趣味数学实验室

一．3x3魔方解法

在介绍还原法之前，首先说明一下魔方移动的记法。魔方状态图中标有字母“F”的为前面，图后所记载的操作都以这个前面为基准。各个面用以下字母表示：

F ：前面

U ：上面

D ：下面

L ：左面

R ：右面

H ：水平方向的中间层

V ：垂直方向的中间层

魔方操作步骤中，单独写一个字母表示将该面顺时针旋转90度，字母后加一个减号表示将该面逆时针旋转90度，字母后加一个数字2表示将该面旋转180度。H 的情况下，由上向下看来决定顺逆时针方向；V 的情况下，由右向左看来决定顺逆时针方向。例如

U ：将上层顺时针旋转90度

L-：将左面逆时针旋转90度

H2：将水平中间层旋转180度

目录

上层四角还原

下层四角还原

上下层八角还原

上下层边块还原

中层边块还原

上层四角还原

首先我们用最简单的几步使得上层的三个角块归位，暂不必考虑四周的色向位置）。还有一个角块存在五种情况，归位方法如下。

L D L- F- D- F

D L2 D- L2 F L D- L-

L- F- D F

下层四角还原

上层四角归位后，将上层放在下面位置上，作为下层。然后看上层和四周的颜色和图案排列，按照以下的操作使上层四个角块一次归位。共存在七种情况。

R2 U2 R- U2 R2 R- U- F- U F U- F- U F R

R U R- U R U2 R- L- U- L U- L- U2 L

R- U- F- U F R R U R- U- F- U- F

R U- R- U- F- U F

上下层八角还原

要是上层和下层八个角块色向位置全部相同，存在下面五种情况：

当上下二层八个角块色向位置都不对时：按照(1)旋转。

当下层四个角块色向位置不对，上层相邻两个角块色相位置对时：将上层色向位置相同的两个角块放在后面位置上，按照(2)旋转。

当下层四个角块色向位置对，上层相邻两个角块色相位置也对时：将上层色向位置相同的两个角块放在前面位置上，按照(2)旋转后即变成第一种情况。

当下层四个角块色向位置对，上层四个角块色向位置不对时：按照(2)旋转后即变成第二种情况。

当下层相邻两个角块色向位置对，上层相邻两个角块色向位置也对时：将下层色向位置相同的两个角块放在右面位置上，上层色相位置相同的两个角块放在前面位置上，按照(2)旋转之后即变成第二种情况。

(1) R2 F2 R2 (2) R- D F- D2 F D- R

上下层边块还原

按照下图所示操作方法将上下层的边块归位。在上层边块归位时，要注意四周的色向位置。留下一个边块不必马上归位，留作下层边块归位时调整使用。

上层三个边块归位之后，将该层放在下面位置上作为下层，然后将上层的四个边块归位。操作时，为了不破坏下层已经归位的边块，必须将下层留下的一个未归位的边块垂直对着上层要归位的边块的位置。

R- H- R R H R-

F H- F- V- D2 V

F H- F2 H2 F

当上层四个边块全部归位之后，将上层放在下面位置上，作为下层。然后使留下的最后一个边块归位，存在两种情况，按照下图操作。注意，为了便于中层四个边块归位，这个边块我们有意使它色向位置不对。

L H- L2 H- L R- H R2 H R-

中层边块还原

先使中层四个边块归位（暂时不必考虑色向位置），存在三种情况：

当其中一个边块归位（暂时不必考虑色向位置如何），三个边块未归位时：将归位的边块放在左后的位置上，按照(1)旋转。如果一次不行，再将归位的边块放在左后的位置上重复一次。

