复变函数论第四版第三章练习
复变函数论 第三章 练习题 2014-04-14 复积分是研究解析函数的一个重要工具. 柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要，是复变函数论的基本定理和基本公式。由柯西定理可导出解析函数的一系列重要结果，诸如柯西积分公式、柯西不等式、唯一性定理和最大模原理等。特别地，有解析函数有连续导数以及任意阶导数. 直到20世纪中期，这两个结果才分别由R.L.Plunkett(Bull.Amer.Math.Soc.65, 1959) 及E.H.Conell and P.Porcelli(Bull.Amer.Math.Soc.67,1961)不用柯西定理，而用拓扑方法做出证明。作为柯西积分定理的推广，则由应用广泛的留数基本定理，代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论，应用它还可以计算一些较复杂的实定积分。
一、柯西积分定理的理解
1. 设函数f (z ) 在区域D 内解析，那么这个函数沿D 内任意闭路线积分是否都为零？为什么？
2. 对什么样的周线C , 有⎰C 1dz =0. 2z +z +1
3. 设函数f (z ) 在0
4. 设函数f (z ) 在单连通区域D 内解析，且在D 内的闭曲线C 上满足|f (z ) -1|
二、利用柯西定理、柯西公式、不定积分（原函数）和路径无关性等计算积分
1. 计算下列积分：
（1）⎰
⎰C dz , C :|z |=3； 2z (z -1) sin z , C :|z -2i |=2；（3）⎰(|z |+z ), C :|z |=1 ； C z 2+9（2）
(4) C ⎰C (|z |-e z sin z ) dz , C :|z |=a >0;
*（5）dz ⎰C (z -2)(z +4)(z -6) (z +100) , C :|z |=99。
2. 沿从1到-
1的如下路径求⎰. （1）上半单位圆周；（2）下半单位圆周，
取沿负实轴割开平面的主值支。
3. 设函数f (z ) 在|z |
11dz [2±(z +)]f (z ) 之值. 2πi ⎰|z |=1z z
1z +a dz 1(|a |
0R 2-|a |2d θ=1. i θ2|Re -a |
三、柯西定理、柯西公式、积分估值、柯西不等式等定理在命题证明中的应用
1. 设f(z)在周线C 所围的区域D 上解析，在D+C上连续，则对任意z ∈D , 有|f (z ) |≤M , 其中M =max |f (z ) |，从而求|e z |在|z |≤1上的最大值。 z ∈C
2. 设a,b 为实数，s =σ+it (σ>0), 证明不等式|e bs -e as |≤|s ||b -a |e max{a , b }σ.
3. 若函数f(z)在区域D 内解析，C 为D 内以a,b 为端点的直线段。试证：存在数λ,|λ|≤1, 与ξ∈C 使得f (a ) -f (b ) =λ(b -a ) f '(ξ).
4. 如果在|z
1-z || . 证：试
1|f (n ) (0)|≤(n +1)!(1+) n
5. 如果函数f(z)在|z |≤1内解析，在|z |=1上函数值f (e i θ=) a -c o θ+s i θs i n ≤, θ≤0πa >2试求这个函数, 1. , 2a -2a c θo +s 1
6*.（含无穷远点的柯西积分公式）设函数f(z)在简单闭曲线C 的外部区域D 解析，在D+C上连续，且有lim f (z ) =A . 证明：z →∞⎧-f (z ) +A , z ∈D =E (C ), 1f (ζ) dz =⎨A , z ∈I (C ) 2πi ⎰C ζ-z ⎩
22四、关于调和函数和解析函数 1. 设w =u +iv 是z 的解析函数，且u =(x -y )(x +4xy +y ). 求v.
px 2. 设u (x , y ) =e sin y , 而f (z ) =u +iv 为一解析函数，试求p 的值与f(z).
3. 确定形如u =f () 的所有调和函数。
4. 若调和函数u (x , y ) 的自变量替换成x =x (ξ, η), y =y (ξ, η) 其中y (ξ, η) 为x =x (ξ, η) 的共轭调和函数，试证明替换后的函数仍然是调和函数。 y x