三角形 深圳

2002年-2011年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编专题

三角形

一、选择题

1. （深圳2002年3分）下列两个三角形不一定相似的是【 】 A、两个等边三角形 B、两个全等三角形

C 、两个直角三角形 D、两个顶角是120º的等腰三角形 【答案】C 。

【考点】相似三角形的判定，等边三角形、直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质。

【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案：A 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；B 相似，因为全等三角形是特殊的相似三角形；C 不相似，因为没有指明其另一锐角相等或其两直角边对应成比例；D 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的的判定。故选C 。 2. （深圳2003年5分）计算： A、1 B、【答案】A 。

【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。 【分析】根据特殊角的三角函数值计算：

∵cot45°=1，cos60°=

cot 45︒-cos 60︒

⋅tan 60︒的结果是【 】

cos 30︒

231

-1 C、2-3 D、33

1

2

1

=1。故选A 。 ∴原式

1-

3. （深圳2003年5分）如图，直线l 1//l 2，AF ：FB=2：3，BC ：CD=2：1，则AE ：EC 是【 】

A 、5：2 B、4：1 C 、2：1 D、3：2 【答案】 C。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】如图所示，∵AF：FB=2：3，BC ：CD=2：1，

l 2

A

l 1

∴设AF=2x，BF=3x，BC=2y，CD=y。 由l 1//l 2，得△AGF∽△BDF， ∴

AG 2xAG AF

= ，即。∴AG=2y。 =

3y 3x BD BF

由l 1//l 2，得△AGE∽△CDE，∴

AE AG2y

===2:1。故选C 。 EC CD y

4. （深圳2006年3分）如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得影子CD 的长为１米，继续往前走2米到达Ｅ处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于【 】

Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米 【答案】B 。

【考点】相似三角形的应用， 解二元一次方程组。

【分析】如图，设AB=x米，BC= y米，则BC=y＋1米，BF= y＋5米。 由△ABD∽△GCD和△ABF∽△HEF得

⎧x y ＋1⎧AB BD

==⎪⎪⎧x=6⎪GC CD ⎪1.51

⎨，即⎨，解得⎨。

AB BF x y ＋5y=3⎩⎪⎪==⎪⎪2⎩HE EF ⎩1.5

∴路灯A 的高度AB 等于6米。故选B 。

5. （深圳2010年学业3分）如图，△ABC中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC＝80º，则∠B的度数是【 】 A．40º B．35º C．25º D．20º 【答案】C 。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。 【分析】∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，

∴∠ADC= （180°－80°）÷2=50°。

∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，∴∠B=∠BAD=（ 50÷2）°=25°。故选C 。

6. （深圳2011年3分）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分) 与△ABC相似的是【 】

【答案】B 。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】如B 图△EFG和△ABC中，∠EFG=∠ABC=135，

AB CB ==， ∴AB =CB 。 EF GF EF GF

∴∆EFG ∽∆ABC 。实际上， A，C ，D 三图中三角形最大角都小于∠ABC，即可排它，选B 即可。

7. （深圳2011年3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为【 】

不确定 【答案】A 。

【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】连接AO ，DO 。设等边△ABC的边长为a ，等边△ABC的边长为b 。

∵O为BC 、EF 的中点，∴AO、DO 是BC 、EF 的中垂线。∴∠AOC=∠DOC=90，∴∠AOD=180—∠COE。又∵∠BOE=180—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。 又由AO 、DO 是BC 、EF 的中垂线，得OB=a ，OE=b ，

1

212，

。

OA OD OA OD ====∴= 。 ∴∆AOD ∽∆BOE 。∴AD：

从而

11OB OE OB OE a b 22

。故选A 。 二、填空题

1. （深圳2002年3分）如图，D 、E 分别是△ABC的边AB 、AC 的中点，若S △ADE=1，则S △ABC= ▲ 。 【答案】4。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：

∵E分别是△ABC的边AB 、AC 的中点，∴DE是中位线。

∴DE

1

BC 。∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2。 2

∵S△ADE=1，∴S△ABC=4。

2. （深圳2004年3分）计算：3tan30º＋cot45º－2tan45º＋2cos60º= ▲ .

