高二数学平面解析几何初步经典考试题

第2章 平面解析几何初步 综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

2

1．直线3ax －y －1＝0与直线(a －) x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )

3

11

A ．－1或 B ．1或

3311C ．－或－1 D ．－或1

33

21

解析：选D. 由3a (a －) ＋(－1)×1＝0，得a ＝－或a ＝1.

33

2．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b ) 在同一坐标系中的图形大致是图中的( )

解析：选C. 直线l 1：ax －y ＋b ＝0，斜率为a ，在y 轴上的截距为b ， 设k 1＝a ，m 1＝b . 直线l 2：bx －y ＋a ＝0，斜率为b ，在y 轴上的截距为a ， 设k 2＝b ，m 2＝a .

由A 知：因为l 1∥l 2，k 1＝k 2>0，m 1>m 2>0，即a ＝b >0，b >a >0，矛盾． 由B 知：k 1m 2>0，即a a >0，矛盾． 由C 知：k 1>k 2>0，m 2>m 1>0，即a >b >0，可以成立． 由D 知：k 1>k 2>0，m 2>0>m 1，即a >b >0，a >0>b ，矛盾．

3．已知点A (－1,1) 和圆C ：(x －5) 2＋(y －7) 2＝4，一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )

A ．2－2 B ．8 C ．6 D ．10

解析：选B. 点A 关于x 轴对称点A ′(－1，－1) ，A ′与圆心(5,7)的距离为 5＋1 2＋ 7＋1 2＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8. 4．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含

解析：选D. 圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为

(0,0)，半径为2，则圆心距0

5．已知圆C ：(x －a ) 2＋(y －2) 2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于( )

2 2－1 C ．22 2＋1

|a －2＋3||a ＋1|

解析：选B. 圆心(a, 2) 到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝22

⎛|a ＋1|⎫2⎛23⎫2

＋ ＝4，解得a ＝2－1. 依题意

2⎭⎝2⎭⎝

6．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1) 对称的直线是( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0

解析：选D. ∵所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0， ∴设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， |2－3＋c ||2－3－6|由＝，

22＋3222＋32

∴c ＝8，或c ＝－6(舍去) ，

∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.

7．若直线y －2＝k (x －1) 与圆x 2＋y 2＝1相切，则切线方程为( )

3

A ．y －2＝(1－x )

43

B ．y －2＝(x －1)

4

3

C ．x ＝1或y －2＝(1－x )

43

D ．x ＝1或y －2＝(x －1)

4

解析：选B. 数形结合答案容易错选D ，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．

8．圆x 2＋y 2－2x ＝3与直线y ＝ax ＋1的公共点有( ) A ．0个 B．1个

C ．2个 D．随a 值变化而变化

解析：选C. 直线y ＝ax ＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部．

9．过P (5,4)作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －3＝0的切线，切点分别为A 、B ，四边形PACB 的面积是( )

A ．5 B ．10 C ．15 D ．20

解析：选B. ∵圆C 的圆心为(1,1)，半径为5. ∴|PC | 5－1 2＋ 4－1 2＝5，

∴|PA |＝|PB |52－ 5 2＝25，

1

∴S ＝5×5×2＝10.

2

10．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m ) 始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )

A ．(0,1) B ．(0，－1) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)

22

解析：选C. 圆x ＋y －4x －2y －4＝0可化为(x －2) 2＋(y －1) 2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m ) ＝－m 2＋2m ＝－(m －1) 2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1.

11．已知直线l ：y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－2,2) B ．(－1,1) C ．[12) D ．(2，2)

解析：选C. 曲线y ＝1－x 2表示单位圆的上半部分，画出直线l 与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l 在过点(－1,0) 与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l 与曲线有两个交点．

当直线l 过点(－1,0) 时，m ＝1；

当直线l 为圆的上切线时，m 2(注：m ＝－2，直线l 为下切线) ． 12．过点P (－2,4) 作圆O ：(x －2) 2＋(y －1) 2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )

A ．4 B ．2 812C. D. 55解析：选A. ∵点P 在圆上，

114

∴切线l 的斜率k ＝－k OP 1－43

2＋24

∴直线l 的方程为y －4＝x ＋2) ，

3

即4x －3y ＋20＝0. 又直线m 与l 平行，

∴直线m 的方程为4x －3y ＝0.

|0－20|

故两平行直线的距离为d ＝24.

4＋ －3 2

二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)

13．过点A (1，－1) ，B (－1,1) 且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________．

解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O (1,1)，半径r ＝|OA |＝2.

答案：(x －1) 2＋(y －1) 2＝4

14．过点P (－2,0) 作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|PA |·|PB |＝________.

解析：过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |＝3，由切割线定理，|PA |·|PB |＝|PC |2＝3.

答案：3

15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．

解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－∵两直线垂

2

a |c |

直，∴(－2)·(－) ＝－1，得a ＝－1. 圆心到切线的距离为5，即5，

25

∴c ＝±5，故ac ＝±5.

答案：±5

16．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是__________．

解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，

得(x －1) 2＋(y ＋2) 2＝1，圆心为(1，－2) ，半径为1. 若直线与圆无公共点，

|3×1＋4× －2 ＋m ||m －5|

即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝1，

532＋42∴m ＜0或m ＞10.

答案：(－∞，0) ∪(10，＋∞)

三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．三角形ABC 的边AC ，AB 的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，求BC 边所在的直线方程．

解：AC 边上的高线2x －3y ＋1＝0，

3

所以k AC ＝－2

3

所以AC 的方程为y －2＝－x －1) ，

2

即3x ＋2y －7＝0，

同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程， ⎧3x ＋2y －7＝0，由⎨得顶点C (7，－7) ， x ＋y ＝0，⎩

⎧x －y ＋1＝0，由⎨

⎩2x －3y ＋1＝0，

a

得顶点B (－2，－1) ．

22

所以k BC ＝－BC ：y ＋1＝－(x ＋2) ，

33

即2x ＋3y ＋7＝0.

