函数的规律探究
函数的对称性、周期性、奇偶性的规律探究
在学习函数这一章中,许多同学被函数的若干性质弄的头昏脑涨,事实上,只要把握其中的规律,也就不困难了。现把规律总结如下:
规律(一) 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
证明:设点P (x 0, y 0) 是函数y=f(x)图象上的任意一点坐标,则关于直线x=a对称点坐标P 为(2a-x 0, y 0) , 用a-x 0替换f(x+a)=f(-x+a)中的x 可得f(2a-x 0) =f(x 0) =y 0, 故点P 满足函数y=f(x)的解析式,所以点P 在函数y=f(x)的图象上,故函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称
推论(一) 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+b), 则函数y=f(x)的图象关于直线x=' ' ' a +b 对称(提示:用b-x 0替2
换f(x+a)=f(-x+b)中的x).
总结:x 的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程
规律(二)定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则2a 是函数y=f(x)的一个周期。
证明:用x+a替换f(x+a)=f(x-a)中的x ,得f(x+2a)=f(x)由周期函数的定义可得2a 是它的一个周期。
推论(二)定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-b),则a+b是函数y=f(x)的一个周期。(提示:用x+b替换f(x+a)=f(x-b)中的x 即得)
总结:x 的系数均为1,相减不除以2.
规律(三) 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),且是一个奇函数,则4a 是它的一个周期。
证明:由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),由奇函数的性质可得-f(x) =f(x+2a),用x+2a替换x 得-f(x+2a)=f(x+4a),所以
f(x)=f(x+4a),故 4a 是它的一个周期。
规律(四) 定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),且是一个偶函数,则2a 是它的一个周期。
证明:由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),又因为f(-x)=f(x),所以f(x+2a)=f(x)故2a 是它的一个周期。
提问(1):若定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),且 4a 是它的一个周期,y=f(x)是奇函数吗?
提问(2):4a 是函数y=f(x)的一个周期,y=f(x)是奇函数,函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)?
提问(3):定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),2a 是它的一个周期,y=f(x)是一个偶函数吗?
提问(4):2a 是它的一个周期,y=f(x)是一个偶函数,y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)吗?
ππ) =f(-x+) , 且2π是它的一个周期,但它不是一个奇函数。 22
3第二个提问也不正确,我们可以举一个分段函数,使其为奇函数,6是它的一个周期,但x=并不是它的对称轴。 2(1)和(2)两个提问均不正确,例如:y=sinx+2,f(x+
(3)和(4)两个提问都正确,请读者自己证明。
通过对以上规律的研究,我们对函数性质的综合问题有了一些初步了解,下面通过几道题目进一步加深。
例1 函数f(x)在定义域R 上不是常函数,且f(x)满足条件:对任意x ∈R , 都有f(x+4)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1)则f(x)是( ) A 奇函数但非偶函数 B 偶函数但非奇函数
C 是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数
解答:由已知条件可得,该函数关于x=4对称, 且周期为2,由提问(3)直接可得。事实上,f(-x)=f(x+8),f(x)=f(x+8),所以f(-x)= f(x),故选B
例2 已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),( x∈R ) 且f(1)=1,f(2005)=
解答:用x+1替换条件中的x 得,f(x+3)=f(x+2)- f(x+1) ①, f(x+2)=f(x+1)-f(x) ②, ① +② 可得f(x+3)= -f(x),用x+3替换x, 得f(x+6)= -f(x+3),所以 f(x+6)= f(x),故6是它的一个周期,则f(2005)=f(334⨯6+1) =f(1)=1
通过对以上例题的解答, 我们意识到, 深挖函数性质, 探讨规律, 方能运用自如, 我们不难发现, 无论是每一个规律, 还是每一道题, 替换思想起着重要作用.
