论数学史的教育价值
论数学史的教育价值——以欧拉为例
数理与信息学院 B09数学 090601127 陆丽琳 671325
摘要:数学的发展过程对数学的教学是有重要的意义和作用的,数学史代表了现在已知的结论和知识的先后发展过程,对帮助了解加深对数学知识的印象可以起到重要的促进作用,因此,在本文中,对数学史有一些介绍,通过举例,以欧拉的生平以及他对数学的发展做出的贡献为例,希望达到连接数学史与教育之间的桥梁的作用。同时,学生还可以看到数学发展的曲折,数学家们所经历的艰苦漫长的道路.数学史中那些能够深深感动学生、惊心动魄、引人入胜的例子不胜枚举.从而调动学生学习数学的积极性和创造性,使学生不仅获得真知灼见,还将获得顽强学习的勇气,进而塑造完善的人格.
关键词:数学史 数学教育 欧拉 教育价值
数学史概述
在数学教学中,尽管我们反复强调学习知识的意义,但是如果没有适当的历史叙述,那么这些知识的来龙去脉对于学生来说仍然是感到费解的.对于学习数学的学生来说,一些课程所介绍的通常是一些似乎没有什么关系的数学片段,而历史可以提供整个课程的概貌,不仅使课程的内容互相联系,而且使它们跟数学思想的主干也联系起来.因此数学教学中,应在传授数学知识的同时,把一些重要的数学史料介绍给学生,使学生掌握数学发展的基本规律,了解数学的基本思想。
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学,也就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变,发展过程,而且还探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此,数学史包括了关于数学的历史,这就是要涉及到历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学的内容。
数学史既是属于史学领域,又属数学科学领域,因此,数学史研究既要遵循史学规律,又要遵循数理科学的规律。根据这一特点,可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段,在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下,站在现代数学的高度,对古代数学内容与方法进行数学原理分析,以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。
数学的历史源远流长,它的起源很早:埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一,因为地理原因,多年积累的测地只是便逐渐发展了几何学。埃及最古老的文字是象形文字,埃及很早就用十进记数法,另外还有解决一些一元一次方程的问题,还有等差,等比数列的知识。古希腊的地理范围,除了现在的希腊半岛外,还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元5、6世纪,特别是希、波战争以后,雅典取得希腊城邦的领导地位,经济生活高度繁荣,生产力显著提高,在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化,对后世有深远的影响。泰勒斯研究天文,数学和哲学,开始了命题的证明,毕达哥拉斯学派发现勾股定理,并由此导致不可通约量的发现,并将算术和几何联系起来。公元前三世纪,波拉图在雅典建立学派,创办学园,他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力。
公元前四世纪以后的希腊数学,逐渐脱离哲学和天文学,成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段——初等数学时期。
中国数学有着悠久的历史,14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家,出现过许多杰出数学家。公元前一世纪的《周髀算经》,春秋战国时期的百家争鸣促进了数学的发展。秦汉是封建社会的上升时期,经济个文化均得到迅速发展,中国古代数
学体系正是形成于这个时期,它的主要标志是算术已成为一个专门的学科,以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。魏,晋时期出现的玄学,不为汉儒经学束缚,思想比较活跃,它诘辩求胜,又能运用逻辑思维,分析义理,这些有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》,汉末魏初徐岳撰《九章算术》注,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注,赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家,祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后,南方数学发展的具有代表性的工作。从11~14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作,如贾宪的《黄帝九章算法细草》,秦九詔的《数书九章》,朱世杰的《算学启蒙》等,很多领域都达到古代数学的高峰,其中一些成就也是当时世界数学的高峰。秦九詔是高次方程解法的集大成者。16世纪末以后。西方初等数学陆续传入中国。1840年鸦片战争之后,西方近代数学开始传入中国。
