教学论文--任意与存在性的题目
教学论文
函数中有关“任意与存在”的讨论
高一数学组 陈木茂
近期学校练习中出现了以下的问题，可以进行探讨、延伸：
已知函数f(x)=sin2x+23cos 2x-3,g(x)=mcos(2x-π
6)-2m+3(m>0).
若存在x 1,x 2∈[0,],使得f(x1)=g(x2) 成立, 则实数m 的取值范围是 .
4
条件不变，问法可改变如下：
变式1：若存在x 1∈[0,],对任意的x 2∈[0,]都有f(x1)=g(x2) 恒成立, 44 πππ
则实数m 的取值范围是 .
变式2：若对任意的x 1∈[0,],存在x 2∈[0,]，使得f(x1)=g(x2) 成立, 44
则实数m 的取值范围是 .
变式3：若对任意的x 1,x 2∈[0,]都有f(x1)=g(x2) 恒成立,
4
则实数m 的取值范围是 .
对原题先进行解答，
解： f (x )=sin 2x +cos 2x =2 πππ⎛⎫1π⎫⎛⎡π⎤cos 2x +sin 2x ⎪, =2cos 2x -x ∈0, ⎥ ⎪⎢⎪26⎭⎝⎣4⎦⎝2⎭
∴-π
6≤2x -π
6≤π
3, 则1π⎫⎛≤cos 2x -⎪≤1, f (x )的值域A =[1, 2]. 26⎭⎝
⎡
⎣3m ⎤, 3-m ⎥. 2⎦同理可求，g (x )的值域B =⎢3-
存在x 1,x 2∈[0,π
4],使得f(x1)=g(x2) 成立,
∴两值域A 与B 有交集，则固定[1，2]，有3-3m 3m ≤1≤3-m ，或3-≤2≤3-m ， 22
或 固定⎢3-⎡
⎣3m 3m ⎤≤2， , 3-m ⎥，1≤3-m ≤2，或1≤3-22⎦
解得 m 的取值范围为⎢，2⎥.
另外，也可以考虑从反面来做，若A 与B 没有交集，则 ⎡2⎤⎣3⎦
3-3m 2⎡2⎤>2，或3-m 2, 或m
⎣3m ⎤, 3-m ⎥， 2⎦
存在x 1∈[0,],对任意的x 2∈[0,]都有f(x1)=g(x2) 恒成立， 44 ππ
∴A ⊇B , 即f (x )的值域包含g (x )的值域,
m ≤2⎧⎪3-3⎡4⎤⎨3-m ≥1 解得 m 的取值范围为⎢1⎥. ⎣3⎦⎪2⎩
变式2： 对任意的x 1∈[0,],存在x 2∈[0,]，使得f(x1)=g(x2) 成立，
4 4ππ
∴A ⊆B , 即f (x )的值域含于g (x )的值域, 此时，m 无解.
变式3： 对任意的x 1,x 2∈[0,π
4]都有f(x1)=g(x2) 恒成立,
∴A ⊇B , 且A ⊆B , 即A =B . 此时，m 无解.
解后反思：
1、函数f (x ), g (x )可任意给定，元素x 1,x 2可给在相同区间，也可在不同区间，
的值域为A ，g (x )的值域为B ，此时，对应的f (x )
①存在x 1∈D 1, 存在x 2∈D 2，使得f(x1)=g(x2) 成立. ⇔A B ≠∅;
②存在x 1∈D 1, 任意x 2∈D 2，都有f(x1)=g(x2) 成立. ⇔A ⊇B ;
③任意x 1∈D 1, 存在x 2∈D 2，使得f(x1)=g(x2) 成立. ⇔A ⊆B ;
④任意x 1∈D 1, 任意x 2∈D 2，都有f(x1)=g(x2) 成立. ⇔A =B .
这样，任意与存在的两个函数关系，其实就是值域A 与B 的集合关系，看清楚这一点，以后遇到这类题目，就自然迎刃而解。
2、由1的思考可知，问题可归结为两个数集A 与B 的集合关系，那么可以联想到必修1课本给出的函数的定义：
给定两个数集A 、B ，按照对应法则，任意一个数集A 中的元素x ，在数集B 中都存在唯一一个元素y 与之对应，这么就称y 是A 到B 中的一个函数，即y =f (x ), x ∈A .
此时，值域y y =f (x ), x ∈A }⊆B , 这恰好对应到上面的③，这里面的对应关系是一样的，就是一对一，或多对一的关系。
3、这类问题的考查，除了上述相等的关系之外，还可考查不等式的一类，例如： 已知函数f(x)=sin2x+23cos 2x-3,g(x)=mcos(2x-{π
6)-2m+3(m>0).
问题改为：①若存在x 1,x 2∈[0,],使得f(x1) ≤g(x2) 成立, 则实数m 的取值范围是. 4 π
⇔ f (x )min ≤g (x )max
②若存在x 1∈[0,],对任意的x 2∈[0,]都有f(x1) ≤g(x2) 恒成立, 同求m.
4 4ππ
⇔ f (x )min ≤g (x )min
③若对任意的x 1∈[0,],存在x 2∈[0,]，使得f(x1) ≤g(x2) 成立, 同求m. 44 ππ
⇔ f (x )max ≤g (x )max
④若对任意的x 1,x 2∈[0,π
4]都有f(x1) ≤g(x2) 恒成立, 同求m.
⇔ f (x )max ≤g (x )min
这样，问题就可以延伸了，当然元素x 1,x 2可给在相同区间，也可在不同区间，
还有，问题可以改为f (x )≥g (x )，在此就不再重复了，留给大家自己去做做。