关于函数的对称性和周期性
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中,研究一个函数,首看定义域、值域,然后就要研究对称性(中心对称、轴对称)、周期性,并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系,2005年,广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。
一、函数的对称性
1、函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (b -x ) 时,函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a +b 对称。 2
a +b 的对称点(a +b -x 1,y 1),2证明:在函数y =f (x ) 上任取一点(x 1,y 1),则y 1=f (x 1) ,点(x 1,y 1)关于直线x =
当x =a +b -x 1时,f (a +b -x 1) =f [a +(b -x 1)]=f [b -(b -x 1)]=f (x 1) =y 1,故点(a +b -x 1,y 1)也在函数y =f (x ) 图象上。由于点(x 1,y 1)是图象上任意一点,因此,函数的图象关于直线x =
(注:特别地,a =b =0时,该函数为偶函数。)
2、函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时,函数y =f (x ) 的图象关于点(a +b 对称。 2a +b c ,)对称。 22
a +b c 证明:在函数y =f (x ) 上任取一点(x 1,y 1),则y 1=f (x 1) ,点(x 1,y 1)关于点 (,)的对称点(a +b -x 1,22
c -y 1),当x =a +b -x 1时, f (a +b -x 1) =c -f [b -(b -x 1)]=c -f (x 1) =c -y 1,即点(a +b -x 1,c -y 1)在函数y =f (x ) 的图象上。由于点(x 1,y 1)为函数y =f (x ) 图象上的任意一点可知,函数y =f (x ) 的图象关于点(a +b c ,)对称。 22
(注:当a =b =c =0时,函数为奇函数。)
3、函数y =f (a +x ) 的图象与y =f (b -x ) 的图象关于直线x =b -a 对称。 2
b -a 对称点(b -a -x 1,y 1)。2证明:在函数y =f (a +x ) 上任取一点(x 1,y 1),则y 1=f (a +x 1) ,点(x 1,y 1)关于直线x =
由于f [b -(b -a -x 1)]=f [b -b +a +x 1]=f (a +x 1) =y 1,故点(b -a -x 1,y 1)在函数y =f (b -x ) 上。由点(x 1,y 1)是函数y =f (a +x ) 图象上任一点,因此y =f (a +x ) 与y =f (b -x ) 关于直线x =b -a 对称。 2
二、周期性
1、一般地,对于函数f (x ) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x +T) =f (x ) ,那么函数f (x ) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。
2、对于非零常数A ,若函数y =f (x ) 满足f (x +A) =-f (x ) ,则函数y =f (x ) 必有一个周期为2A 。
证明:f (x +2A) =f [x +(x +A)]=-f (x +A) =-[-f (x )]=f (x )
∴函数y =f (x ) 的一个周期为2A 。
3、对于非零常数A ,函数y =f (x ) 满足f (x +A) =
证明:略。
4、对于非零常数A ,函数y =f (x ) 满足f (x ) =-1,则函数y =f (x ) 的一个周期为2A 。 f (x ) 1,则函数y =f (x ) 的一个周期为2A 。 f (x )
证明:略。
三、对称性和周期性之间的联系
1、函数y =f (x ) 有两根对称轴x =a ,x =b 时,那么该函数必是周期函数,且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。 已知:函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ,f (b +x ) =f (b -x ) (a ≠b ),求证:函数y =f (x ) 是周期函数。
证明:∵f (a +x ) =f (a -x ) 得f (x ) =f (2a -x )
f (b +x ) =f (b -x ) 得f (x ) =f (2b -x )
∴f (2a -x ) =f (2b -x )
∴f (x ) =f (2b -2a +x )
∴函数y =f (x ) 是周期函数,且2b -2a 是一个周期。
2、函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (a -x ) =c 和f (b +x ) +f (b -x ) =c (a ≠b )时,函数y =f (x ) 是周期函数。
(函数y =f (x ) 图象有两个对称中心(a ,c c )、(b ,)时,函数y =f (x ) 是周期函数,且对称中心距离的两倍,是函数的22
一个周期。)
证明:由f (a +x ) +f (a -x ) =c ⇒f (x ) +f (2a -x ) =c
f (b +x ) +f (b -x ) =c ⇒f (x ) +f (2b -x ) =c
得f (2a -x ) =f (2b -x )
得f (x ) =f (2b -2a +x )
∴函数y =f (x ) 是以2b -2a 为周期的函数。
3、函数y =f (x ) 有一个对称中心(a ,c )和一个对称轴x =b )(a ≠b )时,该函数也是周期函数,且一个周期是4(b -a ) 。 证明:略。
四、知识运用
2005高考中,福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查,并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下,供大家参考。
