秘传高考数学通用解题模型

秘传高考通用解题模型（I ）

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A ={x |y =lg x }，B ={y |y =lg x }，C ={(x , y )|y =lg x }，A 、B 、C 中元素各表示什么？

A 表示函数y=lgx的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2

如：集合A =x |x -2x -3=0，B ={x |ax =1}

{}

若B ⊂A ，则实数a 的值构成的集合为 （答：⎨-1，0，⎬）

⎧⎩

1⎫3⎭

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：

（1）集合{a 1，a 2，„„，a n }的所有子集的个数是2n ；

要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a3, „„a n , 都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A 有2个子集。

当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2-1，非空真子集个数为2-2

n

n

n

n

n

（2）若A ⊆B ⇔A B =A ，A B =B ；

（3）德摩根定律：

C U (A B )=(C U A ) (C U B )，C U (A B )=(C U A ) (C U B )

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

A B =A B , A B =A B

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x 的不等式的取值范围。

ax -5

x -a

（∵3∈M ，∴

a ·3-5

3-a a ·5-5

≥0

52-a

5⎫⎡

⇒a ∈⎢1，⎪ (9，25)）

3⎭⎣

∵5∉M ，∴

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(-∞,1) 上单调递减，在(1,+∞) 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程 的2个根

5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(∨) ，“且”(∧) 和“非”(⌝).

若p ∧q 为真，当且仅当p 、q 均为真

若p ∨q 为真，当且仅当p 、q 至少有一个为真 若⌝p 为真，当且仅当p 为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A ={x |x 满足条件p }，B ={x |x 满足条件q }，

若 ；则p 是q 的充分非必要条件⇔A _____B ； 若 ；则p 是q 的必要非充分条件⇔A _____B ； 若 ；则p 是q 的充要条件⇔A _____B ；

若 ；则p 是q 的既非充分又非必要条件⇔___________；

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。

如：若A ={1, 2, 3, 4}，B ={a , b , c }；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若A ={1, 2, 3}，则A 到B 的一一映射有 个。 函数y =ϕ(x ) 的图象与直线x =a 交点的个数为 个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y =

x 4-x lg (x -3)

2

的定义域是

（答：(0，2) (2，3) (3，4)）

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零；

● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；

● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

● 正切函数y =tan x x ∈R , 且x ≠k π+

⎛⎝

π

⎫, k ∈Z⎪ 2⎭

● 余切函数y =cot x (x ∈R , 且x ≠k π, k ∈Z) ● 反三角函数的定义域

函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义

域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是. ，

函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f (x ) 的定义域是a ，b ，b >-a >0，则函数F(x) =f (x ) +f (-x ) 的定 义域是_____________。 （答：a ，-a ）

复合函数定义域的求法：已知y =f (x ) 的定义域为[m , n ]，求y =f [g (x ) ]的定义域，可由m ≤g (x ) ≤n 解出x 的范围，即为y =f [g (x ) ]的定义域。

例 若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f (log2x ) 的定义域为

2分析：由函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥可知：≤x ≤2；所以y =f (log2x ) 中有

22

[]

[]

⎡1⎤

⎣⎦

⎡1⎤⎣⎦

1

1

≤log 2x ≤2。 2

解：依题意知： 解之，得 ∴ f (log2x ) 的定义域为x |

1

≤log 2x ≤2 2

2≤x ≤4

{

2≤x ≤4

}

11、函数值域的求法 1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y=

1

的值域 x

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数y=x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

2

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

b

型：直接用不等式性质k+x2

bx

b. y=2型, 先化简，再用均值不等式

x +mx +n

x 11

例：y ==≤

121+x2

x+x

x 2+m 'x +n '

c .. y=2型 通常用判别式

x +mx +n x 2+mx +n

d. y=型

x +n

法一：用判别式a . y=

法二：用换元法，把分母替换掉

2

x 2+x +1（x+1）-（x+1）+1 1

例：y ===（x+1）+-1≥2-1=1

x +1x +1x +1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=

3x +4

值域。

5x +6

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

2sin θ-12sin θ-1e x -1

例 求函数y=x ，y =，y =的值域。

1+sin θ1+cos θe +1

e x -11+y

y =x ⇒e x =>0

1-y e +1

2sin θ-11+y y =⇒|sin θ|=||≤1,

1+sin θ2-y 2sin θ-1y =⇒2sin θ-1=y (1+cos θ)

