第六讲 多元函数微分学的几何应用
第六讲 多元函数微分学的几何应用
教学目的 能够使学生熟练掌握空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程的
求法，会解有关的几何问题．
教学重点 空间曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面与法线方程的建立及求解其方程． 教学难点 如果空间曲线作为两个曲面交线情形下，空间曲线的切线与法平面方程的建立． 教学时数 2学时． 教学过程
一、空间曲线的切线与法平面方程：
⎧x =Φ(t ) ⎪
⎨y =ψ(t ) ⎪z =W (t )
α≤t ≤β1．空间曲线Γ的参数方程为：⎩
(
1
假定(1)式中的三个函数都在[α, β]上可导，且不同时为零．
在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M (x 0, y 0, z 0) 及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点
， )
x -x 0y -y 0z -z 0
==
M ' (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ) ，割线MM ' 方程为：∆x ∆y ∆z ．当M ' 沿
Γ趋近于M 时，割线MM ' 的极限位置MT 就是曲线Γ在点M 处的切线，即有：
x -x 0y -y 0z -z 0
==∆x ∆y ∆z lim lim lim ∆t →0∆t ∆t →0∆t ∆t →0∆t ．
所
以
空
间
曲
线
Γ
在点
M
处的切线方程为：
x -x 0y -y 0z -z 0
==
Φ' (t 0) ψ' (t 0) W ' (t 0) ． (2)
通过点M 而与切线垂直的平面成为曲线Γ在点M 处的法平面，它是通过点
M (x 0, y 0, z 0) 而以T ={Φ'(t 0), ψ'(t 0), W '(t 0) }为法向量的平面．因此这法平面的方程为：
Φ' (t 0)(x -x 0) +ψ' (t 0)(y -y 0) +W ' (t 0)(z -z 0) =0． (3)
2(
．设空间曲线
Γ
4
的方程以
⎧F (x , y , z ) =0
⎨
⎩G (x , y , z ) =0
)
的形式给出，M (x 0, y 0, z 0) 是曲线Γ上的一个点．又设F 、G 有对各个变量的连续偏导数，
∂(F , G )
|(x 0, y 0, z 0) ≠0
∂(y , z ) 且，由隐函数存在定理，这时方程组(4)在点M (x 0, y 0, z 0) 的某一个邻
域内确定了一组函数y =Φ(x ), z =ψ(x ) 若取
x 为参数，空间曲线Γ的方程为
⎧x =x ⎪
⎨y =Φ(x ) ⎪z =ψ(x ) ⎩． (5)
1, Φ(x 0), ψ(x 0) }，只要求出Φ' (x 0), ψ' (x 0) 然后曲线Γ在点M 处切线的一个切向量T ={
F [x , Φ(x ), ψ(x ) ]≡0代入(2)，(3)两式就行了．为此，我们在恒等式G [x , Φ(x ), ψ(x ) ]≡0两边分别对x 求全导数，
得
⎧∂F ∂F dy ∂F dz
++=0⎪⎪∂x ∂y dx ∂z dx ⎨∂G ∂G dy ∂G dz ⎪++=0⎪⎩∂x ∂y dx ∂z dx ，
J =
∂(F , G )
≠0
∂(y , z ) 故可解得
由假设可知在点M 的某个邻域内
F z
G z dy
|x =x =Φ' (x 0) =
F y dx 0
G y
F x G x F z G z
00
,
dz
|x =x =ψ' (x 0) =
F y dx 0
G y
F x G x F y G y F z G z
分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M (x 0, y 0, z 0) 的值．把上面的切向量T 乘以
F y G y F z G z
⎡F y
T 1=⎢
⎢G y ⎣，得
F z F z
, G z G z
0F x , G x 0G x F x
F y ⎤
⎥G y ⎥
0⎦，这也是曲线Γ在点M 处的一个
切向量．由此可写出曲线Γ在点M (x 0, y 0, z 0) 处的切线方程为
x -x 0F y F z G y
G z
=
y -y 0F z F x G z
G x
=
z -z 0F x F y G x
G y
(6)
曲线Γ在点M (x 0, y 0, z 0) 处的法平面方程为
F y G y
F z G z
(x -x 0) +
F z G z
F x G x
(y -y 0) +
F x G x
F y G y
(z -z 0) =0
(7)．
23
x =t , y =t , z =t 例1 求曲线在点(1, 1, 1) 处的切线及法线的方程．
解 x ' t =1, y ' t =2t , z ' t =3t 而点(1, 1, 1) 所对应的参数t =1．
2
∴T ={1, 2, 3}．
x -1y -1z -1
==123，于是，切线方程为法平面方程为(x -1) +2(y -1) +3(z -1) =0
即x +2y +3z =6
222
x +y +z =6, x +y +z =0在点(1, -2, 1) 处的切线及法平面方程． 例2求曲线
解 这里可以利用公式(6)(7)来解．但下面我们依照推导公式的方法来做．将所给方程的两边对x 求导并移项，得
dz ⎧dy
y +z =-x ⎪dx dx ⎨dy dz ⎪+=-1⎩dx dx ，
由此得
-x
dy -1=y dx
1
z
1z -x dz ==z y -z dx 1，y -x
1-1x -y
=y z y -z 11．
dy dz
|(1, -2, 1) =0, |(1, -2, 1) =-1, dx dx
1, 0, -1} 从而T ={
x -1y +2z -1==10-1，法平面方程为x -z =0． ∴所求切线方程为
二、曲面的切平面与法线
设曲面∑由方程
F (x , y , z ) =0
(8)