莱昂哈德•欧拉
数学的历史发展过程中,出现很多的数学家,他们对数学的发展有很重要的意义也起到了很重要的作用。以欧拉为例:莱昂哈德•欧拉(1703——1783) 是18世纪最多产的一位数学家,尽管身体上有着严重疾患,但他几乎对每个数学分支都做出了重要贡献。他出生于巴塞尔,在那里进了大学,不久又得到伯努利家族的栽培,特别是丹尼尔伯努利,他培养起欧拉对数学的兴趣。1741年,欧拉奉腓特烈大帝之命到了柏林,在那里一直留到1766年去圣彼得堡为止,这次则是由于凯瑟琳大帝的邀请。他的眼睛就是在他住在圣彼得堡期间变瞎的,即便如此,他的论著仍未减少。他是一个有着非凡发明才能的人,他的研究工作几乎在数学的每个领域里都留下了永恒的标志。除了写给各种学会的几乎以计数的研究报告和论文以外,欧拉至少还有五本主要论著丰富了数学这门学科,它们是:1. 《无穷小分析引论》(Introductio in Analysin Infinitorum ),1748年;2. 《微分学原理》(Institutions Calculi Differentialis ),1755年;3. 《积分学原理》(Institutiones Calculi Integralis),1768-1770年;4. 《求证最大和最小值得曲线的方法,或等周问题的解答》(Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes,sive Solutio Problematis isoperimetrici),1741年;5. 《力学,或运动学分析》(Mechanica,sive Motus Scientia Analytice Exposita),1736年。《无穷小分析引论》分为两篇,第一篇的目的是作为纯分析方法的一个入门,第二篇专论几何学。 (《函数概论》)开始时对不同类型的函数作了精细的分类。一个任意变数的函数,被定义为由该变量与数字或常数一起以任意方式构成点的一种解析表达式,例如a+3z,az-4zz,az+√(aa-zz),c ²乃是变量z 的函数。函数被分为代数函数或超越函数,前者可以分为有理函数和
无理函数。有理函数又可进一步分为整式和分式的。最后又区分出单值(一个值得)函数和多值函数,后者对于变量的每个值可以取几个不同的值。
和他的老师一样,欧拉也曾转而注意等周曲线的问题,从而导向变分学。他在这个领域中的研究结果载于他的《求证最大和最小值的曲线的方法》一书中,以后表明,这本书启发了拉格朗日。在该书的附录中,欧拉考察了抛射体运动(De Motu Projectorum ),并把他的研究推广到物体在阻尼介质中运动的情形。书中讨论了变分学,发表了最小作用量原理。
欧拉还编过一本代数学论著《关于代数的全面地指南》(Vollstandige Anleitung zur Algebra,1770年)。书中包含有他对二项式定理的证明。他在这本书里大大丰富了关于各种方程的知识。由于求解五次方程的失败,他转而研究确定近似解的方法。
当时,在丹尼尔•伯努利的推动之下,力学在18世纪取得了稳步的进展。这是一个实验活动大兴的时期,而其结果是产生了一些新的力学问题,特别是动力学方面的问题。但是,为应付提出的问题所运用的数学工具,却不是足够有力的,虽然棣莫弗和伯努利为了满足这个需要已经跨了一大步。
缩写一本关于动力学的书,要在它的各个分支方面既完备而又有独创性,这样一件工作落到了欧拉身上。他在1736年写出了不朽的《力学,或运动学分析》。在这本书里他放弃了牛顿的几何方法,转而依靠更有力的分析处理方法,这就为拉格朗日的工作铺平了道路。欧拉在力学上的许多贡献都可以在柏林学院的记录中找到,这些贡献被看得如此重要,以至于人们都说,欧拉的力学对力学这门学科的贡献相当于笛卡儿的几何学对整个几何学的贡献,这个说法并不是没有理由的。
数学史对教育的作用
数学发展到今天,已经延伸出上百个分支,但它毕竟是一个整体,并且有它自己的重大问题和目标.如果一些分支专题对于数学的心脏无所贡献,它们就不会开花结果,一些被分裂的学科就面临着这种危险.如由于在工业技术上的极大应用,哈密顿四元法曾传播很广,风行一时,但不久后,四元法就不再使用了.如同Hilbert 说的:“数学是一个有机体,它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合.”数学课程所介绍的似乎是一些没有什么关系的数学片段.历史可以提供整个课程的概貌,不仅使课程的内容互相联系,而且使它们和数学思想的主干也联系起来.数学史既可以展示数学发展的总体过程,又详加介绍各学科的具体发展过程,把握数学这一发展过程可使学生视野开阔,深刻理解数学的本质,以便在今后的教学中能高瞻远瞩.把握数学这一发展过程,还可以使学生加深对所学知识的理解.正如无理数是由于度量问题而产生的,它的发现导致几何学在一定时期内独立于算术
孤立发展;求极大、极小问题、求曲线长等问题的研究,直接促使牛顿、莱布尼兹发明微积分.微积分产生后,出现了许多分支,如常微分方程、偏微分方程;分析学中的“病态”函数给勒贝格以启发,后来勒贝格创立了测度论;著名数学家康托因研究分析学问题而发明朴素集合论,朴素集合论又包含悖论.因此,集合论应运而生.深刻地理解数学史的内容,才能了解数学发展的基本进程.
