微积分练习题

^项 目^ ^章 节^

一、填空题.（ 1

．



与0

相比，大的是_____________.

2．设f(x)为连续函数,则lim1x

xa

xa

af(t)dt=__f(a)___.. 3．设



x

f(x)dxxsinx,则f(x)=_____________.

4．5

x3sin2x

5x4

2x21

dx=_____0______. 5. ddx10sinx2

dx ；ddx

sinx2dx dxdx0sint2dt ；d0dxxsint2dt ； dx2

dx0

sint2dt ； 二、选择题. （15%）

1．函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是定积分



b

a

f(x)dx存在的( )条件.

A) 必要 B) 充分 C) 充要 D) 无关. 2．设f(x)是连续函数，则



b

b

a

f(x)dxa

f(abx)dx=（ ）.

A) 0 B) 1 C) ab D) 

b

a

f(x)dx.

3．若F(x)



x

a

xf(t)dt，则F'(x)=（ ）.

A) xf(x) B) 

x

a

f(t)dtxf(x) C) (xa)f(x) D) (xa)[f(x)f(a)].

4．广义积分





xex2

dx=（ ）.A)  B) e C) 

11

2e D) 1

2e

. 5．若广义积分





dx

e

x(lnx)

k

收敛，则（ ）. A) k1 B) k1 C) k1 三、计算题. （50%）

1

x4

解：1. 01x2

dx

D) k0.

2

.



2

3.



2

4

，



4.



11

3

1

dx 22

sinxcosx

5.



|x2x|dx

6.



10

10

7.



xarctanxdx

40

8.



10

x

dx

1cos2x

9.



dx

exex

e

10.



1

1lnx

dx x

3[1,]内的极值. 在t(t1)dt0

2

x

四、应用题与证明题. （20%） 1．设(x)

２. 求下列各曲线所围成的图形的面积： （１）y

12

x与直线3x2y40； 4

x

2x

（２）ye，ye与直线y2；

2

（３）yx与直线y2x3；

３. 由xy9,xy10所围成的图形绕y轴旋转，计算所得旋转体的体积。

^项 目^ ^章 节^

一、填空题. （15%）

1．设f(x,y,z)x22y23z2xy3x2y6z，则在点（1，1，1）处

fff

______。

xyz

2．f(x,y)的一阶偏导数fx(x,y),fy(x,y)在(x0,y0)点连续是f(x,y)在(x0,y0)可微的___________条件。 3．ux

yz

，则

uuu

。 ________

xyz

2

4．f(x,y)x4xy5y1，驻点为______，此时A=____，B=____,C=_____,AC-B2=_____，此驻点_____（是、不是）极值点，是极_____（小、大）值点，_____（是、不是）最值点。

二、选择题. （15%）

1．下列极限存在的为_____。

2

x2x11

(B)li; (C)lim; (D)limxsin (A)lim

x0xyx0xyx0xyx0xyy0y0y0y0

2．

ff

,在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在(x0,y0)处连续的_______条件。 xy

(Α）充分； （B）必要； (C) 充分必要； （D）既不充分又不必要。 3．y=y(x,z)由方程yz=sin(x+y)确定，则

y

是（ ） x

(A)

cos(xy)1cos(xy)1cos(xy)

;(B);(C);(D)。 zzcos(xy)zcos(xy)zcos(xy)

4．在点P处df存在的充分条件为_______________. (Α) f的全部二阶偏导数均连续； （B）f连续;

(C)f的全部一阶偏导数均存在； （D）f连续且

ff

,均存在。 xy

5．zf(x,y,z)，则

z

_________. x

(A)

f;x

f

(B)x;

fzf(C)x;

f1

z

ffy



xyx (D).

f1

z

三、计算题. （50%）

1.

zln

求

zz,. xy

2.f(x,y)xy

，计算fx(0,0)。 1xy

3.u(x2yz3)3,求ux,uy,uz,du.