1、(2005·福建理)f (x ) 是定义在R 上的以3为周期的奇函数,且f (2)=0,则方程f (x ) =0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )
A .2 B .3 C .4 D .5
解:f (x ) 是R 上的奇函数,则f (0)=0,由f (x +3) =f (x ) 得f (3)=0,f (2)=0⇒f (5)=0
f (2)=0⇒f (-1) =0⇒f (1)=0 ∴f (4)=0
∴x =1,2,3,4,5时,f (x ) =0
这是答案中的五个解。
=f -(1⋅5+f 3=) 又 ⋅ f (-1⋅5=) -f ⋅(1⋅5=) f ⋅(1+5f =3) 知⋅ 但是 f (-1⋅5) 知 f (1⋅5) =0而 0=f (1
x =1.5, x =4.5, f (x ) =0也成立,可知:在(0,6)内的解的个数的最小值为7。
2、(2005·广东 19)设函数f (x ) 在(-∞,+∞)上满足f (2-x ) =f (2+x ) ,f (7-x ) =f (7+x ) ,且在闭区间[0,7]上,只有f (1)=f (3)=0。
⑴试判断函数y =f (x ) 的奇偶性;
⑵试求方程f (x ) =0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。
解:⑴由f (2-x ) =f (2+x ) ,f (7-x ) =f (7+x ) 得函数y =f (x ) 的对称轴为x =2,x =7。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。
因为函数y =f (x ) 在[0,7]上只有f (1)=f (3)=0
可知 f (0)≠0,f (7)≠0
=0且, f 又 f (3) (=3) f -(3=10f ) -
∴f (-7) =0
≠且0-f (7)≠0,则f (-7) ≠f (7),f (-7) ≠-f (7) 而 f (7)
因此,函数y =f (x ) 既不是奇函数,也不是偶函数。
⑵由f (3)=f (1)=0,可得f (11)=f (13)=f (-7) =f (-9) =0
故函数y =f (x ) 在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,满足f (x ) =0;从而可知函数y =f (x ) 在[0,2005]上有402个解,在[-2005,0]上有400个解。所以,函数y =f (x ) 在[-2005,2005]上共有802个解。
抽象函数的对称性与周期性
一、 抽象函数的对称性
a +b
定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ,且满足条件:f (a+x)=f (b-x) ,则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 2对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ,且满足条件:f (a+x)=f (a-x)
(或f (2a-x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。
推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ,且满足条件:f (a+x)=f (a-x) , 又若方程f (x)=0有n 个根,则此n 个根的和为na 。
a +b c , ) 2 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ,且满足条件:f (a+x)+f (b-x)=c,(a,b,c 为常数),则函数y=f (x) 的图象关于点2(
对称。
推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ,且满足条件:f (a+x)+f (a-x)=0,(a 为常数),则函数y=f (x) 的图象关于点(a ,0)对称。
b -a
定理3. 若函数y=f (x) 定义域为R ,则函数y=f (a+x) 与y=f (b-x) 两函数的图象关于直线x=2对称。
b -a c (, ) 22对称。 定理4. 若函数y=f (x) 定义域为R ,则函数y=f (a+x) 与y=c-f (b-x) 两函数的图象关于点
a +b
性质1:对函数y=f(x),若f(a+x)= -f(b-x) 成立,则y=f(x)的图象关于点(2,0)对称。
性质2:函数y=f(x-a) 与函数y=f(a-x) 的图象关于直线x=a对称。
性质3:函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x) 的图象关于直线x=0对称。
b -a
性质4:函数y=f(a+x)与函数y=-f(b-x) 图象关于点(2,0)对称。
二、抽象函数的周期性
定理5. 若函数y=f (x) 定义域为R ,且满足条件f (x+a)=f (x-b) ,则y=f (x) 是以T=a+b 为周期的周期函数。
定理6. 若函数y=f (x) 定义域为R ,且满足条件f (x+a)= -f (x-b) ,则y=f (x) 是以T=2(a +b )为周期的周期函数。 定理7. 若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 x=b (a ≠b) 对称,则y=f (x) 是以T=2(b-a) 为周期的周期函数。
定理8. 若函数y=f (x)的图象关于点(a,0) 与点(b,0) , (a≠b) 对称,则y=f (x) 是以T=2(b-a) 为周期的周期函数。
定理9. 若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b) 对称,则y=f (x) 是以 T=4(b-a) 为周期的周期函数。 性质1:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) 及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab ≠0), 则函数f(x)有周期2(a-b) ;
性质2:若函数f(x)满足f(a-x)= - f(a+x) 及f(b-x)=- f(b+x) ,(a≠b,ab ≠0), 则函数有周期2(a-b).