1+cos θ

2sin θ-y cos θ=1+y

θ+x ) =1+y , 即sin(θ+x ) =

又由sin(θ+x ) ≤1≤1

解不等式，求出y ，就是要求的答案

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=

2

x -5

+log 3

x -1（2≤x ≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+x -1的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22

例：已知点P （x.y ）在圆x +y=1上，

y

的取值范围x +2

(2)y-2x 的取值范围 (1)

解:(1)令

d≤R (d 为圆心到直线的距离,R 为半径)

(2)令y-2x =b , 即y -2x -b =0, 也是直线d d≤R

例求函数y=

y

=k , 则y =k (x +2), 是一条过(-2,0)的直线. x -2

(x -2)

2

+

(x +8)

2

的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8

∣

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10

当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）

例求函数y=

x

2

-6x +13+

x

2

+4x +5的值域

2

解：原函数可变形为：y=

(x -3) +(0-2) +

2

(x +2)

2

+(0+1)

2

上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，

由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y min =∣AB ∣=

(3+2) +(2+1)

x

2

22

=43，

故所求函数的值域为[43，+∞）。 例求函数y=

x

2

-6x +13 -+4x +5的值域

2

解：将函数变形为：y=

(x -3) +(0-2)

2

-

(x

+2) +(0-1)

22

上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。即：y=∣AP ∣-∣BP ∣ 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ¹，则构成△ABP ¹，根据三角形两边之差小于第三边，

有 ∣∣AP ¹∣-∣BP ¹∣∣＜∣AB ∣= 即：-26＜y ＜26

（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。 综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26）。

3+2) +(2-1)

22

= 26

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在x

轴的同侧。

9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，c ∈

R

+

），求函数的最值，其题型特征解析式

是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

22

x +

x

(x >0)

=x2+

11+≥=3x x (应用公式a+b+c≥3者的乘积变成常数）

x 2(3-2x)(0

x +x+3-2x3

=x⋅x ⋅(3-2x)≤() =1

3

a +b +c 3

(应用公式abc ≤() 时，应注意使3者之和变成常数）

3

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=

x +2

的值域

x +3

x +2≠0时，1==y y =

x +2=0时，y =0∴0≤y ≤

1

2

≥2⇒0

1 2

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不

要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：f

(

x +1=e x +x ，求f (x ).

)

令t =x +1，则t ≥0

2

∴x =t -1 ∴f (t ) =e t

2

-1

+t 2-1

∴f (x ) =e x

2

-1

+x 2-1(x ≥0)

13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）

⎧⎪1+x

如：求函数f (x ) =⎨2

⎪⎩-x

-1

(x ≥0)

的反函数

(x

⎧⎪x -1(x >1)（答：f (x ) =⎨） ⎪⎩--x (x

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了

大方便。请看这个例题：

(2004.全国理) 函数y =

A ．y=x 2－2x +2(x

x -1+1(x ≥1) 的反函数是（ B ）

B ．y=x 2－2x +2(x ≥1) D ．y=x 2－2x (x ≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x 〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D. 现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？

14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：

1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ） 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线

y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y =f(x)的定义域为A ，值域为C ，a ∈A ，b ∈C ，则f(a)=b ⇔f -1(b ) =a ∴f

-1

[f (a ) ]=f -1(b ) =a ，f [f -1(b ) ]=f (a ) =b

4

+2) ，则方程f -1(x ) =4的解x

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04. 上海春季高考）已知函数f (x ) =log 3(

x =__________.1

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y, 不就是原函数的x 吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x 值，那方法也一样，呵呵。 自己想想，不懂再问我

15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x1),f(x2) 之间的大小关系

可以变形为求

f (x 1) -f (x 2) f (x 1)

的正负号或者与1的关系

x 1-x 2f (x 2)

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b) 对称，函数f(x)在关于点(a，0) 的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a，0) 的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数) 是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数) ，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1f (x )

在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u∈[φ(α) ，φ(β)]或u∈[φ(β), φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u∈[φ(α) ，φ(β)]或u∈[φ(β) ，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x ＝f －1(y)也是严格单调的，而且，它

y =log 1-x +2x 的单调区间 如：求

2

(

2

)