对于学生来说,总是有这样的想法,因为数学课程总是直接给出一个系统的逻辑叙述,使人们产生这样的印象:数学家们几乎理所当然地从定理到定理,数学家们能克服任何困难,并且这些课程完全经过锤炼,己成定局.学生被湮没在成串的定理中,特别是当他们刚开始学习这些课程的时候.历史却形成对比,它教导我们,一个科目的发展是由汇集不同方面的成果,点滴积累而成的.我们也知道,常常需要几十年,甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步.不但这些科目并非天衣无缝,就是那些已经取得的成就,也常常只是一个开始,许多缺陷有待填补,或者真正重要的扩展还有待创造.
今天的小学生都知道阿拉伯数字为1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,而这些抽象的数是从人们长期的计数实践中产生的,至于它的记法,又是经过漫长的历史演变的.今天的人们会解一元三、四次方程,而在古代中世纪人们仅会一元一次方程、一元二次方程的求解情况,直到文艺复兴时期人们才掌握一元三次、四次方程的求解情况,正是由于塔尔塔利亚和菲奥尔在1835年2月22日那场别开生面的数学比赛推动了一元三次方程的解法,也正是由于这场比赛,深深地吸引了意大利米兰的一位数学家卡尔丹诺,他使一元三次方程的解法更为完善.而卡尔丹诺的学生费拉里根据三次方程的求根公式,启发了对四次方程的研究.四次以上的方程是否有一般的代数方法?从16世纪的后半叶到19世纪初的二百多年,无数数学家和数学爱好者,耗尽了心血,绞尽了脑汁,仍然一无所得.法国数学大师拉格朗日千辛万苦利用对称多项式理论、置换理论、预解式理论导出了适用二次、三次、四次方程的根式解法,但对五次以上的方程仍然束手无策.1824—1826年挪威数学家阿贝尔证明了一般五次方程不可能有根式解,并由此导出了可变群论,即阿贝尔群的理论.1828年法国年轻数学家伽罗华证明了五次以上代数方程有根式解的充要条件,由此产生了伽罗华理论.