特别:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a ≠0)且f(x)是偶函数,则函数f(x)有周期2a.
性质3:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) 及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab ≠0) ,则函数有周期4(a-b).
特别:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a ≠0)且f(x)是奇函数,则函数f(x)有周期4a 。
练习:
1. 设f (x ) =x +1, 求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线方程。
2.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) 2
5775
A . f(1)
7557
B . C . f(2)
3.已知函数f(x-1) 的图象,通过怎样的变换可以得到函数f(-x+2)的图象。
4. 若函数f (x)=x2+bx+c 对一切实数都有f (2+x) = f (2-x) 则( )
(A ) f (2)
(C) f (2)
5、设函数y= f (x)定义在实数集R 上,则函数y= f (x-1) 与y= f (1-x) 的图象关于( )对称。
(A )直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1
6、设函数y= f (x)定义在实数集R 上,且满足 f (x-1)= f (1-x) ,则函数y= f (x)的图象关于( )对称。
(A )直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线y=1 (D)直线 x=1
7、设函数f (x)=(x+a) 3 对任意实数x 都有 f (2+x) =-f (2-x) ,则 f (-3)+f (3) = ( )
(A) -124 (B) 124 (C) -56 (D) 56
8、已知实系数多项式函数f (x) 满足f (1-x) = f (3+x) , 并且方程 f (x)=0有四个根,求这四个根之和。
9、函数 f(x)的定义域为R ,且满足 f (12-x) = f (x) ,方程f (x) =0 有n 个实数根,这n 个实数根的和为1992,那么n 为( )
(A ) 996 (B ) 498 (C ) 332 (D ) 116
10、设f (x) 是定义在实数集R 上的函数,且满足 f (10+x) = f (10-x) 与 f (20-x)= -f (20+x),则f (x)是 ( )
(A )偶函数,又是周期函数, (B )偶函数,但不是周期函数
(C )奇函数,又是周期函数, (D )奇函数,但不是周期函数
11、设y=f (x) 是定义在实数集R 上的函数,且满足 f (-x) = f (x)与f (4-x)=f (x),若当
x ∈[0,2]时,f (x) =--x 2 +1 ,则当x ∈[-6 , -4 ]时f (x)= ( )
(A )-x 2 +1 (B) -(x-2) 2 +1 (C)-(x+4)2 +1 (D) - (x+2)2 +1
12、设f (x)= x2 +1 , 若g (x)的图象与y= f (x+2) 的图象关于点 (1,1)对称,求g (x).