22

4. 求zlnxy在点（1，1）处的dz。

x2z

5.f具有二阶连续偏导数，zf(x,),求2。

yx

y2z

6. zxf(u),u,f二阶可导，求。

xxy

2

7.zf(xz,zy),f具有连续的一阶偏导，求dz。

xuvuu

,。 8. ，求22

xyyuv

四、应用题与证明题. （20%）

1.求f(x,y)(xy2y)e 的极值点及极值。 ２.求点（2，8）到抛物线y4x 的距离。

３.设zz(x,y)由方程x2y2z2yf(x)所确定，求证：(x2y2z2)z2xyz2xz。

yxy^项 目^ ^章 节^

一、填空题.（15%） 1．

323

(x3xyy)d=___________________.其中D:0x1,0y1.D

2

2

2x

2．设D是由x轴，y轴与直线x

y1所围成，则I1(xy)2d与I2(xy)3d的大小关

D

D

系是____________________. 3.将1dxx

2

f(x,y)dy化为极坐标形式的二次积分为______________________.

4．设D是由直线 yx,y0,x1所围成的区域，则____________________________.

222

5. 设D{(x,y)xya}，且



D

f(x,y)dxdy化成先对y后对x的累次积分是



D

(x2y2)dxdy8，则a_______.

二、选择题. （15%） 1．二重积分

f(x,y)dxdy的值与（ ）

D

A)函数f及变量x,y有关 B)区域D及变量x,y无关 C)函数f及区域D有关 D)函数f无关，区域D有关

22

2．设D{(x,y)xy4,y0}，则

dxdy等于( ).A) 16 B) 8

D

C) 4 D) 2.

3．D

{(x,y)|1x2y24}，则x2dxdy可表达为（ ）.

D

1

1

A)2d2r3cos2dr B) 2r3dr2cos2d C)

dx

22

4x2

2 D) 1dyxdy14xy

2 xdx1y

4．更换I

11x

0dx0f(x,y)dy的积分次序，则I（ ）.

A)1xdy1f(x,y)dx B)1dy1x

0000



f(x,y)dx C) 0dy0f(x,y)dx D) 0dy0f(x,y)dx.

1111y

5．将2dcosf(rcos,rsin)rdr化成直角坐标系形式，则I（ ）.

00A)1dy

yy0

f(x,y)dx B) 1dy

1y0

111

f(x,y)dx C) dxf(x,y)dy D) dx

xx00

f(x,y)dy

三、计算题. （50%） 1.计算I

0edy0edxedy0

Ry2

y

x2

RRy2

Ryedx

x2

2.计算(x

D

y)dxdy，其中D由直线yx,y2x及y1所围成

3.计算

sinx2

，其中D是由直线yx及yx所围成的区域 ()dxdy

Dx

4.计算|

D

yx2|dxdy，其中，D:1x1，0y1

22

(xyy21)dxdy，其中D{(x,y)|xy4} D

5．计算I

四、应用题与证明题. （20%） 1.求由z6x2

y2及z

围成的立体的体积

2．证明

dx

a

bx

a

(xy)

n2

1bn1

f(y)dy(by)f(y)dy

n1a

第十二章 无穷级数习题与参考答案

一．单项选择题．

1．设limana，则级数(anan1)( )．

n



n1

(A) 收敛于a1a； (B) 收敛于a； (C) 收敛于0； (D) 发散. 2．若级数an与bn均发散，则级数( )．

n1

n1





(A)

(a

n1



n

bn)发散； (B)

ab

n1



nn

发散；

(C)

(a

n1

n

bn)发散； (D)

(a

n1

2n2bn)发散.

3．下列级数中，收敛的是( )．

1

(A) e；

(B) ；

(C) n； (D) n1n1n124．设常数0，正项级数

an收敛，则级数(1)n

n1



1

n



2nsin

n1





3

n

.



n1

)． (A) 发散； (B) 条件收敛； (C) 绝对收敛； (D) 敛散性与有关. 5．设常数0，则级数(1)n

n1

n

( )． 2n

(A) 发散； (B) 条件收敛； (C) 绝对收敛； (D) 敛散性与有关.

n

6

．幂级数的收敛域为( )．

n

(A) (3,3)； (B) [3,3)； (C) (3,3]； (D) [3,3]. 二．填空题．

1

．

n1

2．设ans，则(anan1)

n1

n1



5n14n1

3． ． 2n

3n1



4．幂级数n!xn的收敛域为 ．

n0



3nn

5．幂级数nx的收敛域为 ．

n12n!



