[二 用数学归纳法证明不等式举例]教学案1
《用数学归纳法证明不等式举例》教学案
教学目标
1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，
2、理解数学归纳法的操作步骤，
3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重、难点
重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.
难点：理解经典不等式的证明思路.
教学过程
一、复习准备：
1222n 2n (n +1) ++ +=, n ∈N *. 1. 求证：1⋅33⋅5(2n -1)(2n +1) 2(2n +1)
2. 求证：1+1111+++ +n ≤n , n ∈N *. 2342-1
二、讲授新课：
1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法.
2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P (n ) ．
(1) 证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P (n 0) 正确；
(2) 假设n =k (k ∈N 且k ≥n 0) 时结论正确，证明当n =k +1时，结论也正确，即由P (k ) 正确推出P (k +1) 正确，
根据(1) ，(2) ，就可以判定命题P (n ) 对于从n 0开始的所有自然数n 都正确． 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
(1) 在从n =k 到n =k +1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端) 项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；
(2) 瞄准当n =k +1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；
(3) 活用起点的位置；
(4) 有的试题需要先作等价变换.
三、应用举例：
例1 观察下面两个数列，从第几项起a n 始终小于b n ？证明你的结论.
{a
{b n =n 2}:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ; =2n }:2,4,8,16,32,64,128,256,512, .
n
11巩固练习1：已知数列{a n }的各项为正数，S n 为前n 项和，且S n =(a n +) ，归纳出a 2a n
n 的公式并证明你的结论.
解题要点提示：试值n =1，2，3，4， → 猜想a n → 数学归纳法证明
例2 证明不等式|sin n θ|≤n |sin θ|(n ∈N *) .
例3：证明贝努利不等式. (1+x ) n >1+nx (x >-1, x ≠0, n ∈N , n >1)
*巩固练习2：试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1，n ∈N 且a 、
b 、c 互不相等时，均有a n +c n ＞2b n .
注意：使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由n =k 时命题成立推出n =k +1时命题成立这一步. 为了完成证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识，如前面学习的证明不等式的各种方法和一些重要的不等式，注意发现或设法创设归纳假设与n =k +1时命题之间的联系，充分利用这样的联系来证明n =k +1时命题成立. 例4 证明：如果n (n 为正数) 个正数a 1, a 2, , a n 的乘积a 1a 2 a n =1，那么它们的和a 1+a 2+ +a n ≥n .
四、巩固练习：
111tan(2n θ) 1. 用数学归纳法证明：(1+)(1+)....(1+) =. cos 2θcos 4θcos 2n θtan θ
2. 已知n ∈N , n ≥2,
五、课堂小结：
1. 应用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式；
2. 技巧：凑配、放缩. 12111++ +