抛物线的几何性质
抛物线的几何性质
年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____
总分一二三
一、选择题(共22题，题分合计110分)
1.某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱子支撑，其中最长的柱子的高是
A.1.48米 B.2.92米 C.3.84米 D.4米
2.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0交于两点A和B,A(1,2),设抛物线的焦点为F,则│FA│+│FB│等于
A.7 B.3 C.6 D.5
3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为
A. B.- C.8 D.-8
4.一个正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是
A.48 B.24 C. D.46
5.过抛物线y2=2 x的焦点的弦AB,设A (x1 ， y1) 、B (x2 ， y2) .若x1 +x2 =3，则AB|等于
A.2 B.3 C.4 D.5
6.圆心在抛物线y2＝2x上且与x轴和该抛物线准线都相切的圆的方程是
A.x2＋y2－x－2y－ B.x2＋y2＋x－2y＋1＝0
C.x2＋y2－x－2y＋1＝0 D.x2＋y2－x－2y＋＝0
7.过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于
A.4a B. C.2a D.
8.已知A、B是抛物线y2=2px（p>0）上两点，O为原点，若ΔAOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是
A.x=p B.x=3p C.x= D.x=
9.点P在曲线上移动,设点P处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是
A. B. C. D.
10.θ是任意实数,则方程x2+y2sinθ=4的曲线不可能是
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
11.抛物线y = a x2+ b x+ c的焦点坐标是
12.抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是
A.() B.(1,1) C.() D.(2,4)
13.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
14.以抛物线y = 8x上一点A为圆心，经过坐标原点O，且与直线x+2=0相切的圆的方程是
A. B.
C. D.
15.已知抛物线y=x2-1上一定点A(-1,0)和两动点P?Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是
A.(-∞,-3) B.[1,+∞] C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪[1,+∞]
16.设A是抛物线ｙ2=2px上一点，B是点A关于x轴的对称点.若抛物线的焦点F为△AOB的垂心，则点A的横坐标为
A. B. C. D.
17.在抛物线y 2= - 4 x上有一点P，P到椭圆左顶点距离最小，这最小值为
A. B. C. D.
18.过抛物线y 2= 4 x的焦点作动弦AB，M为线段AB中点，则M到直线x- y=0的最短距离为
A. B. C. D.
19.两定点A（-2，-1），B（2，1）动点P在抛物线y = x2上移动，则△ABC重心G的轨迹方程为
A. B. C. D.
20.已知抛物线y=x2-1上一定点A(-1, 0)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是
A. B. C. D.
21.抛物线x2 =2y上距离点A(0,a)(a＞0)
最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是
A.a＞0 B.a≥1 C.0＜a≤ D.0＜a≤1
22.已知抛物线y=x2上三点A、B、C且A（－1，1），AB⊥BC，当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是
A.（－∞，－3） B.[－3，1] C.[1，+∞] D.（－∞，－3）∪[1，+∞]
二、填空题(共17题，题分合计73分)
1.过（0，-2）的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则│AB│= .
2.若抛物线y2=4(x- m)以y轴为准线，则m=____________.
3.抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离为最短的点的坐标是____.
4.抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长4，则焦点到AB的距离为________.
5.抛物线y2＝8－4x的准线方程是_________，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是________________.
6.直线l过抛物线y2＝a(x＋1)(a＞0)的焦点，并且与x轴垂直，若抛物线截得l的一段长为4，则a＝________.
7.已知抛物线y2=2x上的动点P到抛物线准线的距离为d,若定点Q的坐标为(5,6),则使d+|PQ|取得最小值时,点P的坐标为 .
8.已知抛物线y2＝2ｐx(ｐ＞0)，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的中点为P，抛物线的准线为l，分别过A、B、P作x轴的平行线依次交l于M、N、Q，连FM、FN、FQ、AQ和BQ，则这些线段中互相垂直的有 .(至少找出三对)
9.抛物线y=x2+ax的焦点在横轴上，则a的值为 .