（设u =-x 2+2x ，由u >0则0

2

2

当x ∈(0，1]时，u ↑，又log 1u ↓，∴y ↓

2

当x ∈[1，2) 时，u ↓，又log 1u ↓，∴y ↑

2

∴„„）

16. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a ，b 内，若总有f '(x ) ≥0则f (x ) 为增函数。（在个别点上导数等于

()

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f '(x ) ≤0呢？

如：已知a >0，函数f (x ) =x 3-ax 在1，+∞上是单调增函数，则a 的最大 值是（ ） A. 0

[)

B. 1

2

C. 2 D. 3

（令f '(x ) =3x -a =3 x +

⎛⎝a ⎫⎛a ⎫

⎪ x -⎪≥0 3⎭⎝3⎭

则x ≤-

a a

或x ≥

33

a

≤1，即a ≤3 3

由已知f (x ) 在[1，+∞) 上为增函数，则 ∴a 的最大值为3）

17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f (-x ) =-f (x ) 总成立⇔f (x ) 为奇函数⇔函数图象关于原点对称 若f (-x ) =f (x ) 总成立⇔f (x ) 为偶函数⇔函数图象关于y 轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

a ·2x +a -2

如：若f (x ) =为奇函数，则实数a =

2x +1

（∵f (x ) 为奇函数，x ∈R ，又0∈R ，∴f (0) =0

a ·20+a -2

=0，∴a =1） 即0

2+1

2x

， 又如：f (x ) 为定义在(-1，1) 上的奇函数，当x ∈(0，1) 时，f (x ) =x

4+1

求f (x ) 在(-1，1)上的解析式。

2-x

（令x ∈(-1，0)，则-x ∈(0，1)，f (-x ) =-x

4+12-x 2x

=- 又f (x ) 为奇函数，∴f (x ) =--x

4+11+4x

⎧2x

⎪-x

⎪4+1

又f (0) =0，∴f (x ) =⎨

x

⎪2⎪⎩4x +1

判断函数奇偶性的方法

x ∈(-1，0)

x =0x ∈(0，1)

）

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f (-x ) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x)

=1 偶函数 f(-x)f(x)

=-1 奇函数f(-x)

三、 四、

复合函数奇偶性

18. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T （T ≠0），在定义域内总有f (x +T )=f (x ) ，则f (x ) 为周期 函数，T 是一个周期。）

如：若f (x +a )=-f (x ) ，则

（答：f (x ) 是周期函数，T =2a 为f (x ) 的一个周期）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，

f (x ) +f (x +t ) =0⎫

这时说这个函数周期2t. 推导：f (x +t ) +f (x +2t ) =0⎬=>f (x ) =f (x +2t ) ，

⎭

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。

比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：若f (x ) 图象有两条对称轴x =a ，x =b 即f (a +x ) =f (a -x ) ，f (b +x ) =f (b -x )

⎧f (x ) =f (2a -x ) ⎫=>⎨⎬=>f (2a -x ) =f (2b -x ) ⎩f (x ) =f (2b -x ) ⎭

令t =2a -x , 则2b -x =t +2b -2a , f (t ) =f (t +2b -2a ) 即f (x ) =f (x +2b -2a )

所以, 函数f (x ) 以2|b -a |为周期(因不知道a , b 的大小关系, 为保守起见, 我加了一个绝对值

如：

19. 你掌握常用的图象变换了吗？

f (x ) 与f (-x ) 的图象关于y 轴对称 联想点（x,y ）,(-x,y) f (x ) 与-f (x ) 的图象关于x 轴对称 联想点（x,y ）,(x,-y) f (x ) 与-f (-x ) 的图象关于原点对称 联想点（x,y ）,(-x,-y) f (x ) 与f -1(x ) 的图象关于直线y =x 对称 联想点（x,y ）,(y,x) f (x ) 与f (2a -x ) 的图象关于直线x =a 对称 联想点（x,y ）,(2a-x,y) f (x ) 与-f (2a -x ) 的图象关于点(a ，0) 对称 联想点（x,y ）,(2a-x,0)

y =f (x +a ) 左移a (a >0) 个单位 将y =f (x ) 图象−−−−−−−− −→y =f (x -a ) 右移a (a >0) 个单位

上移b (b >0) 个单位y =f (x +a ) +b

−−−−−−−−−→

下移b (b >0

) 个单位y =f (x +a ) -b

（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）

注意如下“翻折”变换：

f (x ) −−→|f (x 把) |轴下方的图像翻到上面x

f (x ) −− →f (|x 把|) 轴右方的图像翻到上面y 如：f (x ) =log 2(x +1)