函数奇偶性、对称性与周期性
奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质,下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论
(一)函数y =f (x ) 图象本身的对称性(自身对称)
1、f (a +x ) =f (a -x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称。
2、f (x ) =f (2a -x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称。
3、f (-x ) =f (2a +x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称。
4、f (a +x ) =f (b -x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =(a +x ) +(b -x ) =a +b 对称。 22
5、f (a +x ) +f (a -x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。
6、f (x ) +f (2a -x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。
7、f (-x ) +f (2a +x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。
8、f (a +x ) +f (b -x ) =2c ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a +b , c ) 对称。 2
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、函数y =f (a +x ) 与y =f (a -x ) 图象关于直线x =0对称。
2、函数y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 图象关于直线x =a 对称
3、函数y =f (-x ) 与y =f (2a +x ) 图象关于直线x =-a 对称
4、函数y =f (a +x ) 与y =f (b -x ) 图象关于直线(a +x ) -(b -x ) =0对称 即直线x =b -a 对称 2
5、函数y =f (x ) 与y =-f (x ) 图象关于X 轴对称。
6、函数y =f (x ) 与y =f (-x ) 图象关于Y 轴对称。
7、函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 图象关于原点对称
(三)函数的周期性
1、f (x +T ) =f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T
2、f (x +a ) =f (b +x +b ) (a
3、f (x +a ) =-f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a
4、f (x +a ) =1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a f (x )
1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a f (x )
5、f (x +a ) =-
6、f (x +a ) =1-f (x )
1+f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =3a
7、 f (x +a ) =-1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =3a f (x ) +1
8、f (x +a ) =1+f (x )
1-f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =4a
9、f (x +2a ) =f (x +a ) -f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =6a
10、y =f (x ) 有两条对称轴x =a 和x =b (a
11、y =f (x ) 有两个对称中心(a , 0) 和(b , 0) ⇔y =f (x ) 周期T =2(b -a )
12、y =f (x ) 有一条对称轴x =a 和一个对称中心(b , 0) ⇔y =f (x ) 周期T =4(b -a )
13、奇函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ⇔y =f (x ) 周期T =4a 。
14、偶函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ⇔y =f (x ) 周期T =2a 。
函 数 的 对 称 性
函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、 函数自身的对称性探究
定理1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a-x) = 2b
‘证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P (2a -x ,2b -y )也在y =
f (x)图像上,∴ 2b -y = f (2a-x)
即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y 0) 是y = f (x)图像上任一点,则y 0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x 0) =2b,即2b -y 0 = f (2a-x 0) 。
‘‘ 故点P (2a -x 0,2b -y 0)也在y = f (x) 图像上,而点P 与点P 关于点A (a ,b)对称,充分性得征。
推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)
推论:函数 y = f (x)的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a ≠b ),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a ≠b ),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是
其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a ≠b ),则y = f (x)是周期函数,
且4| a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b -x 代x 得:f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,
∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a -b )-x 代x 得
f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
二、 不同函数对称性的探究
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x) 的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x) 的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a -x = f (a-y) 的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x -a = f (y + a)的图像关于直线x -y = a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③
‘ 设点P(x0 ,y0) 是y = f (x)图像上任一点,则y 0 = f (x0) 。记点P( x ,y)关于直线x -y = a的轴对称点为P (x 1, y 1),则
‘x 1 = a + y0 , y1 = x0-a ,∴x 0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y 0 = f (x0) 之中得x 1-a = f (a + y1) ∴点P (x 1, y 1)在函数x -a = f (y
+ a)的图像上。
同理可证:函数x -a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x -y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三、函数对称性应用举例
例1:定义在R 上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (第十二届希望杯高二 第二试题)
(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数
解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)
例2:设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x-1) 和g -1(x-2) 函数的图像关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。
(A ) 1999; (B )2000; (C )2001; (D )2002。
解:∵y = f(x-1) 和y = g(x-2) 函数的图像关于直线y = x对称,
∴y = g(x-2) 反函数是y = f(x-1) ,而y = g(x-2) 的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选(C )
例3. 设f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x), 当-1≤x ≤0时, -1-1-1
f (x) = -1x ,则f (8.6 ) = _________ (第八届希望杯高二 第一试题) 2
解:∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;
又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
例4. 设f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x ≤1时,
f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )
(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5
解:∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;
又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x) ,即f (1+ x) = f (1-x) , ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数。 ∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)