由此可见,今天看似简单的问题,历史上留下了多少数学家艰辛跋涉的足迹.数学事业每前进一步,都要付出多么崇高的劳动.希尔伯特要大家回答的23个问题,近一百年过去了仍未完全解决.1976年,在美国伊里诺斯大学的国际数学会议上数学家们提出了二百多个问题和猜想,到现在已解决的很少.数学大厦基础上的裂缝,从1902年的“罗素悖论”,历经八十多年仍未完全弥合.数学的发展并非一帆风顺.课本中的字斟句酌,未能表现创作
过程中的斗争、挫折、以及数学家所经历的艰苦漫长的道路.通过学习数学史,学生一旦认识到这一点,他将不仅获得真知灼见,还将获得顽强学习的勇气.因为看到数学家如何跌跤,如何在迷雾中摸索前进,如何一点一滴地得到他们的成果.这样对于自己在学习中遇到的挫折就不会感到颓丧.我们都知道17世纪最伟大的法国数学家费马提出的“费马大定理”——不存在正整数x ,y ,z ,n ,使得xn+yn=zn(当n >2时).从那时起,许多卓越的数学家在此问题上付出了数不清的艰辛努力.1779年欧拉给出了一个n =3的证明.不久,欧拉又出色地证明了n=4的情况.大约1825年,勒让德和狄利克雷独立地对n =5给出了证明;拉梅于1839年对于n =7证明了此定理.德国数学家库默尔对此问题的研究做了有意义的推进.1843年提出了“库默尔理想数”为费马关系式的不可解性导出了一个条件.1908年,德国数学家佛尔夫斯克尔给哥廷根科学院留下10万马克,作为这个“定理”的第一个证明的完全奖金.三百多年过去了,直到1995年由英国的数学家怀尔斯成功地证明了这个定理.被称为“20世纪最辉煌的数学成果”.由此可见,多少数学家经历了艰苦漫长的道路,才取得了最后的成功.数学的发展很少有风平浪静的时候,每前进一步,都充满斗争和挫折,特别在重大突破的关键时刻,不仅会遇到世俗观念的阻碍,还会遇到数学界传统观念的排挤,数学家本人也会犯错误.天文学家兼数学家伽里略,被罗马教皇夺去了生命;解析几何的创始人笛卡尔受到教会的残酷迫害;第一个发现无理数的希伯斯被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进了大海.其它如牛顿、莱布尼茨创建的微积分学、罗巴切夫斯基创建的非欧几何、康托创建的集合论,当初都曾受到攻击.著名的数学家柯西在论证函数项级数收敛性时曾犯过错误.优秀的数学家哈密顿也曾为“四色问题”冥思苦想13年而不得其果.但是数学家们并没有被困难、挫折、诽谤所吓倒,而是充满勇气,充满创造,披荆斩棘,克服种种困难,推动数学的车轮滚滚向前.
通过对数学史的学习,可以使学生更好地感知和理解数学美.提高他们的审美情趣,陶冶情操,从而更热爱数学这门学科,执迷于对数学的探索.数学美指的是数学具有简洁性、对称性、和谐性和奇异性.德国数学家弗希纳做过一次别出心裁的试验,他召开了一次“矩形展览会”,会上展出了他精心制作的各种矩形.并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形.结果矩形的长与宽之比为0.618的矩形被为是最美的矩形.0.618——“黄金比值”,这一神秘的数字,蕴涵着奇异的数学美,这一美的密码一经被人类掌握,立即成为服务于人类的法宝.艺术家们则用它创造出更加令人神往的艺术珍品;设计家利用它设计出巧夺天工的建筑;科学家们则在科学的海洋尽情地欢奏0.618这一美的旋律.此外像对数螺线、裴波那契数列,哥德巴赫猜想、费马最后定理、四色问题、多阶幻方等给人以美的欢乐、醉心的向往.
通过学习数学史可以使学生更好地回顾往昔,展望未来.20世纪上半叶的数学成果既然可以超过19世纪的几倍,近三十年所出现的数学分支又可超过18世纪的总和.可以预料:随着新世纪的到来,数学事业将会更神速的发展.数学分支越细,越有利于数学家在某一方向上深入发展.数学信息的繁密,更能帮助数学家了解自己研究方向上的概况.避免无效的劳动.随着计算机的飞速发展,使数学家逐步摆脱了沉重的计算负担;人工智能的不断开发,将协助数学家进行部分劳动.面对美好的数学前景,增强了学生的使命感和目标感,吸引着更多的学生献身于这一艰苦而又伟大的事业.
数学史有助于学生掌握数学思想,数学思想是人们对数学认识的反映,它又直接支配着数学的实践活动.任何数学事实的理解、数学概念的掌握、数学方法的运用,数学理论的建立,无一不是数学思想的体现.因此可以说,数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识.通过学习数学史,可以知道各种具体的数学思想的产生和发展,它与数学主干思想有何联系,它对数学发展的影响、作用和地位.数学中有许多数学思想.如,当美索不达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊只时,就意味着符号抽象的产生;而当他们第一次试图使用什么记号将羊只的总数记录下来时,就意味着符号思想的出现,这是人类认识史上巨大飞跃的开端.符号思想的实质就是通过建立某种对应,实现从感性到理性认识的转换.对于学生来说掌握了这种对应关系,才能理解所使用符号的意义,才能进入形式化的数学领域.此外,对数思想、坐标思想、微积分思想、方程思想、函数思想等都会使学生学习知识事半功倍.