10.设抛物线ｙ2=4x的一条弦AB以点P（1，1）为中点，则该弦所在直线的斜率为______________.
11.曲线C与抛物线y2=4x-3关于y=x对称，则曲线C的方程为 .
12.抛物线的对称轴方程为3x+4y-1=0，焦点坐标是(-1，y0)，且抛物线过(3，4)点，则抛物线的准线方程为_________.
13.抛物线的对称轴方程为3x+4y-1=0，焦点为(-1,1)且抛物线通过点（3，4），则抛物线的准线方程为_______ .
14.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，镜口直径为80cm，镜深为40cm，光源放在抛物线的焦点处，若镜口直径和镜深都增加10cm，则光源与反射镜顶点的距离增加了_________cm.
15.到点A(－1，0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是___________.
16.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝____.
17.若A点坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|＋|PF|取最小值，点P的坐标应为_____________.
三、解答题(共31题，题分合计322分)
1.在抛物线y 2= 2 x上求一点P，使点P到直线x+y+3=0的距离最短.
2.抛物线y 2= 12 x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.
3.抛物线y2=4x的焦点在直线y=x－1上滑动，对称轴作平行移动，试问能否滑到使抛物线截直线y=
所得弦长与截y轴所得弦长相等？若能，求出此时的抛物线，若不能，说明理由
4.过定点M（4，0）的直线L与抛物线y=x2交于两点A、B，求线段AB的中点P的轨迹方程.
5.已知抛物线y2=8(x－2)的焦点和准线分别是一椭圆的焦点和对应的准线，求椭圆短轴端点的轨迹方程.
6.已知抛物线x2=4y，F为焦点，O为顶点，M在抛物线上运动，试求平行四边形OFMK的顶点K的轨迹方程.
7.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M()，求它的标准方程.
8.给定抛物线y2=2 x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.
9.已知抛物线y2=6 x，过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.
10.已知双曲线的方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.
11.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2= x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标.
12.已知抛物线C的准线为x=，对称轴上有一点坐标为(6，2)，C与直线l:y=x-1相交所得弦的长为3，求抛物线方程.
13.直线l过抛物线y2=2px(p≠0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点.
（1）求证：4x1x2=p2;
（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
14.已知抛物线 (p＞0)与动直线x+ y+ m =0 (m＞0)交于A、B两点，当△AOB（O为原点）的面积最大值为时，求p与m的值。
15.已知曲线C：y2=2x和定点M(1, 0)，过点M的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA和OB的斜率之和为1，求l的方程.
16.点A，B在抛物线y 2= 4 x上，直线AB过抛物线的焦点且斜率为2，C在抛物线上且△ABC的面积为，求C点坐标.
17.设F为抛物线y2=2px (p>0)的焦点，AB为抛物线的一条不与对称轴垂直的弦，M(x0，y0)为抛物线上一定点，如果AB的中垂线过点Q(p+x0，0)。求证：|AF|、|MF|、|BF|成等差数列.
18.两条互相垂直的直线与抛物线y= a x2(a＞0)相交于A、B、O.
(1)求弦AB的中点M的轨迹方程;
(2)求△OAB面积的最小值.
19.经过抛物线x2= 2py (p＞0)的顶点且互相垂直的两弦交此抛物线于两点,求证这两点,连线的中点的轨迹后为一条抛物线.
20.已知抛物线C1：y2=x+7与圆C2：x2+y2=5，
（1）求证C1与C2无交点
（2）过点P（a,0）作与x轴不垂直的直线l，交C1于A、D两点，交C2于B、C两点，且|AB|=|CD|，求a的范围.
21.抛物线y2－mx－2ny+n2+4m=0的准线与双曲线x2－3y2－12=0的右准线重合.
（1）求m的值.
（2）当n为何值时，抛物线的焦点在直线x+2y－3=0上.
22.若线段P1P2为抛物线C：y2=2px(p＞0)的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：
23.设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为α，求证：焦点弦长为|AB|=
24.已知过
抛物线y2=2px(p＞0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.