当四个边块均未归位而斜线对角互相换位时：按(2)旋转。

当四个边块均未归位而直线前后互相换位时：按(3)旋转。

(1) R2 H- R2 (2) V2 H- V2 (3) R2 H2 R2

最后使中层色向位置不对的边块归位，有两种情况：

一块色向位置对

三块色向位置不对 R H- R H- R H- R

一块色相位置不对

三块色相位置对 L H L2 H- L H- L H- L2 H L

这样六面还原完毕。

二．数学魔术

数学猜心魔术

⑴ 让对方随便写一个五位数（五个数字不要都相同的）

⑵ 用这五位数的五个数字再随意组成另外一个五位数

⑶ 用这两个五位数相减（大数减小数）

⑷ 让对方想着得数中的任意一个数字，把得数的其他数字（除了对方想的那个）告诉你

⑸ 表演者只要把对方告诉你的那几个数字一直相加到一位数，然后用9减就可以知道对方想的是什么数了

例：五位数一：57429；五位数二：24957；相减得：32472；

心中记住：7；余下的告诉表演者：3242；

表演者：3＋2＋4＋2＝11；1＋1＝2；9－2＝7（既对方心中记住的那个数]}

三．趣味数学对联

一) 花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋．

这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数．即上述下联．

上联的算式：2×60＋3×7=141，下联的算式：2×70＋1=141．

(二) 三强韩赵魏．九章勾股弦．

上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作．团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对．片刻，人皆摇头，无以对出．他只好自对下联“九章勾股弦”．此联全用“双联”修辞格．”“三强”一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九章，又指我国古代数学名著《九章算术》．该书

首次记载了我国数学家发现的勾股定理．全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合．

(三) 四川一座乡村中学，一对数学教师结合夫妇，在元旦结婚之日，工会赠一副贺联云：

事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完．

(四) 某地一对新人，男的当会计，女的做医生，完婚之日，有人赠贺联一副：

会计合数检验误差重合数；医生开方已知病根再开方，嵌入“合数”、“开方”等数学名词，天衣无缝．

(五) 某市一对数学教师，几经波折，终于结为秦晋之好，同事撰一联相贺，联云：

爱情如几何曲线；幸福似小数循环．

“几何曲线”形象地表述了这对数学教师爱情历经坎坷曲折；“小数循环”是一个无穷无尽的数值，借此祝贺新人的美满幸福，天长地久，实在是神来之笔． 枯燥的数字经文人之手，嵌入对联之中，就会产生意想不到的效果，请欣赏．

1．清代学者朱柏庐在其所著《治家格言》中有副对联言之谆谆： 一粥一饭，当思来处不易；

半丝半缕，恒念物力维艰．

2．济南大明湖有一联： 四面荷花三面柳，一城山色半城湖．

3．青岛崂山钓鱼台有副奇特的数字联: 一蓑一笠一髯翁，一丈长杆一寸钩； 一山一水一明月，一人独钓一海秋；

4．湖北隆中三顾堂悬的一副楹联是： 两表酬三顾；一对足千秋

5．四川眉山县三苏祠有一联： 一门父子三词客；千古文章四大家．

6．清朝郑板桥有一联是： 海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚．

7．清人顾复初有一联： 删繁就简三秋树；领意标新二月花．

四．生活中的数学

在我们生活的周围有很多的数学问题，这些数学问题贯穿于生活的方方面面，现实生活中，数学游戏有很多，比方说小朊友在打扑克时快算二十四、数学填框游戏，就连赵本山的小品中也有很多这样的数学游戏。如“树上七个猴，地上一个猴，一共几个猴。”等等生活中的例子。这些游戏构成了我们生活中亓彩缤纷的画卷。

我们每天早上一起来，首先是对一天的事情进行一下比较简单的计划，一天中要干哪些事情，需要什么时间完成，这一天的预算支出、收入各多少；有了一个初步的打算以后，开始对一天的工作进行实施；一天的工作进行中伴随着各种各样的计算、预算即数学。一天的工作结束后，接下来的是对这一天进行的小结，小结是通过一个一个的数学运算进行的，运算的结果是一个个比较直观的数字。