18．一束光线l 自A (－3,3) 发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2

＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．

(1)求反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程； (2)求在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围． 解：圆C 的方程可化为(x －2) 2＋(y －2) 2＝1.

(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2) ，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．

(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3) ， 设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3) ．

|2k －2＋3k －3|43

当该直线与圆C 相切时，有＝1，解得k ＝k ＝，

341＋k 2

43

所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝(x ＋3) ，y ＋3＝(x ＋3) ．

34

3

令y ＝0，得x 1＝－x 2＝1，

4

3

所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－，1]．

4

19．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点) ，求m 的值；

(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为 (x －1) 2＋(y －2) 2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.

22

⎧x ＋y －2x －4y ＋m ＝0，(2)⎨

⎩x ＋2y －4＝0，

消去x 得(4－2y ) 2＋y 2－2×(4－2y ) －4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2) ，则 16

⎧⎪y ＋y ＝5， ⎨m ＋8y y ＝. ②⎪5⎩

1

2

12

①

由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0

即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2) ＝0， ∴16－8(y 1＋y 2) ＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得

16m ＋8＋5×＝0， 558

解之得m ＝58

(3)由m ＝5y 2－16y ＋m ＋8＝0，

516－8×

化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝

124，y 2＝55

412

∴x 1＝4－2y 1＝－，x 2＝4－2y 2＝.

55

⎛412⎫⎛124⎫∴M －，，N ，

⎝55⎭⎝55⎭

⎛48⎫

∴MN 的中点C 的坐标为 .

⎝55⎭

⎛124⎫2⎛412⎫285 ＋＝又|MN |＝ 55555⎝⎭⎝⎭5

∴所求圆的半径为.

5

4⎫

⎛8⎫16⎛

∴所求圆的方程为 x －2＋ y －⎪2＝5⎭⎝5⎭5⎝

20. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1

和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b ) 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|PA |成立，如图．

(1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；

(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．

解：(1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，

又|PQ |＝|PA |，

所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2 ＝1＋|PA |2，

所以a 2＋b 2＝1＋(a －2) 2＋(b －1) 2， 故2a ＋b －3＝0.

(2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离，

|2×2＋1－3|25

所以|PQ |min ＝522＋12

(或由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5

5(a －1.2) 2＋0.8，得|PQ |min ＝.)

5

(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l

335

垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝2－1＝1，

52＋12

又l ′：x －2y ＝0，

63

联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(，) ．

55635

所以所求圆的方程为(x －) 2＋(y －2＝(－1) 2.

555

21．有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．

解：法一：由题意可设所求的方程为(x －3) 2＋(y －6) 2＋λ(4x －3y ＋6) ＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.

法二：设圆的方程为(x －a ) 2＋(y －b ) 2＝r 2， 则圆心为C (a ，b ) ，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得

⎧⎪ 5－a ＋ 2－b ＝r ，⎨b －64⎪⎩a －3×3＝－1，

2

2

2

3－a 2＋ 6－b 2＝r 2，

⎧⎪b ＝9解得⎨2

25⎪r ＝. ⎩4

2

a ＝5，

所以所求圆的

925

方程为(x －5) 2＋(y －2＝.

24

法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由CA ⊥l ，A (3,6)，B (5,2)在圆上，得

⎧5＋2＋5D ＋2E ＋F ＝0，⎪E

⎨－264

⎪－D 331，⎩2

2

2

3＋6＋3D ＋6E ＋F ＝0，

22

⎧D ＝－10，解得⎨E ＝－9，

⎩F ＝39.

所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.

法四：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 的方程

3

为y －6＝－x －3) ，

4

即3x ＋4y －33＝0.

6－2

又因为k AB ＝2，

3－51

所以k BP ＝BP 的方程为x －2y －1＝0.

2

⎧3x ＋4y －33＝0，

解方程组⎨

⎩x －2y －1＝0，

⎧x ＝7，得⎨

⎩y ＝3.

所以P (7,3)．

95

所以圆心为AP 的中点(5，) ，半径为|AC |＝.

22

925

所以所求圆的方程为(x －5) 2＋(y －2＝.

24

22．如图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3) 2＋(y －1) 2＝4和圆C 2：(x －4) 2＋(y －5) 2＝4.

(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．

解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4) ，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝22－ 3 2＝1.

|1－k －3－4 |

由点到直线的距离公式得d ＝ 2

1＋k 7

从而k (24k ＋7) ＝0，即k ＝0或k ＝－，

24

所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.

(2)设点P (a ，b ) 满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a ) ，k ≠0，

1

则直线l 2的方程为y －b ＝－(x －a ) ．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直

k

线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即

1

|5＋ 4－a －b |

k |1－k －3－a －b |， 2

1＋k 1

1＋2

k

整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2) k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8) k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以

⎧a ＋b －2＝0，⎧a －b ＋8＝0，⎨或⎨ ⎩b －a ＋3＝0，⎩a ＋b －5＝0，

5

⎧a ＝，⎪2解得⎨

1b ＝－，⎪2⎩

3

⎧a ＝－，⎪2或⎨

13b ＝⎪⎩2.

1⎫⎛5⎛313⎫，－或点P 2 －. 这样点P 只可能是点P 1 22⎝⎭⎝22⎭

经检验点P 1和P 2满足题目条件．