6．幂级数



n12n

x的收敛域为 ． n

n13

ln(n1)

(x1)n的收敛区间为 ． n1



7．幂级数(1)n

n1

三．用比较审敛法判定下列级数的敛散性：



lnn1

1．(1cos)； 2．2； 3．．

nn1nn2lnnn1







四．用比值审敛法判定下列级数的敛散性：



nn(2n)!

1．； 2．； 22

(n!)(n!)n1n1



2nn!3nn!3．n； 4．n．

n1nn1n



五．讨论下列级数的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）：



11．(1)sin； 2

．(1)n．

nn1n1

n



六．求下列幂级数的和函数：



(1)n12n1x2n1

1．； x； 2．

nn1n02n1



n1n

3．nx； 4．(1)n1nxn．

n02n!n1



七．将下列函数展开成x的幂级数：

1．cos2x； 2．ln(1xx2x3)； 3．八．将函数f(x)3x展开成(x1)的幂级数．

x

． 2

2xx

参考答案

一．1．A；2．C；3．D ；4．C；5．B；6．C．

69

二．1

．12．2sa1；3．；4．{0}；5．(,)；6

．(；7．(2,0)．

20

三．1．收敛；2．收敛；3．发散．

四．1．发散；2．收敛；3．收敛；4．发散． 五．1．条件收敛；2．条件收敛．

12

11xln(1x),0x1

六．1．x；2．ln，x(1,1)；

21x0,x0

x

xx2

3．1e，x(,)；4．，x(1,1)． 2

(1x)2



(1)n22n12n2(1)nn

七．1．1x，x(,)；2．x，1x1；

(2n)!nn1n1



1(1)nn1

3．1n1x，1x1．

2n03



3(ln3)n

八．(x1)n，x(,)．

n!n0



一、填空题 1. 微分方程

2ysinx1是阶微分方程;

2. 微分方程yytanxcosx的通解为 3. 微分方程ydx(x24x)dy0的通解为4. 过点(,0)且满足关系式yarcsinx12

1的曲线方程为______________.

5. 微分方程xy3y0的通解为

6. 差分方程yx6yx10满足初始条件y05的特解为___. 二、选择题

1．方程7yx45yx112x6是（ ）差分方程 A) 三阶

B) 四阶 C) 五阶

D) 六阶.

2．若连续函数f(x)满足关系式f(x) A)eln2 B)e

x

2x



2x

0x

)dtln2，则f(x)等于（ ）. f(2x

ln2 C) eln2 D) eln2.

3．下列函数中是方程yy0的通解的是（ ）.

A) yC1sinxC2cosx B) yCex C) yC1 D) yC1C2ex 4．微分方程yyex1的一个特解应具有形式（式中a,b为任意常数）（ ）. A) aeb B) axeb

x

x

C) aebx

x

D) axebx .

x

5．微分方程y''2yx21sinx的特解形式可设为（ ）.

A) y*ax2bxcx(AsinxBcosx) B) y*x(ax2bxcAsinxBcosx) C) yaxbxcAsinx D) yaxbxcAcosx.

三、计算题

*

2

*

2

dy

yxex的通解 . dxdy

x2y2满足初始条件y2. 求微分方程xydx

1. 求微分方程x

3. 求连续函数f(x)，使它满足f(x)2

xe

2e的特解.



x

f(t)dtx2.

y4y4y0

4. 求解初值问题

y(0)2,y(0)4

5. 求微分方程y2ye2x满足初始条件y(0)1,y(0)1的解.

6. 求差分方程16yx16yx1的通解. 7. 求差分方程yx1yx2t1的通解. 8. 求差分方程yx27yx112yx6的通解.

9. 求差分方程yx23yx13yx5满足初始条件y05，y18的特解