给出．M (x 0, y 0, z 0) 是曲面∑上的一点，并设函数F (x , y , z ) 的偏导数在该点连续且不同时为零．下面我们建立曲面∑在点M 的切平面方程．
在曲面∑上，通过点M 任意引一条曲线Γ，假定曲线Γ的参数方程为
x =φ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ), (α≤t ≤β) (9)
t =t 0对应于点M (x 0, y 0, z 0) 且φ' (t 0), ψ' (t 0), ω' (t 0) 不全为零．
x -x 0y -y 0z -z 0
=' ='
'
则由(2)式可得这曲线的切线方程为： φ(t 0) ψ(t 0) ω(t 0)
我们现在要证明，在曲面∑上通过点M 且在点M 处具有切线的任何曲线, 它们在点M 处的切线在同一个平面上．事实上，因为曲线Γ完全在曲面∑上，所以有恒等式
F [φ(t ), ψ(t ), ω(t )]≡0，又因F (x , y , z ) 在点(x 0, y 0, z 0) 处有连续偏导数，且
φ' (t 0), ψ' (t 0), ω' (t 0) 存在．所以这恒等式左边的复合函数在t =t 0时有全导数，且这全导数
d
F [φ(t ), ψ(t ), ω(t )]|t =t 0=0dt 等于零：
' ' '
F (x , y , z ) φ(t ) +F (x , y , z ) ψ(t ) +F (x , y , z ) ω(t 0) ≡0 x 0000y 0000z 000即有：
(
引入向量：
10)
=(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),
' ' '
T =(φ(t ), ψ(t ), ω(t 0)) 与向量n 垂直．因为曲00M 则(10)式表示曲线(9)在点处的切向量
线(9)是曲面上通过点M 的任意一条曲线，它们在点M 的切线都与同一个向量垂直，所以曲面上通过点M 的任意一条曲线在点M 的切线都在同一个平面上．这个平面称为曲面
∑
在点
M
的切平面，这切平面的方程是：
)
F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0
(
1
1
通过点M (x 0, y 0, z 0) 而垂直与切平面(11)的直线称为曲面在该点的法线．
法(
线方程是：1
x -x 0y -y 0z -z 0
==
F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)
2
)
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量
=(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),
就是曲面∑在点M 处的一个法向量．
现(13)
在
来
考
虑
曲
面
方
程
：
z =f (x , y )
令 F (x , y , z ) =f (x , y ) -z
可见 F x (x , y , z ) =f x (x , y ) ，F y (x , y , z ) =f y (x , y ) ，F z (x , y , z ) =-1
于是，当函数f (x , y ) 的偏导数f x (x , y ) 、f y (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续时，曲面(13)在点M (x 0, y 0, z 0) 处的法向量为：
=(f x (x , y ), f y (x , y ), -1)
切平面方程为： f x (x 0, y 0)(x -x 0) +f y (x 0, y 0)(y -y 0) -(z -z 0) =0
或 z -z 0=f x (x 0, y 0)(x -x 0) +f y (x 0, y 0)(y -y 0) (
1
4
)
x -x 0y -y 0z -z 0
==f y (x 0, y 0) -1 而法线方程为： f x (x 0, y 0)
这里顺便指出，方程(14)右端恰好是函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量．因此，函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的全微分，在几何上表示曲面z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0, z 0) 处的切平面上点的竖坐标的增量．
如果用α, β, γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是以锐角，则法向量的方向余弦为
cos α=
-f x +f x 2+f y 2
，
cos β=
-f y +f x 2+f y 2
，
cos γ=
1+f x 2+f y 2
这里，把f x (x 0, y 0) f y (x 0, y 0) ，分别简记为f x , f y ．
例3 求球面x +y +z =14在点(1，2，3) 处的切平面及法线方程． 解
2
2
2
F (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2-14，而=(F x , F y , F z ) =(2x , 2y , 2z )
，
|(1, 2, 3) =(2, 4, 6) 所以在点(1，2，3) 处时球面的切平面方程为：
2(x -1) +4(y -2) +6(z -3) =0 即：x +2y +3z -14=0
x -1y -2z -3x y z
====
23，即123，由此可见，法线经过原点(即球法线方程为：1
心) ．
22
z =x +y -1在点(2，1，4) 处的切平面及法线方程． 例4 求旋转抛物面
1}n |(2,1,4)=(4,2,-1) 解 f (x , y ) =x +y -1 n ={2x , 2y -, ，
2
2
所以在点(2，1，4) 处的切平面方程为：
4(x -2) +2(y -1) -(z -4) =0
即 4x +2y -z -6=0
x -2y -1z -4
==42-1 法线方程为
作业 习题8-6(45页) 1,4,5,6,8,10.