【考点】特殊角的三角函数值。 【分析】运用特殊角的三角函数值求解：

3tan30°＋cot45°－2

tan45°＋2cos60°=31

1-2⨯1+2⨯= 2

3. （深圳2005年3分）如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是 ▲ 。 【答案】AB=DC或∠ACB=∠DBC。 【考点】全等三角形的判定。

【分析】要使△ABC≌△DCB，已知有两对边对应相等，AC=BD，BC=BC，则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可：

可添加AB=DC利用SSS 判定△ABC≌△DCB；可添加∠ACB=∠DBC利用SAS 判定△ABC≌△DCB。

4. （深圳2006年3分）在△ABC中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为 ▲ ． 【答案】7。

【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积：

如图，在△ABC中，CD 是AB 边上的中线，

∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB。∴∠1=∠2，∠3=∠4。 ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°。∴△ABC是直角三角形。 ∴AC＋BC =AB=36。

又∵AC＋BC=8，∴AC＋2AC•BC＋BC =64。∴2AC•BC=64－（AC ＋BC ）=64－36=28。 ∴AC•BC=14。S △ABC=

2

2

2

2

2

2

2

11

AC•BC= ×14=7。 22

5. （深圳2007年3分）直角三角形斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ▲ ． 【答案】9π。

【考点】直角三角形斜边上中线的性质。

【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：

圆的半径=6÷2=3， 则面积=πr =9π。

6. （深圳2010年学业3分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测 北到灯塔M 在北偏东60º方向上，航行半小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东 30º方向上，那么该船继续航行 ▲ 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置

A

【答案】15。

北

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。

【分析】过点M 作MC⊥AB于点C ，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的位置即为点C 。由两直线平行，内错角相等的性质，得∠ADB=60º，从而由∠DBM=30º和三角形外角定理，得∠DMB=∠DBM=30º。因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得AB=MB。 设渔船航行的速度为v 单位/分钟，则由已知MB= AB=30v单位。 在Rt△BCM中，∠MCB=90º，∠MBC=30º，则BC=

A 60º

B

C

北

B 60º

北 2

115v MB=15v单位。则渔船从B 处航行到C 处所用时间为=152v

分钟。即该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。

7. （深圳2010年招生3分）如图，一艘海轮位于灯塔P

的东北方向，距离灯塔A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为 ▲ 海里（结果保留根号）． 【答案】

40+

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），平行的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】由平行的性质和等腰直角三角形的判定，知△APC为等腰直角三角形，由

AP=得AC=PC=40；

由平行的性质，得∠B=30，由锐角三角函数定义，得

CB=

PC ==。

tan ∠B

因此，

AB=AC+CB=40+。 三、解答题

1. （深圳2003年12分）如图，已知△ABC，∠ACB=90º，AC=BC，点E 、F 在AB 上，∠ECF=45º， （1）求证：△ACF∽△BEC （8分）

（2）设△ABC的面积为S ，求证：AF·BE=2S （4分）

（3）试判断以线段AE 、EF 、FB 为边的三角形的形状并给出证明． 【答案】解：（1）证明：∵AC=BC，∠ECF=45°∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF，∠ECB=45°+∠BCF。 ∴∠AFC=∠ECB。∴△ACF∽△BEC。 （2）∵△ACF∽△BEC，∴ 又∵ S△ABC=

AC AF

，即AF•BE=AC•BC。

BE BC

1

AC•BC，∴AF•BE=2S。 2

12

AB 。 2

（3）直角三角形。证明如下： 由（2）可知AF•BE=AC•BC= AC=设AE=a，BF=b，EF=c． 则 (a+c)(b+c)=

2

12222

(a+b+c)，化简即得a +b=c。 2

所以以线段AE 、EF 、FB 为边的三角形是以线段EF 为斜边的直角三角形。

【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。 【分析】（1）对应角相等，两三角形相似。

（2）根据相似三角形的性质证明AF•BE=AC•BC=2S；

（3）由（2）的结论，求出AE 、EF 、FB 的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有以下证明方法：

