开环和闭环行为
16.06 第34讲
开环和闭环行为，二阶系统范例
2003.11.26
今天的主题：
1、相角裕量与阻尼比
2、二阶系统模型和频域指标
当我们在时域上对控制系统进行分析研究时，我们运用二阶系统作为研究各种指标如超调量、上升时间、调节时间等的模型。尽管这些指标特别针对二阶系统，但是我们也会发现对于分析更复杂的系统它们也是很有用的。我们所作的基本假设是，对大多数系统来说，存在一对主导极点，它们可以决定更大、更复杂系统的总的行为。我们研究了调节时间、超调量以及峰值时间与二阶系统的无阻尼自然振荡角频率ωn和阻尼比ζ之间的关系。
同样的方式，我们可以将二阶频率响应与无阻尼自然振荡角频率以及阻尼比联系起来，并可以推导出很多用来估计闭环系统频率响应的指标。
首先，考虑如下具有两个实数极点的二阶系统
而且，如果我们引入单位反馈，可以得到如下根轨迹
相应的闭环系统是
而且，我们可以立即确定与闭环系统的无阻尼自然振荡角频率和阻尼比相应的开环增益和开环极点位置。
因此，我们可以将原始的开环传递函数写成
现在，让我们根据奈奎斯特图来考虑该反馈系统
开环系统的幅值和相位是
其中α和β角的定义如上图所示。现在，让我们研究一下-1点附近区域内的奈奎斯特图，奈奎斯特图是
如图所示，相角裕量φm是使奈奎斯特曲线刚好通过-1点所需的相
角位移量，它由奈奎斯特图上-1点到开环传递函数幅值为1的点间的弧线所决定的。
为了确定相角裕量，我们需要确定开环频率响应的幅值为1所对应的特定输入频率，该频率也称为穿越（剪切）频率，因为在该点，幅值由大于1变为小于1，穿越频率用符号ωc表示。在手边的例子当
中，我们可以通过令开环频率响应的幅值为1来获得ωc的表达式
并且解出相应的二阶方程，对于它的正实数根，可以得到
因此，在穿越频率点处的开环频率响应的相位是
将其代入相角裕量方程可得，对于一个二阶闭环系统，存在着阻尼比和相角裕量之间的直接联系
这种关系在下一页的图中予以列出。
如图中所示，此关系几乎是线性的，大概是
因此，譬如，如果我们希望闭环系统对于阶跃输入信号的响应与二阶系统相似，阻尼比大约是0.5，则相角裕量必须在50度左右的范围内。
现在让我们考虑闭环频率响应，通常，这看起来有点像
我们定义
Mp=谐振峰值
ωp=谐振峰值点所对应的频率
ωb=带宽
注意：幅值0.707对应于-3db。
谐振峰值Mp是闭环系统频率响应的最大幅值，该峰值对应的频
率记为ωp，通常称为峰值频率。带宽ωb定义为，幅值至少是零频点
幅值的0.707倍的频率范围。
为获得峰值点的频率，我们将二阶系统的闭环频率响应写成
对频率求一阶导，令其等于零，可得
代回到幅值方程，可得
在下图中标出这些符号
令幅值等于0.707，方程两边同时取平方，求解相应的关于带宽与无阻尼自然振荡角频率之比的二阶方程，就可以确定系统的带宽。可得
该方程，连同穿越频率一起绘制在下图中。此外，穿越频率和带宽之比也画在下图中。
可以观察到，带宽与穿越频率之比等于阻尼比，近似为常数（0.8）。