数学史也有助于开发学生数学思维,我们知道,思维是人脑对客观事物的本质属性和规律的关系的概括与间接的反映.数学思维是一种思维,它是人们的数学认识活动,是人们从事数学活动中的理性认识过程,是人们形成数学思维形式,数学概念、数学命题,数学推理和数学理论的思维过程.数学史料富有典型性和教育意义.领略数学家们的创造性思维过程,有助于学生深刻地理解教材,领会教材的实质,从而可以增强学生驾驭教材的能力.这一点是战胜题海战术的有力武器,现在的学生只知道做题,而对题的深层结构和思想实质不做思考,当他们面对一个全新的问题时便往往束手无策,而学习前人在面对未知领域所用的思想方法,对我们解决问题很有裨益.如公元1847年,一位完全靠自学成材的数学家布尔(1815—1864),深刻地研究了命题的演算规律,创造了一种崭新的代数系统,这种代数系统,把逻辑思维的规律,归结为代数演算的过程从而使逻辑关系的判断与推理,复杂命题的变换与简化,终于找到了巧妙而有效的数值途径.类似这样的数学史知识,能使学生认识到在探索数学问题时应冲破思维的局限,从而发展学生的数学思维.数学史中记载了许多数学家发明、发现的生动过程,向学生介绍这些过程,有助于学生理解掌握创造的方法、技巧,
从而增强其创造力.如公元263年,刘徽在《九章算术》的注释中提出了计算圆周长的“割圆”思想,刘徽本人精辟的论述:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣!”.刘徽用“割圆”思想不仅计算出了π的近似值,而且还提供了一种研究数学的方法.这种方法相当于今天的“求极限”.数学家们的这些数学方法和思想能开阔学生的视野,发展学生的思维.
数学史的了解帮助了课堂教学:活跃课堂气氛,增加学习兴趣,提高教学效果.课堂教学中穿插一些相关的数学史知识,可以激发起学生的好奇心,使学生更好地领会所学的知识,调动学生学习的积极性.如在讲无穷递缩等比数列的和时,可以从“芝诺悖论”讲起,芝诺断言;古希腊的英雄阿基里斯与龟赛跑,将永远追不上乌龟!这时学生感到不可思议,然后再进一步展开驳倒这个悖论.芝诺的理由是:假定阿基里斯现在A 处,乌龟现在T 处.为了赶上乌龟,阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点T 处,当他到达T 点时,龟已前进T1点;当他到达T1点时,乌龟又已前进到T2点,如此等等.阿基里斯是永远追不上乌龟的!这时用具体的数据进一步驳倒这个悖论.设阿基里斯的速度是乌龟的十倍,龟在前面100米.当阿基里斯跑了100米时,龟已前进的10米;当阿基里斯再追10米时,龟又前进了1米;阿再追1米;龟又前进了1/10米,….于是阿基里斯追上乌龟所跑的路程S =100+10+1+…,事实上这是一个无穷递缩等比数列的和.可见,形式上是永远进行下去,实际上是限制了阿基里斯的路程,一旦超过这个限制,阿基里斯就超过乌龟.这样学生留下了深刻的印象,又提高了教学效率.
数学史的教育意义
数学史的学习可以使学生通过数学文化的学习,了解人类社会发展与数学发展的相互作用,认识数学发生、发展的必然规律;了解人类从数学的角度认识客观世界的过程;发展求知、求实、勇于探索的情感和态度;体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性,了解数学真理的相对性;提高学习数学的兴趣,数学史的价值在教学的过程中可以得到充分的体现。
参考文献:
[1] 《数学史》 中国人民大学出版社 [英]斯科特 2010年4月第一版
[2] 《数学文化》 高等教育出版社 张楚廷 2000年
[3] 《西方数学中的文化》 复旦大学出版社 克莱因 2005年