单调有界收敛原理的应用
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单调青界收敛原理的应用
韩山师范学院数学与信息技术系
欧阳伟华
【摘要］单调有界收敛原理的应用是历年数学专业考研必考内客之一，本文就两类不同方法阐明其在应用上的技巧。【关键词】单调有界收敛一、利用重要不等式法
中值定理
对于不等式≠一＜ｌＩｌ（１＋ｘ）Ｑ（ｘ＞ｏ）…①的证明相信大家并不陌生。
只要对函数ｆ（ｔ）＝ｈ（ｔ＋ｔ）在区间【ｏ，ｘ】上应用中值定理．即可知了ｅ∈（０问，
ｌ十５
相加得ｘ，ｘ≯击一击等ｘ≯击一ｌｎｌｎ２＞ｌｎｌｎ２，故ｘｎ有下界。
使得ｆ（ｘ卜ｆ∽＝ｆＩ（考Ｘｘ—ｏ）昔ｌｌＩ（１＋ｘ）＝ｆ．固ｘ毒Ｉｎ（１＋ｘ）＝去。注意到∈∈日吣），
我们有≠一＜≠７“，即得≠～（１ＩＩ（１＋ｘ）＜ｘ成立。
在证明数列是敛散性当中。①式的灵活运用需要一定的技巧。下面从具体的实例说明①式在利用单调有界收敛原理解题中的灵活运用。
由ｋ单词减少且有下界・譬｛ｋ荟２百ｌ＿ＵＫ蛐｝收敛。
．ｔ＝
＾Ⅱ
Ｊ
注：该题先构造出一个“ｘ”，然后利用ｌｎ（１＋Ｉ）＞善一判断ｋ的单调
性时．再利用Ｉｎ（１＋ｘ）＜ｘ判断出Ｉ－有界，体现了①式在运用上的灵活性。
二、构造函数法
对于某些直接难以求得极限的函数，可构造新的函数，通过求新函数的极限得出原来函数的极限。
例题２设Ｏ＜ｘＩ＜ｌ，ｋＩ＝“ｌ一蚰，求证Ｂｍｎｘ声ｌ。
例题１讨论｛∑西｝－Ｉｎｌｎｎ｝的敛散性。
分析：根据定理“单调有界数列有极限”可知：单调递增有上界或单调递减有下界的数列。其极限存在。本题可从该方面人手解胚。
证明：・．・Ｏ＜ｘ－＜ｌ’．．．玉Ｌ＝ｌ—ｘｈ＜ｌｊ‰单调递减∥．１ｉｒａｘ口＝Ａ存在。
对轴＝“ｌ—ｘＪ两边取极限得Ａ＝Ａ（Ｉ—Ａ）＝ｏＡ＝Ｏ，即ｌｉｍ
ｘ．－－Ｏ。
ｋｔ～击ｉｌｈｄｎ（“＋１卜‰卜志）Ｉｎ（ｎ＋Ｉ山［警】山【（警一ｔ）＋－１（取。：掣一１．利用①）
解：设舻荟百ｉ１一ｌｎｌｒｍ・则
１
．＝’
．
同理毒勰１一面玎丽１＝ｏ故ｋ单调减少。轴一ｐ面毒丽一面１【ｌＩＩ（・＋｝）］＞面丽１一面１
＝专ｘ，‰“＞—．ｉＬ一一
ｎｌｎｒｌ
＝：一＜面万丽１一面南万ｈ（“。１）（再次利用①）
（ｎ＋１）Ｉｎ（ｎ＋１
Ｊ
ｌｎｒｌ
（ｎ＋１）一【ｌ∞
Ｊ
考察ｌｉｍ（吉｛）．慨、１可｛】栅亡乩
ｘｐＩ
Ｉ－
．・．ｊ一一上：ｌ＋ｒ“●ｏ）．依次相加得上一１＝ｎ＋（ｒｌ＋ｒ，４－…＋由。ｋＩ
ｘ１
．‘．—三一＝－Ｌ＋ｎ斗如ｌ＋ｒｒ卜…＋由
号高ｉ＝击＋者＋墅篆产。１一一）
Ｘｏ
】【－Ｉ
号Ｉｊｍ（ｎ＋１）ｘ训＝ｌ，即ｌｉｍｎｘ产ｋ
（ｎ—１）ｈ（ｎ一１）’
１
参考文献
［１］复旦大学应用教学系．《教学分析》（第二版）上册［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９７８：１００—１０１．
ｋ广妨画矗丽一
ｘｒ舻击一击
［２］李杰红．关于递推数列收敛的一种判别法［Ｊ】．天津科技大学学
报。２００４，（１９）２：６９－７０，
［３］孟爱秋．利用单调有界原理方法求极限［Ｊ］．本溪冶金高等学校学报，２００３：１５０．
另外我们还可以看看起应力分布：载荷在１／４处，Ｔ＝３ｓ时
（ｎ－２）ｌｎ（ｎ－２）’
３、结论
（１）本文应用大型有限元分析软件对简支梁振动问题进行了部分分析，可以按所需求解简支梁的应力及应变（固有频率和振型）。
（２）利用ＡＮＳＹＳ对机械结构进行模态分析．简便、快捷．得到振型形象直观．为产品的动力学优化设计提供直接的理论分析依据。
参考文献
［１］芏孚懋，任勇生，韩宝坤．机械振动与噪声分析基础［Ｍ］．北京：国防工业出版社．２００６
［２］刘义，许志沛．机械设计中基于有限元方法的模态分析［Ｊ］．机械．２００３．３０卷增刊
［３］刘鸿文．材料力学（Ｉ）［Ｍ］．北京：高等教育出版社。２００４
［４］刘国庆，杨庆东．ＡＮＳＹＳ工程应用——机械篇［Ｍ］．北京：中国
铁道出版社。２００３
［５］邓凡平．ＡＮＳＹＳｌ０．０有限元分析自学手册［Ｍ］．北京：人民邮电
出版社。２００７
一７８一
万方数据
单调有界收敛原理的应用
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欧阳伟华
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参考文献(3条)
1. 复旦大学应用教学系 教学分析 1978
2. 李杰红 关于递推数列收敛的一种判别法[期刊论文]-天津科技大学学报 2004(02)3. 孟爱秋 利用单调有界原理方法求极限 2003
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