作出y =log 2(x +1)及y =log 2x +的图象

y=log2x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：y =kx +b (k ≠0) （2）反比例函数：y =的双曲线。

(k为斜率，b 为直线与y 轴的交点)

k k (k ≠0)推广为y =b +(k ≠0)是中心O '(a ，b ) x x -a

2

b ⎫4ac -b 2⎛2

（3）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)=a x +图象为抛物线 ⎪+

⎝2a ⎭4a

⎛b 4ac -b 2⎫b

顶点坐标为 -，⎪，对称轴x =-

4a ⎭2a ⎝2a

开口方向：a >0，向上，函数y min

4ac -b 2

=

4a

a

4ac -b 2=

4a

根的关系：x =

-b 2a

b c

x 1+x 2=-, x 1⨯x 2=,|x 1-x 2|=

a a |

a |

二次函数的几种表达形式：f (x ) =ax 2+bx +c (一般式)

f (x ) =a (x -m ) 2+n (顶点式，（m ，n ）为顶点f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(x 1, x 2是方程的2个根）f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) +h (函数经过点（x 1, h )(x 2, h )

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax 2+bx +c =0，∆>0时，两根x 1、x 2为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴 的两个交点，也是二次不等式ax 2+bx +c >0(

②求闭区间［m ，n ］上的最值。

b

） f m a x =f (m ) , f m =i n f n () 2a b

区间在对称轴右边（m >-） f m a x =f (n ) , f m =i n f m ()

2a b

区间在对称轴2边 （n

2a

4a c -b 2

f m i n =f , m a =x m f a m x (f (n ) , () )

4a

也可以比较m , n 和对称轴的关系，距离越远，值越大 区间在对称轴左边（n 0的情况）

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

⎧∆≥0⎪⎪b 2

如：二次方程ax +bx +c =0的两根都大于k ⇔⎨->k

⎪2a ⎪⎩f (k ) >0

一根大于k ，一根小于k ⇔f (k )

⎧∆≥0⎪b ⎪m

在区间（m ，n ）内有2根⇔⎨2a

⎪f (m ) >0⎪⎪⎩f (n ) >0

在区间（m ，n ）内有1根⇔f (m ) f (n )

（4）指数函数：y =a x (a >0，a ≠1)

（5）对数函数y =log a x a >0，a ≠1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

a x(a>1)

()

（6）“对勾函数”y =x +

k

(k >0) x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a =1(a ≠0) ，a

m n

m

-m n

-p

=

1

(a ≠0) p a

a =a (a ≥0) ，a =

1

a

m

(a >0)

对数运算：l o g (⨯N =) a M l o g a

l a o g M +

l N N >) (g M >，0a o

M 1=l o g M -l o g N ，l o g M =l o g a a a a M N n

对数恒等式：a log a x =x

对数换底公式：l o g a b =

l o g n n c b ⇒l o g b =m

a

l o g m c a

l b g a o

l o g a x =

1

l o g x a

21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 为奇函数。 （先令x =y =0⇒f (0) =0再令y =-x ，„„）

（2）x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 是偶函数。 （先令x =y =-t ⇒f [(-t )(-t ) ]=f (t ·t ) ∴f (-t ) +f (-t ) =f (t ) +f (t ) ∴f (-t ) =f (t ) „„）

（3）证明单调性：f (x 2) =f (x 2-x 1)+x 2=„„

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1. 正比例函数型的抽象函数

f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）

2. 幂函数型的抽象函数

[]

f （x ）＝x a ----------------f （xy ）＝ f （x ）f （y ）；f （3. 指数函数型的抽象函数

x f (x )

）＝ y f (y )

f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝4. 对数函数型的抽象函数

f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （5. 三角函数型的抽象函数

f （x ）＝t gx-------------------------- f （x ＋y ）＝

f (x )

f (y )

x

）＝ f （x ）－f （y ） y

f (x ) +f (y )

1-f (x ) f (y ) f (x ) f (y ) -1

f (x ) +f (y )

f （x ）＝cot x------------------------ f （x ＋y ）＝

例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1) ＝ －2求f (x ) 在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2

－x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式 f （a 2－2a －2）

分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1].