我们现实生活中，购物、估算、计算时间、确定位置和买卖股票等等都与数学有关。可以说，数学在人们的生活中是无处不在的，数学是日常生活中必不可少的工具。无论人们从事什么职业，都不同程度地会用到数学的知识与技能以及数学的思考方法。特别是随着计算机的普及与发展，这种需要更是与日俱增。

无论是我们日常生活中的天气预报、储蓄、市场调查与预测，还是基因图谱的分析、工程设计、信息编码、质量监测等等，都离不开数学的支持。而且，数学是和语言一样的一种工具，具有国际通用性。可以说，自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂营造的蜂房，它的表面就是由奇妙的数学图形——正六边形构成的，这种蜂房消耗最少的材料和时间；城市里的下水道盖都有是圆形的，你知道这是为什么吗？人行道上，常见到这样的图案，它们分别是同样大小的正方形或正六边形的地砖铺成的，这样形状的地砖能铺成平整无孔隙的地面。这里面竟有一个节约的数学道理在里面呢？再比如，100户人家要安装电话，事实上并不需要100条电话线路，只要允许有一些时间占线，就能大大节约安装成本，这正体现了数理统计的作用。因此，生活与数学是分不开的，生活中有数学，数学是生活的缩影。

在一年要结束的时候，商人在谈论中说我这一年的收入是多少，与去年相比怎么样；农民也在谈论这一年中收入多少粮食；工人也在谈论在这一年的收入与支出是否相当，有多少存款；军人谈论这一年中训练成绩如何，提高了多少成绩；而学生的学习成绩则是对一位教师一年来辛苦工作的衡量标准；单位也在做这样那样的总结。

一年的结束是这样的，下一年的开始同样也要有一个预算；一天、一个月、一个季度、一个阶段人们都在做同样的事情；一个人、一个家庭、一个单位、一个组织、一个国家等等，都在用数学的方法对他们在不同时间、地点、空间、人员、事务等等上做一定的运算后，得出一个直观的数字标示量，作为一个目标、结论、预算、程度等等。

总之，生活中的数学可以说是无处不在，数学严重影响着我们的生活，是生活中的重要条件。因此，我们不可忽视生活中的数学，要重视它并最大限度地开发、利用它。

五．高中趣味数学题

--------如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有

A 。1个 B 。2个 C 。50个 D 。100个

----答案选D 。100个

用A1-A100来表示这100人，

其中身高：A1>A2>A3......>A100

而体重满足：A1

则每人都满足身高比别人高的人数和体重比别人重的人数之和为99人。

所以答案选D 。100个

数学谬证

1=2？史上最经典的“证明”

设 a = b ，则 a·b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有 b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。约掉 (a - b) 有 b = a + b 。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2 。

这可能是有史以来最经典的谬证了。

这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。

无穷级数的力量 (1)

小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

一方面，

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …

= 0 + 0 + 0 + …

= 0

另一方面，

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1

这岂不是说明 0 = 1 吗？

后来我又知道了，这个式子还可以等于 1/2 。不妨设 S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … ， 于是有 S = 1 - S ，解得 S = 1/2 。

学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。

无穷级数的力量 (2)

同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令

x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

则有

2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …

于是

2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1 也就是说

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1

平方根的阴谋 (1)

定理：所有数都相等。

证明：取任意两个数 a 和 b ，令 t = a + b 。于是，

a + b = t

(a + b)(a - b) = t(a - b)

a^2 - b^2 = t·a - t·b

a^2 - t·a = b^2 - t·b

a^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4

(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2

a - t/2 = b - t/2

a = b

怎么回事儿？

问题出在倒数第二行。

永远记住， x^2 = y^2 并不能推出 x = y ，只能推出 x = ±y 。

平方根的阴谋 (2)

