现代控制理论(考试)5毛钱搞定
一、为什么要学现代控制理论
经典的控制理论具有明显的局限性，特别难以有效的应用于时变系统多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性 二、现代控制理论的主要内容
1 线性系统理论；2 最有滤波理论；3 系统识别；4 最优控制；5 自适应控制；6 非线性系统理论。
三、N 个子系统并联时，组合系统的传递函数矩阵等于N 个子系统传递函数矩阵的和；
两个子系统串联时，组合系统的传递函数矩阵等于子系统传递函数矩阵的乘积； 系统形成动态反馈时，G (s ) =G 1(s )[I +G 2(s ) G 1(s )]-1；常数反馈G (s ) =[I
+G 0(s ) H ]G 0(s )
-1
2、化A 阵为约当阵
条件：n ⨯n 矩阵A 的特征值有重根，独立
特征向量数小于
n 。
步骤：
1) 计算A 的特征值λi 2) 计算每个单根的特征向向量
3) P =[q 1, q 2, , q n ]，矩阵Q =P 3) 对状态方程的持等价
-1
-1
-
量，及对于各重根的特征向量和广义特征
A , B , C 施行下列运算，使A 变换成对角阵A ，且系统保
四、传递函数建立状态空间表达式
G (s ) =
y (s ) u (s )
=
b n s +b n -1s s +a n -1s
n
n n -1
+ +b 1s +b 0
n -1
+ +a 1s +a 0
β0=b 0-a 0b n
β
1
=b 1-a 1b n
βn -2=b n -2-a n -2b n βn -1=b n -1-a n -1b n
五、线性变换x =
∙
∙
Ax +Bu y =Cx +Du
取变换矩阵P 得到
_
x =P
-1
_
AP x +P
-1
_
Bu y =CP x +Du
六、离散系统的状态空间表达式 y (k +3) +a 2y (k +2) +a 1y (k +1) +a 0y (k ) = b 3u (k +3) +b 2u (k +2) +b 1u (k +1) +b 0u (k )
10⎤⎡x 1(k ) ⎤⎡β0⎤ ⎡x 1(k +1) ⎤⎡0
⎢⎥⎢
x 2(k +1) =0⎢⎥⎢ ⎢⎣-a 0⎣x 3(k +1) ⎥⎦⎢
0-a 1
1
⎨ ⎪⎩y =Cx
[t 0t 1]内，通过观测y (t ) 能够唯一确定系统的初始状态x (t 0) ，则称
系统在t 0时刻是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称 系统是状态完全能观测的，简称系统状态能观测或系统是能观测的。
⎥⎢⎥⎥⎢
x 2(k ) +β1u (k ) ⎢⎥⎢⎥⎥-a 2⎥⎦⎢⎣x 3(k ) ⎥⎦⎢⎣β2⎥⎦
y (k ) =cx (k ) +β0u (k ) =[1记成：x (k +1) =Gx (k ) +Hu (k )
七、线性变换的基本性质
⎡x 1(k ) ⎤⎢⎥
0]x 2(k ) +β0u (k ) ⎢⎥⎢⎣x 3(k ) ⎥⎦
2-8系统结构分解
如果系统是不能控的、不能观测的，那么系统在结构
上必定包括能控、不能控和能观测、不能观测的子系统。由于非奇异线性变换不改变系统的能控性和能观测性，因此可采用线性变换对系统方程进行变换。一、能控性分解：
若系统不能控，且状态
-
不改变系统特征值，不改变系统传递矩阵。 x 有n 1个状态分量能控，则存
和不可控的两部分。
在线性变换
x =P c x ，将系统分解成可控的
变换后的状态模型：
-
A =P c AP c
-1
⎡A 11
=⎢⎣0
⎡-⎤-A 12⎤--1⎡-B 1⎢⎥, B =P B =, C =CP =C c c ⎥⎢1
A 22⎦⎣⎢⎥⎣0⎦
-
C 2
⎤
⎥⎦
何飞《5毛钱搞定现代控制理论》2012/12/17
P c =p 1
[
p 2
p n 1 p n
]
-1
，其中p 1, p 2, p n 1是Q c 中n 1个线性
P c 为非奇异的条件下
-
无关的列向量。另外的是任意的。
-
n -n 1个列向量在确保
-
六、最小实现
-1
系统传递函数：
-
-
-
G (s ) =C [sI -A ]
-1
⎡B =C 1
⎢⎣
--
-⎡
⎤⎢sI -A 11C 2
⎥⎢⎦0⎢⎣⎤
-A 12
⎥-⎥sI -A 22⎦⎥
-
⎡-⎤
B ⎢1⎥⎢⎣0⎥⎦
在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，最小
实现不是唯一的。
对于单输入－单输出系系统能控，能检测。
统来说，最小实现的充
要条件是：
=C 1[sI -A 11]
-1
B 1
传递函数描述的只是不能控系统中能控子系统的特性。