（1） 判断f （x ）的奇偶性；

（2） 判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3） 若a ≥0且f （a ＋1）≤9，求a 的取值范围. 分析：（1）令y ＝－1； （2）利用f （x 1）＝f （ （3）0≤a ≤2.

x 1x

·x 2）＝f （1）f （x 2）； x 2x 2

例4设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得f （x 1）≠f （x 2）；对任何x 和y ，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）成立. 求：

（1） f （0）；

（2） 对任意值x ，判断f （x ）值的符号.

分析：（1）令x= y ＝0；（2）令y ＝x ≠0.

例5是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）>0,x ∈N ；②f （a ＋b ）＝ f （a ）f （b ），a 、b ∈N ；③f （2）＝4. 同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f （x ）＝2x ；再用数学归纳法证明.

例6设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求：

（1） f （1）；

（2） 若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围.

分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y ＝ f （x ）的反函数是y ＝g （x ）. 如果f （a b ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由.

分析：设f （a ）＝m ，f （b ）＝n ，则g （m ）＝a ，g （n ）＝b ，

进而m ＋n ＝f （a ）＋f （b ）＝ f （a b ）＝f [g （m ）g （n ）]„.

例8已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

① x 1、x 2是定义域中的数时，有f （x 1－x 2）＝f (x 1) f (x 2) +1； f (x 2) -f (x 1)

② f （a ）＝ －1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）；

③ 当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0.

试问：

（1） f （x ）的奇偶性如何？说明理由；

（2） 在（0，4a ）上，f （x ）的单调性如何？说明理由.

分析：（1）利用f [－（x 1－x 2）]＝ －f [（x 1－x 2）]，判定f （x ）是奇函数；

（3） 先证明f （x ）在（0，2a ）上是增函数，再证明其在（2a ，4a ）上也是

增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），

（1） 求证：f （1）＝f （－1）＝0；

（2） 求证：f （x ）为偶函数；

（3） 若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f （x ）＋f （x －

分析：函数模型为：f （x ）＝lo g a |x |（a ＞0）

（1） 先令x ＝y ＝1，再令x ＝y ＝ －1；

（2） 令y ＝ －1；

（3） 由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x |）.

例10已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：

（1） 当x ＞0时，0＜f （x ）＜1；

（2） f （x ）在x ∈R 上是减函数.

分析：（1）先令x ＝y ＝0得f （0）＝1，再令y ＝－x ；

（3） 受指数函数单调性的启发：

由f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）可得f （x －y ）＝1）≤0. 2f (x ) ， f (y )

进而由x 1＜x 2，有f (x 1) ＝f （x 1－x 2）＞1. f (x 2)

练习题：

1. 已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）对任意实数x 、y 都成立，则（ A ）

（A ）f （0）＝0 （B ）f （0）＝1

（C ）f （0）＝0或1 （D ）以上都不对

2. 若对任意实数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（ B ）

（A ）f （1）＝0 （B ）f （1）＝ f （x ） x

（C ）f （x ）＝ f （x ）－f （y ） （D ）f （x n ）＝nf （x ）（n ∈N ） y

3. 已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足：f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，则当x ＞0时，f （x ）的取值范围是（ C ）

（A ）（1，＋∞） （B ）（－∞，1）

（C ）（0，1） （D ）（－1，＋∞）

4. 函数f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x 1、x 2都有

f （x 1－x 2）＝f (x 1) -f (x 2) ，则f （x ）为（ A ） 1+f (x 1) f (x 2)

（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数

（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数

5. 已知不恒为零的函数f （x ）对任意实数x 、y 满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2[f （x ）＋f （y ）]，则函数f （x ）是（ B ）

（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数

（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l =α·R ，S 扇=11l ·R =α·R 2） (和三角形的面积公式很相似， 22

可以比较记忆. 要知道圆锥展开图面积的求法)