⅰ）设f (x ) =ax +bx +c ，∴f (0)=8, ∴c =8 （1分） 因为f (x -2) =a (x -2) +b (x -2) +8=ax -(4a -b ) x +4a -2b +8为偶函数

2

2

2

2

{}

{}

∴4a -b =0，即b =4a （3分）

又方程f (x ) =4⇔ax +4ax +4=

2

由|x 1-x 2|=

=，解得a =2，从而b =8（5分）

∴f (x ) =2x 2+8x +8=2(x +2) 2 （6分）

（Ⅱ）g (x ) =f (x ) -kx =2x 2+(8-k ) x +8，其对称轴为x =∵当x ∈[－2，2]时，g (x ) 是单调函数 ∴

k -8

（8分） 4

k -8k -8

≤-2或≥2 （10分） 44

解得k ≤0或k ≥16，即实数k 的取值范围是(-∞,0] [16,+∞) ．（12分）

19. 解：（1） f (-0) =-f (0),∴f (0)=0. （2分）

（2）当x 0，则f (x ) =-f (-x ) =-[-(-x ) 2+(a +2) ⋅(-x ) -a 2+5]

=x 2+(a +2) x +a 2-5 （5分）

（3）x ∈(0,2]时，f (x ) =-x +(a +2) x -a +5，显然对称轴x =①当0

2

2

a +2

>0（7分） 2

a +2a +2

-4(-a 2+5) -(a +2) 2=2，解得a =

>2舍去）（a =（9分）

-

4②当

a +2

≥2即a ≥2时，则x =2时取得最大值，则 2

22

-2+2(a +2) -a +5=2，解得a =3（a =-1

综上知a =

或a =3. （12分） x 2|x |2

=f (x ) （1分） 20、解：（1）对任意实数x ，有f (|x |)=2=2

|x |+1x +1

f (x ) 在(0,+∞) 上的单调递增，证明如下： （2分）

任取x 1, x 2∈(0,+∞), x 1

x 12x 22x 12(x 22+1) -x 22(x 12+1)

f (x 1) -f (x 2) =2-2=22

x 1+1x 2+1(x 1+1)(x 2+1)

x 12-x 22(x 1-x 2)(x 1+x 2)

= =2222

(x 1+1)(x 2+1) (x 1+1)(x 2+1) x 2>x 1>0, ∴x 1-x 20

而(x 12+1)(x 22+1) >0，

∴

(x 1-x 2)(x 1+x 2)

（5分）

(x 12+1)(x 22+1)

2

121x x 21（2）当x ≠0时，f (x ) +f () =2+=2+2=1 （7分）

x x +11+1x +1x +1

x 211

)]=100（9分） ∴A +B =[f (1)+f (1)]+[f (2)+f ()]+ +[f (100)+f (

2100

x 12x 22

（3）法一：由f (x 1) +f (x 2) >1⇒2+2>1

x 1+1x 2+1

⇒x 12(x 22+1) +x 22(x 12+1) >(x 12+1)(x 22+1)

⇒x 12x 22>1⇒x 1x 2>1，得证！ （12分）

法二：当f (x 1) +f (x 2) >1时，否则，假设x 1=0，则f (x x 1, x 2均不为0，) =10

，而f (x )

则f (x 1) +f (x 2) 1得f (x 1) >1-f (x 2) 由结论（2）知1-f (x 2) =f (

11

) ，所以f (x 1) >f () （11分） x 2x 2

11

|)⇒|x 1|>||⇒x 1x 2>1. （12分） x 2x 2

又结合结论（1）有f (|x 1|)>f (|

21. 解：（1）令x 1=x 2=0得f (0)=-1；

令x 1=1, x 2=-1得f (0)=f (1)+f (-1) -1，又f (-1) =f (1)，∴f (1)=0 ∴f (2) =

f (1+1) =f 2(1)+= 3 （3分）

2

（2）令x 1=-x 2=x 得f (0)=f (x ) +f (-x ) -2x +1

又f (x ) 为偶函数，∴f (-x ) =f (x )

∴-1=2f (x ) -2x 2+1，即f (x ) =x 2-1 （6分）

（3）假设存在实数a 满足条件。令f (x ) =t , 显然x ∈(1,2) 时，t ∈(0,3).

2222

所以f (x ) -af (x ) +113

⇔t -≤a ≤t +对任意的实数t ∈(0,3)都成立。 （8分）

t t

18

令g (t ) =t -（t ∈(0,3]），显然g (t ) 在区间(0,3)单调递增，∴g (t )

t 38

则a ≥； （10分）

3

3

令h (t ) =t +（t ∈(0,3]），设0

t

33333

h (t 1) -h (t 2) =(t 1+) -(t 2+) =(t 1-t 2) +(-) =(t 1-t 2)(1-)

t 1t 2t 1t 2t 1t 2

当03，1-

所以函数h (x

) 在区间 。

3

h (t 2) ；

t 1t 2

3

>0，所以h (t 1)

∴h (x ) ≥h =

a

综上知存在实数a ∈[, 满足条件. （14分）

83