解题步骤：
1、确定系统是否能控2、确定变换矩阵P c 3、求变换后的系统方程
得到最小实现的步骤：
1、按能控性或能观测性标准性，得到系统方程。若输入维数＞输出维数，则选择能观测性标准性，若输入维数＜输出维数，则选择能控性标准性。
2、若1）中为能控标准型，检验是否能检测，若为能检测，则该实现为最小实现，若不能检测，则按能观测性进行结构分解，将能控性分解为能观测和不能观测两个子系统，其中能控又能观测的子系统就是最小实现。同理，若1）中为能观测标准型，则检验是否能控。
例：系统方程为
⎧∙⎪x =⎡-21⎤⎡1⎤⎨⎢⎣1-2⎥x +⎦⎢⎣1⎥u
分解。
⎪
⎦，求按能控性进行结构
⎩y =[01]x
解：判别系统的能控性rankQ
-1⎤
c
=rank [B
AB ]=rank ⎡1
⎢
⎣1-1⎥=1
故系统不能控。确定变换矩阵, 由于Q c 的秩为1，说明Q c 中线性独立的列向量只有一列，
我们可选择
⎡1⎤
⎡1⎤
⎢p =⎡0⎤
2⎣1⎥，再补充一个列向量与⎦
⎢⎣1⎥线性无关，设⎦
⎢-1
⎣1⎥，则有：
⎦
则P c =[p 1p 2]
-1
=⎡10⎤=⎡1
0⎤⎢⎣11⎥⎦
⎢⎣-11⎥⎦
-
A =P -1
--
-1
c AP c , B =P c B , C =CP c 线性变换后的系统方程
为：
∙
x =⎡-1-1⎤⎡1⎤
⎢
⎣0
-3⎥x +⎦⎢1]x
⎣0⎥u , y =[1⎦
二、能观测性分解：
若系统不能观测，且状
态x 有n 2个状态分量能观测，则
存在线性
-
变换x =P 0x ，将系统分解成能观测
的和不能观测的两部分
。
变换后的状态模型：
-
A =P -1
=⎡A 0⎤-
⎡-B ⎤-
-o AP o
⎢11
⎣A A ⎥, B =P ⎢1⎥0B =0⎤
⎥21
22⎦⎢-⎢⎥, C =CP -1o =⎡⎢C 1⎣B ⎥⎣⎦
2⎦
⎡p 1⎤⎢p ⎥⎢2⎥
P o =⎢⎢ ⎥，其中p 1, p 2, p n 2是Q o 中n 2个线性无关的行向量。
p ⎥⎢n 2⎥⎢⎣ ⎥⎦另外的n -n 2个行向量在确保
P o 为非奇异的条件下是任
意的。
例：系统方程为⎡010∙
⎤⎡0⎤
x =⎢⎢0
01⎥⎥x +⎢⎢0⎥⎥
u , y =[11
0]x ，系统按能观测性分解
⎢⎣-2
-4
-3⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
解：1、判断系统能观测性
⎡C
⎤10
⎤
rankQ
o
=rank ⎢
⎥⎡1⎢CA
⎥=rank ⎢⎢⎢011⎥⎥=2
⎣
CA 2⎥⎦
⎢⎣-2-4
-2⎥⎦
状态反馈：系统的状态变量通过比例环节传送到输入端去的反馈方式。引入状态反蚀可以任意配置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构方法。设计状态观测器。状态反馈不改变系统的能控性，但可能改变系统能观测性。 。
极点配置：
十三、极点配置
- 2 - 何飞《5毛钱搞定现代控制理论》2012/12/17
解题步骤：将完全能控控标准形，能控标准形
-
的系统经过坐标变换
-
P 变换成能
例题分析
的状态反馈阵K 可由上式求得，
再由K =K P 求K 。
1) 判断系统的能控性；
2) 由给定的动态指标或极
*
点要求，确定期望
特征多项式的n 个系数a i ；3) 确定与系统对应的能控标准形的特征多项式的n 个系数a i ；
-
4) 计算反馈阵
-
K
5) 求变换矩阵P
6)K =
K P 求K
设状态反馈阵
K =[k 1k 2]，闭环系统矩阵
⎡-100k 1
A -bK =⎢
1⎣-100k 2⎤
⎥-5⎦
2
闭环特征多项式
det[sI -(A -bK )]=s +(5+100k 1) s +(500k 1+100k 2)
而期望多项式为
(s +20+j 20)(s +20-j 20) =s +40s +800令对应系数相等，则有
⎧5+100k
1=40
，则有k =[0. 35⎨
⎩500k 1+100k
2=800
6. 25]
2
十四、状态重构和状态观测器重构
引入状态反馈可以得到较好的系统性能，而实现状态反馈的前提是状态变量必须能用传感器测量得到，但是由于种种原因，状态变量不是都可以测量得到的。这就要求用系统的输入量和输出量重新构造全部状态。相关定理1) 系统的状态观测器存在的充分必要条件是系统能观测或系统不能观测但其不能观测的子系统的特征值有负实部。2) 系统的状态观测器可任意配置特征值的充分必要条件是系统能观测。
- 3 -
何飞《5毛钱搞定现代控制理论》2012/12/17
- 4 -
何飞《5毛钱搞定现代控制理论》2012/12/17