1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1

嗯？

只有 x 、 y 都是正数时， √x·y = √x·√y 才是成立的。

-1 的平方根有两个， i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ，它正好等于 1 。

复数才是王道

考虑方程

x^2 + x + 1 = 0

移项有

x^2 = - x - 1

等式两边同时除以 x ，有

x = - 1 - 1/x

把上式代入原式中，有

x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0

即

x^2 - 1/x = 0

即

x^3 = 1

也就是说 x = 1。

把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 。也就是说， 3 = 0 ，嘿嘿！

其实， x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。

另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一个解。 x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解。因此， x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。

注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也

说明了引入复数概念的必要性吧。

颇具喜剧色彩的错误

众所周知，

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2

让我们用 n - 1 去替换 n ，可得

1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2

等式两边同时加 1 ，得：

1 + 2 + 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1

也就是

n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1

展开后有

n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1

可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。

也就是说⋯⋯ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 仅在 n = 1 时才成立！

这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是

1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1

1 块钱等于 1 分钱？

我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：

1 元 = 100 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分

用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上， “100 分 = (10 分)^2” 是不成立的， “10 分” 的平方应该是 “100 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一样。

六．1=2？史上最经典的“证明”

设 a = b ，则 a·b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有 b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。约掉 (a - b) 有 b = a + b 。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2 。

这可能是有史以来最经典的谬证了。

这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。

无穷级数的力量 (1)

小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

一方面，

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …

= 0 + 0 + 0 + …

= 0

另一方面，

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1

这岂不是说明 0 = 1 吗？

后来我又知道了，这个式子还可以等于 1/2 。不妨设 S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … ， 于是有 S = 1 - S ，解得 S = 1/2 。

学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。

无穷级数的力量 (2)

同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令

x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

则有

2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …

于是

2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1 也就是说

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1

平方根的阴谋 (1)

定理：所有数都相等。

证明：取任意两个数 a 和 b ，令 t = a + b 。于是，

a + b = t

(a + b)(a - b) = t(a - b)

a^2 - b^2 = t·a - t·b

a^2 - t·a = b^2 - t·b

a^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4

(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2

a - t/2 = b - t/2

a = b

怎么回事儿？

问题出在倒数第二行。

永远记住， x^2 = y^2 并不能推出 x = y ，只能推出 x = ±y 。

平方根的阴谋 (2)

1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1

嗯？

只有 x 、 y 都是正数时， √x·y = √x·√y 才是成立的。

-1 的平方根有两个， i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ，它正好等于 1 。

复数才是王道

考虑方程

x^2 + x + 1 = 0

移项有

x^2 = - x - 1

等式两边同时除以 x ，有

x = - 1 - 1/x

把上式代入原式中，有

x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0

即

x^2 - 1/x = 0

即

x^3 = 1 也就是说 x = 1。

把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 。也就是说， 3 = 0 ，嘿嘿！

其实， x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解。在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解。

另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一个解。 x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解。因此， x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。

注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。

颇具喜剧色彩的错误 众所周知，

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 让我们用 n - 1 去替换 n ，可得 1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2 等式两边同时加 1 ，得：

1 + 2 + 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1 也就是

n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1

展开后有

n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1 可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。

也就是说⋯⋯ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 仅在 n = 1 时才成立！

这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是

1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1

1 块钱等于 1 分钱？

我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：

1 元 = 100 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分

用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。事实上， “100 分 = (10 分)^2” 是不成立的， “10 分” 的平方应该是 “100 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一样。

六．趣味数字谜语

数学谜语

七．数学诗歌

一别之后，二地相思。只说是三四月，又谁知五六年。七弦琴无心弹，八行书不可传，九连环从中折断，十里长亭望眼穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨。

数学是科学的大门与钥匙.

伽利略

一种科学只有在成功运用数学时, 才算达到完善的地步.

马克思

对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富来源.

傅立叶

我们欣赏数学, 我们需要数学.

陈省身

要想获得真理和知识, 惟有两件武器, 那就是清晰的直觉和严格的演绎

笛卡儿