方法1：将△ACE绕O 顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF，再证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。

方法2：将△ACE和△BCF分别以CE 、CF 所在直线为轴折叠，则AC 、BC 的对应边正好重合与一条线段CG ，连接GE 、GF ，则△FEG是直角三角形。

2. （深圳2005年8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为60º，爬

到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30º，求塔BC 的高度。 【答案】解：作BE⊥AD的延长线于点E ， 设ED= x，

在Rt△BDE中，BE=3DE=x ，

在Rt△ABE中，AE=3BE=3x，

由AE －ED=AD 得：3x －x=10 ， 解之得：x=5。 所以BC=5+10=15。

答：塔BC 的高度为15米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。

【分析】过点B 作BE⊥AD交AD 延长线于点E ，构造两个直角三角形。设DE=x，分别求解可得AD 与DE 的值，再利用BC=AD+DE，即可求出答案。 3. （深圳2007年7分）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60

的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由． 【答案】解：如图，在Rt△ABP中，

AB=24×0.5=12，∠BAP=90－60=30，

AP=

12

=，

BP=

cos 300

易求，∠PCB=∠PBC=30，∴PC= BP= ，

AC= 过点C 作CQ⊥AM于点Q ，则

CQ=

∵63>9，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的判定。

【分析】应用锐角三角函数求出点C 到直线AM 的距离，与9海里比较即可。 4. （深圳2009年6分）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡 顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆 BC 的高度．

【答案】解：延长BC 交AD 于E 点，则CE⊥AD．

在Rt△AEC中，AC ＝10， 由坡比为1

D A

B

1

∴ CE＝AC·sin30°＝10×＝5，

2AE

＝。

在Rt△ABE中，BE

＝11。 ∵ BE＝BC ＋CE ，∴ BC＝BE －CE ＝11-5＝6（米）。 答：旗杆的高度为6米。

D

E

A

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。 【分析】延长BC 交AD 于E 点，则CE⊥AD，要求旗杆BC 的高度，只要求出BE 和CE 的高度即可。解Rt△AEC和Rt△AB即可得出结果。

5. （深圳2010年学业7分）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D 在AB 上． （1）求证：△AOB≌△COD；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分）

【答案】解：（1）证明：∵∠DOB=90°－∠AOD，∠AOC=90°－∠AOD，

∴∠DOB=∠AOC。

∵OC=OD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD（SAS ）。 （2）∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°。

∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，

==。

【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD。

（2）由（1）△AOC≌△BOD，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，则根据

勾股定理

6. （深圳2010年招生8分）阅读下列材料：

正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明出了一道题目：在图一1 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△ABC ，使AB ＝AC

BC

；

小明同学的做法是：由勾股定理，得AB ＝AC

，

BC =AB 、AC 、BC ，从而画出格点△ABC．

（1）请你参考小明同学的做法，在图一2 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△A'B'C'（A' 点位置如图所示）， 使A'B' ＝A'C' ＝5，B'C'

（直接画出图形，不写过程）；

（2）观察△ABC与△A'B'C' 的形状，猜想∠BAC与∠B' A' C' 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】解：（1）格点△A'B'C' 如图（一个即可）：

（2）猜想：∠BAC=∠B' A' C'。证明如下：

∵

BC AB AC AB AC BC

==

==，。∴。 ==A ' B ' A ' C ' B ' C ' A ' B ' A ' C ' B ' C ' ∴△ABC∽△A'B'C'。∴∠BAC=∠B' A' C'。 【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由勾股定理可作图形。

（2）由三边对应成比例的判定可得△ABC∽△A'B'C'，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到∠BAC=∠B' A' C'。