三角函数恒等变换专题复习
三角函数恒等变换专题复习
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等。
222222
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin x+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
2
α+β
2
－
α-β
2
等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asin θ+bcosθ=a +b sin(θ+ϕ) ，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=
2
2
b
确定。 a
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为tan x =
sin x
=2，又sin 2x ＋cos 2x =1， cos x
⎧sin x =2cos x
，联立得⎨2 2
⎩sin x +cos x =1
⎧2⎧25⎪sin x =⎪sin x =-⎪5⎪5 解这个方程组得⎨, ⎨.
⎪5⎪
cos x =cos x =-⎪5⎪5⎩⎩2．求
tan(-120 ) cos(210 ) sin(-480 ) tan(-690) sin(-150) cos(330)
的值．
解：原式
tan(-120 +180 ) cos(180 +30 ) sin(-360 -120 )
= o
tan(-720+30) sin(-150) cos(360-30)
tan 60 (-cos 30 )(-sin 120 ) ==-33.
tan 30 (-sin 150 ) cos 30
3．若
sin x -cos x
=2, ，求sin x cos x 的值．
sin x +cos x
sin x -cos x
=2,
sin x +cos x
解：法一：因为
所以sin x －cos x =2(sinx ＋cos x ) ，
得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ⎧3⎧3sin x =sin x =-⎪⎪⎪⎪， ⎨⎨⎪⎪
cos x =-cos x =⎪⎪⎩⎩
3
⋅ 10sin x -cos x
=2, 法二：因为
sin x +cos x
所以sin x cos x =-
所以sin x －cos x =2(sinx ＋cos x ) ，
所以(sinx －cos x ) 2=4(sinx ＋cos x ) 2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有sin x cos x =-
3⋅ 10
4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan2x －sin 2x ．
证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan2x －(tan2x ·cos 2x )=tan2x (1－cos 2x )=tan2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan2x ·sin 2x =tan2x (1－cos 2x )=tan2x －tan 2x ·cos 2x =tan2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数y =2sin(
x π
+) 在区间[0，2π ]上的值域． 26
x πx π7π≤π, ≤+≤, 由正弦函数的图象， 26266
解：因为0≤x ≤2π，所以0≤
x π1
得到+) ∈[-, 1],
262
所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．
(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sinx ＋cos x ) ． 解：(1)y =sin2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos2x ＋cos x ) ＋3，
令t =cosx ，则t ∈[-1, 1],y =-(t 利用二次函数的图象得到y ∈[1,
2
113113
+t ) +3=-(t +) 2+=-(t +) 2+,
2424
13
]. 4
π
2，sin(x +) ，则
4
(2)y ＝2sin x cos x －(sinx ＋cos x )=(sinx ＋cos x ) 2－1－(sinx ＋cos x ) ，令t =sinx ＋cos x =
5
t ∈[-2, 2]则，y =t 2-t -1, 利用二次函数的图象得到y ∈[-, 1+2].
4
7．若函数y =A sin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0) 的图象的一个最高点为(2, 2) ，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0) ，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为(2, 2) ，得到A =2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是个周期，这样求得
14
T π=4，T =16，所以ω=⋅
84
ππ
2sin(x +).
84
ππ
又由2=2⨯2+ϕ) ，得到可以取ϕ=. ∴y =
84
8．已知函数f (x )=cos4x －2sin x cos x －sin 4x ．
π2
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期； (Ⅱ) 若x ∈[0, ],求f (x ) 的最大值、最小值． 数y =
1-sin x
的值域．
3-cos x
解：(Ⅰ) 因为f (x )=cos4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos2x －sin 2x )(cos2x ＋sin 2x ) －sin2x ππ
=(cos2x -sin 2x ) -sin 2x =cos 2x -sin 2x =2-2x ) =-2sin(2x -)
44
所以最小正周期为π．
πππ3ππ3π
(Ⅱ) 若x ∈[0, ]，则(2x -) ∈[-, ]，所以当x =0时，f (x ) 取最大值为-2sin(-) =1; 当x =时，
244448
f (x ) 取最小值为-1． 已知tan θ=
2.
cos θ+sin θ
；（2）sin 2θ-sin θ. cos θ+2cos 2θ的值.
cos θ-sin θsin θ1+
cos θ+sin θcos =1+tan θ=1+2=-3-22； 解：（1）=
sin 1-tan θ1-2cos θ+sin θ1-
cos θ
sin 2θ-sin θcos θ+2cos 2θ22
(2) sin θ-sin θcos θ+2cos θ= 22
sin θ+cos θ
sin 2θsin θ
-+22-2+24-2
=2. ==
sin θ2+13
+1cos 2θ
2，求（1）
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
2． 求函数y =1+sin x +cos x +(sinx +cos x ) 的值域。
解：设t =sin x +cos x =
2
π
x +) ∈[，则原函数可化为
4
13
y =t 2+t +1=(t +) 2+
，因为t ∈[，所以
24
13
当t =
y max =3，当t =-时，y min =，
24
3
3+。 所以，函数的值域为y ∈[4
3．已知函数f (x ) =4sin x +2sin 2x -2，x ∈R 。
（1）求f (x ) 的最小正周期、f (x ) 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数f (x ) 的图像关于直线x =-
2
2
π
对称。 8
2
解：f (x ) =4sin x +2sin 2x -2=2sin x -2(1-2sin x )
=2sin 2x -2cos 2x =x -) (1)所以f (x ) 的最小正周期T =π，因为x ∈R ，
π4
ππ3π
=2k π+，即x =k π+时，f (x
) 最大值为 428
π
(2)证明：欲证明函数f (x ) 的图像关于直线x =-对称，只要证明对任意x ∈R ，有
8
ππf (--x ) =f -(+x 成立，)
88
ππππ
因为f (--x ) =--x ) -]=--2x ) =-2x ，
8842
所以，当2x -
ππππ
+x ) =-+x ) -]=-+2x ) =-2x ， 8842πππ
所以f (--x ) =f (-+x ) 成立，从而函数f (x ) 的图像关于直线x =-对称。
888
132
4． 已知函数y=cos x+sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
22
f (-
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=
1113322
cos x+sinx ·cosx+1= (2cosx －1)+ +（2sinx ·cosx ）+1 24442151ππ5=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin +sin2x·cos )+ 44266441π5=sin(2x+)+ 264
πππ
=+2kπ, （k ∈Z ），即 x=+kπ, （k ∈Z ）。 626
π
所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=+kπ,k ∈Z}
6
所以y 取最大值时，只需2x+
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换： （i ）把函数y=sinx的图像向左平移
ππ
，得到函数y=sin(x+) 的图像； 66
1π
倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+) 的图像； 2611π
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+) 的
226
（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的图像；
（iv ）把得到的图像向上平移综上得到y=
15π5
个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
2464
132
cos x+sinxcosx+1的图像。 22