25.直线l1过点M(-1,0),与抛物线y2=4x交于P1?P2两点,P是线段P1P2的中点,直线l2过P和抛物线的焦点F,设直线l1的斜率为k.
(1)将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k);
(2)求出f(k)的定义域及单调区间.
26.如图所示：直线l过抛物线y2=2px的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点.求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
27.设过抛物线y2=2px(p＞0)的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.
28.设抛物线的准线为y轴，且过点M(a,b)，求证当M在坐标平面上移动时，抛物线的顶点轨迹的心率是一常数.
29.如图所示,AB是抛物线y2=2px上的动弦,P为点O在AB上的射影.如果AB满足
,求以OP为一边以∠OPA为内角的正方形OPQR的顶点R的轨迹方程.
30.已知正方形ABCD的顶点B、D在直线x+2y=0上，顶点A、C在抛物线y2= 4(x+4)上，求：
（1）AC所在的直线方程；
（2）正方形ABCD的面积.
31.如图所示，过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？
抛物线的几何性质 答案
一、选择题(共22题，合计110分)
1.5354答案：C
2.6540答案：A
3.6586答案：B
4.6610答案：A
5.6611答案：C
6.6619答案：D
7.6627答案：A
8.6696答案：D
9.6783答案：B
10.6894答案：C
11.6897答案：A
12.6901答案：B
13.6903答案：B
14.6559答案：A
15.6712答案：D
16.6770答案：A
17.7850答案：A
18.7851答案：D
19.7853答案：B
20.6563答案：D
21.6720答案：D
22.6769答案：D
二、填空题(共17题，合计73分)
1.6545答案：
2.6556答案：1
3.6631答案：(，1)
4.6634答案：2
5.6635答案：x＝3;(x－2)2＋y2＝1
6.6636答案：4
7.6693答案： (2,2).
8.6723答案：AQ⊥BQ、BQ⊥NF、AQ⊥MF
9.6751答案：
10.6776答案：2
11.6905答案：x2=4y-3
12.6906答案：4x-3y+25=0或4x-3y-25=0
13.7802答案：
14.7804答案：
15.6637答案：y2＝－8x＋8
16.6638答案：2
17.6641答案：(2，2)
三、解答题(共31题，合计322分)
1.6892答案：
2.6893答案：60°或120°
3.6925答案：满足条件的抛物线不存在
4.6549答案：y=2x2-8x
5.6830答案：
6.6831答案：x2=4(y+1)即为所求
7.6842答案：
8.6843答案：(1)1-a>0,
此时有x0=0时,d最小=.
(2)当a≥1时,1-a≤0,
此时有x0=a-1时,d最小=.
9.6844答案：3x-y-11=0.
10.6845答案：所求抛物线的方程和准线方程分别为
.
11.6846答案：∴M的坐标为()时，M到y轴距离的最小值为.
12.6849答案：抛物线方程为（y-2）2=x-1.
13.5333答案：见注释
14.6735答案：，
15.6754答案：的
方程为
16.6757答案：C点的坐标为(0,0)或(1,2)或(1,-2)或(4,4)
17.6766答案：见注释
18.6838答案：(1).
(2)面积最小值为
19.6839答案：所求轨迹是以(0,2p)为顶点,以y轴为对称轴,且开口向上的抛物线.
20.6840答案：－10＜a＜－
21.6841答案：（1）m=4.
（2）n=－1
22.6916答案：见注释
23.6917答案：见注释
24.6920答案：△RAB的最大面积为|AB|·h=p2.
25.6921答案：(1)直线l2的斜率k2=函数f(k)=.
(2)函数f(k)的定义域为
{k|-1
当k∈(-1,0)及k∈(0,1)时,f(k)为增函数.
26.6922答案：见注释
27.6923答案：见注释
28.6928答案：离心率
29.6929答案：
30.6736答案：（1）
（2）正方形的面积为
31.6919答案：见注释
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