系统响应及系统稳定性

一、实验目的：

1、掌握求系统响应的方法。 2、掌握时域离散系统的时域特性。 3、分析、观察及检验系统的稳定性。

二、实验原理与方法

在时域中，描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，在频域可以用系统函数描述系统特性。已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应，本实验仅在时域求解。在计算机上适合用递推法求差分方程的解，最简单的方法是采用MA TLAB 语言的工具箱函数filter 函数。也可以用MA TLAB 语言的工具箱函数conv 函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积，求出系统的响应。

系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。重点分析实验系统的稳定性，包括观察系统的暂态响应和稳定响应。

系统的稳定性是指对任意有界的输入信号，系统都能得到有界的系统响应。或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。系统的稳定性由其差分方程的系数决定。

实际中检查系统是否稳定，不可能检查系统对所有有界的输入信号，输出是否都是有界输出，或者检查系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。可行的方法是在系统的输入端加入单位阶跃序列，如果系统的输出趋近一个常数（包括零），就可以断定系统是稳定的[19]。系统的稳态输出是指当n →∞时，系统的输出。如果系统稳定，信号加入系统后，系统输出的开始一段称为暂态效应，随n 的加大，幅度趋于稳定，达到稳态输出。

注意在以下实验中均假设系统的初始状态为零。

三、实验内容及步骤

1、编制程序，包括产生输入信号、单位脉冲响应序列的子程序，用filter 函数或conv 函数求解系统输出响应的主程序。程序中要有绘制信号波形的功能。

2、给定一个低通滤波器的差分方程为

y (n ) =0. 05x (n ) +0. 05x (n -1) +0. 9y (n -1) 输入信号 x 1(n ) =R 8(n ) x 2(n ) =u (n )

a) 分别求出系统对x 1(n ) =R 8(n ) 和x 2(n ) =u (n ) 的响应序列，并画出其波形。 b) 求出系统的单位冲响应，画出其波形。 3、给定系统的单位脉冲响应为 h 1(n ) =R 10(n )

h 2(n ) =δ(n ) +2. 5δ(n -1) +2. 5δ(n -2) +δ(n -3)

用线性卷积法分别求系统h 1(n)和h 2(n)对x 1(n ) =R 8(n ) 的输出响应，并画出波形。

4、给定一谐振器的差分方程为

y (n ) =1. 8237y (n -1) -0. 9801y (n -2) +b 0x (n ) -b 0x (n -2) 令 b 0=1/100. 49，谐振器的谐振频率为0.4rad 。

a) 用实验方法检查系统是否稳定。输入信号为u (n ) 时，画出系统输出波形。 b) 给定输入信号为

x (n ) =sin(0. 014n ) +s i n 0(. 4n ) 求出系统的输出响应，并画出其波形。

四、程序清单

%实验1：系统响应及系统稳定性

close all;clear all

%======内容1：调用filter 解差分方程，由系统对u(n)的响应判断稳定性====== A=[1,-0.9];B=[0.05,0.05]; %系统差分方程系数向量B 和A x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1,50)]; %产生信号x1(n)=R8(n) x2n=ones(1,128);

%产生信号x2(n)=u(n) hn=impz(B,A,58); %求系统单位脉冲响应h(n)

subplot(2,2,1);y='h(n)';tstem(hn,y); %调用函数tstem 绘图 title('(a) 系统单位脉冲响应h(n)');box on

y1n=filter(B,A,x1n); %求系统对x1(n)的响应y1(n) subplot(2,2,2);y='y1(n)';tstem(y1n,y);

title('(b) 系统对R8(n)的响应y1(n)');box on

y2n=filter(B,A,x2n); %求系统对x2(n)的响应y2(n)

subplot(2,2,4);y='y2(n)';tstem(y2n,y);

title('(c) 系统对u(n)的响应y2(n)');box on

%===内容2：调用conv 函数计算卷积============================ x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 ]; %产生信号x1(n)=R8(n) h1n=[ones(1,10) zeros(1,10)]; h2n=[1 2.5 2.5 1 zeros(1,10)]; y21n=conv(h1n,x1n);

y22n=conv(h2n,x1n); figure(2)

subplot(2,2,1);y='h1(n)';tstem(h1n,y); %调用函数tstem 绘图 title('(d) 系统单位脉冲响应h1(n)');box on subplot(2,2,2);y='y21(n)';tstem(y21n,y);

title('(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)');box on

subplot(2,2,3);y='h2(n)';tstem(h2n,y); %调用函数tstem 绘图 title('(f) 系统单位脉冲响应h2(n)');box on subplot(2,2,4);y='y22(n)';tstem(y22n,y);

title('(g) h2(n)与R8(n)的卷积y22(n)');box on

%=========内容3：谐振器分析======================== un=ones(1,256); %产生信号u(n)

n=0:255;

xsin=sin(0.014*n)+sin(0.4*n); %产生正弦信号

A=[1,-1.8237,0.9801];B=[1/100.49,0,-1/100.49]; %系统差分方程系数向量B 和A y31n=filter(B,A,un); %谐振器对u(n)的响应y31(n) y32n=filter(B,A,xsin); %谐振器对u(n)的响应y31(n) figure(3)

subplot(2,1,1);y='y31(n)';tstem(y31n,y);

title('(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)');box on subplot(2,1,2);y='y32(n)';tstem(y32n,y);

title('(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)');box on

五、实验结果与波形

六、分析与简述

1、求系统响应的方法有两种，一种是通过解差分方程求得系统输出；一种是已知系统的单位脉冲响应，通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出。

2、要检验系统稳定性，需在输入端加入阶跃序列，观测输出波形，如果波形稳定，则系统稳定，反之则不稳定。

3、谐振器具有对某一频率进行谐振的性质。实验中谐振频率为4rad ，因此稳定波形为sin （0.4n ）。

4、倘若输入信号为无限长序列，系统的单位脉冲响应是有限长序列，可用分段线性卷积法求系统响应。

5、如果信号经过低通滤波器，把信号的高频分量滤掉，时域信号的剧烈变化将被平滑，由实验内容（1）结果图10.1.1(a)、(b)和(c)可见，经过系统低通滤波使输入信号δ(n ) 、

x 1(n ) =R 8(n ) 和x 2(n ) =u (n ) 的阶跃变化变得缓慢上升与下降。