高考圆锥曲线减少计算量的硬解定理
硬解定理的使用
1、 本质：硬解定理即圆锥曲线联立方程之后，得到的通解。 注意事项：利用 A、B、a、b 联立后按照固定格式消元的方程，尽量不要化简。因为硬 解定理得到的联立方程是固定的，如果化简(如同等号两边除以2)。 2、 好处：有时候时间不够，可以直接算出|x1-x2|之类的数据。 计算速度慢，计算容易出错的同学可以尝试这个方法。 【使用方法(百度文库版)】
x2 y2 3、若曲线 + = 1 与直线 Ax+By+C=0相交于 E、F 两点,则: m n
(1)其中
;
2
∆'为一与∆同号的值.
2 (2)应用该定理于椭圆 x 2 + y 2 = 1 时,应将 a b
代入. 代入,同时 不应为零,即 ε 不
(3)应用于双曲线 为零.
x2 y2 = 1 时,应将 a 2 b2
(4)求解 y1+y2与 y1*y2只须将 A 与 B 的值互换且 m 与 n 的值互换.可知 ε 与∆'的值不会因 此而改变. 【个人方法(以及推导)】
2 2 4、对于一个常见方程联立，如椭圆 x + y = 1 与直线方程 Ax + Bx + C = 0 ，常有以下过程： a 2 b2
令y=-
A C x - = kx + m B B
ì x2 y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ï 2 + 2 =1 ì ï( a k + b ) x + 2a kmx + (a m - a b ) = 0 Þí b ía 2 ï î视作a ' x + b ' x + c ' = 0 ï y = kx + m î \ D =(b ')2 - 4a ' c ' = 4a 4 k 2 m 2 - 4(a 2m 2 - a 2b 2 )( a 2k 2 + b 2 ) = 4[a 4k 2m 2 - a 4 k 2 m 2 - a 2b2m + a 4b2 k 2 + a 2b4 ] = 4a 2b 2 [k 2 a 2 + b 2 - m 2 ] = 4a 2b 2 [ = 4a 2b 2 [ A2a 2 + B 2b 2 - C 2 ] × C2 A2 2 2 b a + ] B2 B2
1 (一般而言系数B一般为1，所以视为D =4a 2b2 [ A2 a 2 + B 2b 2 - C 2 ]) 2 B (一般即把式子化成消元式，D =4a 2b 2 [k 2a 2 + b 2 - m 2 ]) -b '+ (b ') 2 - 4a ' c ' -b ' - (b ') 2 - 4a ' c ' 4a 2b2 [ A2 a 2 + B 2b 2 - C 2 ] D D | x1 - x2 |=| |= = = × 2a ' 2a ' A2a 2 + B 2b 2 a ' a 2k 2 + b2 B |y1 - y2 |= k × | x1 - x2 | A2 1 + 1 × 4a 2 b 2 [ k 2 a 2 + b 2 - m 2 ] × 2 2 2 k +1× D B ∴截弦长|AB | = k 2 + 1× | x1 - x2 | = 2 2 = B 2 A a k + b2 a 2 2 + b2 B = A2 + B 2 × 4a 2b2 [ A2a 2 + B 2b2 - C 2 ] = A2 a 2 + B 2b2 A2 + B 2 × D '' a ''
有时候由于同除公因数等原因，算出的a ' ¹ a ''，D ' ¹ D '' 若要算弦长，分母分子要么全部将A、a B、b老实代入公式，要么老实用算得的结果进行计算。
【使用小结】 1、如果是“求截弦长”问题，直接利用公式即可。(但是联立方程，列出两个和两根乘积的 过程是算分的，所以可以计算靠公式，得基本分则靠老实联立) 2、其他统一化成 y = kx + m 或者 x = mx + n 的形式。如果题目给的是 4 y = 3 x + m ，则要 转化成 y =
3 m 1 x + 的形式。这样虽然不够“系数全为整数”直观，但是避免了“ ”带 4 4 B
2 2 2 2 2 2 2 2
来的干扰。如果觉得容易出错的话，直接全部题型都按照 2 进行计算即可。 3、对于双曲线，把所有 A a + B b 改为 A a - B b 即可。 例如：
ì x2 y2 = 1 ì25 9 ï + Þí 2 í 25 9 k 12 î ï î y = kx + m
-1 m2 1 = 4 × 25 × 9 × [25k 2 + 9 - m 2 ] 2 B
\ D = 4a 2b 2 [ A2 a 2 + B 2b 2 - C 2 ] ×
4a 2b2 [ A2 a 2 + B 2b 2 - C 2 ] 1 4 × 25 × 9 × [25k 2 + 9 - m 2 ] | x1 - x2 |= × = A2 a 2 + B 2b2 B 25k 2 + 9 A2 + B 2 × 4a 2b2 [ A2 a 2 + B 2b 2 - C 2 ] ∴截弦长|AB | = A2a 2 + B 2b 2 25 + 9 × 4 × 25 × 9 × [25k 2 + 9 - m 2 ] = 25k 2 + 9
注意:如果题目给的是 4 y = 3 x + m ，则要转化成 y = 不然 | x1 - x2 | 结果可能会忘记乘以
3 m x + 的形式。 4 4
1 。 4