高三文科数学解析几何专题 练习及答案
高三文科数学第二轮复习资料
——《解析几何》专题
1．已知动圆过定点(1, 0)，且与直线x =-1相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；
(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于P , Q 两点，且满足O P ⋅O Q =0？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
2．如图, 设F 1、F 2分别为椭圆C ：
32
x a
22
+
y b
22
=1 (a >b >0) 的左、右焦点.
(Ⅰ) 设椭圆C 上的点A (1,) 到F 1、F 2两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和离心率； (Ⅱ) 设点K 是(Ⅰ) 中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程．
22
3．已知圆C: x+y-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的
直线L, 使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆 经过原点? 若存在, 写出直线的方程; 若不存在，说
4．已知圆C ：x 2+y 2=4.
（1）直线l 过点P (1, 2)，且与圆C 交于A 、B
两点，若|AB |=l 的方程;
（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量O Q =O M +O N ，
求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
5．如图，已知圆A 的半径是2，圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6，过动点P 作A 的切线PM （M 为切点），连结PN 使得PM ：
，试建立适当
的坐标系，求动点P
6．已知三点P （5，2）、F 1（－6，0）、F 2（6，0）．
（Ⅰ）求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P 、F 1、F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、F 1' 、F 2' ，求以F 1' 、F 2' 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．
7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低．
8．曲线x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 满足：①关于直线kx -y +4=0对称；②OP ⊥OQ . 求直线PQ 的方程.
9
情况下的两类药片怎样搭配价格最低？
参考答案
1．解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F (1, 0)，过点M 作直线x =-1的垂线，垂足为N ，由题意知：
M F =M N ，
即动点M 到定点F 与定直线x =-1的距离相等，由 抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F (1, 0) 为焦点，x =-1为准线，
∴ 动点R 的轨迹方程为y 2=4x ．
（2）由题可设直线l 的方程为x =k (y -1)(k ≠0) ， ⎧x =k (y -1) 由⎨2得y 2-4ky +4k =0 ⎩y =4x
x =
△=16k 2-16>0，k 1．
设P (x 1, y 1) ，Q (x 2, y 2) ，则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k ．
由O P ⋅O Q =0，即 OP =(x 1, y 1)，OQ =(x 2, y 2)，于是x 1x 2+y 1y 2=0，
即k
2
(y 1-1)(y 2-1)+
y 1y 2=0，(k +1) y 1y 2-k (y 1+y 2) +k =0，
222
22
k =-4或k =0（舍去） 4k (k 2+1) ， -k 4k +k =，解得0
又k =-4
2．解：(Ⅰ) 2a =4，
1a
2
+
94b
2
=1.
a 2=4，b 2=3.
x
2
2
椭圆的方程为
4
2
+
y
3
=1，
因为c =a -b =1. 所以离心率e =
12
22
.
(Ⅱ) 设K F 1的中点为M (x , y ) ，则点K (2x +1, 2y ) .
(2x +1)
4
2
又点K 在椭圆上，则K F 1中点的轨迹方程为
+
(2y ) 3
2
=1.
⎧y =x +b
3．解:设直线L 的斜率为１，且L 的方程为y=x+b,则⎨2 消元得方程 2
x +y -2x +4y -4=0⎩
２x +（2b+2）x+b+4b-4=0，设此方程两根为x 1，x 2，则x 1+x2＝－（b+1），y 1+y2= x1+x2+2b=b-1， 则ＡＢ中点为 -
⎝⎛
b +1b -1⎫
, ⎪，又弦长
为22⎭
22
1-x 2＝
，由题意可列式
⎛
⎛b +1⎫⎛b -1⎫ ⎪+ ⎪＝
⎝2⎭⎝2⎭
⎝
2
2解得b=1或b=-9，经检验b=-9不合题意．所以所求直线2⎪⎭
2
方程为y=x+1．
l 与圆的两个交点坐标为1, 3和1, -3，4．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x =1，
()()
其距离为23，满足题意
②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y -2=k (x -1)，即kx -y -k +2=0 设圆心到此直线的距离为d ，则23=24-d ∴1=
|-k +2|k
2
2
，得d =1
，k =
34
，
+1
故所求直线方程为3x -4y +5=0 综上所述，所求直线为3x -4y +5=0或x =1
（Ⅱ）设点M 的坐标为(x 0, y 0)，Q 点坐标为(x , y )
则N 点坐标是(0, y 0)
∵O Q =O M +O N ，
∴(x , y )=(x 0, 2y 0) 即x 0=x ，
20
20
y 0=
y 2
又∵x +y =4，∴x +
2
y
2
4
=4
由已知，直线m //ox轴，所以，y ≠0，
y
2
∴Q 点的轨迹方程是
16
+
x
2
4
=1(y ≠0) ，
轨迹是焦点坐标为F 1(0,-F 2(0,，长轴为8的椭圆，并去掉(±2, 0) 两点．
5．解：以AN 所在直线为x 轴，AN 的中垂
线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示， 则A(-4,0),N(4,0),设P （x ，y ）
由
|PM|：，|PM|=|PA| –|MA|得：
222
2|PN |=|PA |-4
22
代入坐标得：2⎡(x -4) 2+y 2⎤=(x +4) 2+y 2-4
⎣⎦整理得：x 2+y 2-24x +20=0
即(x -12) 2+y 2=124 以． 所以动点P 的轨迹是以点(12,0)
为圆心，
6．解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为2a =|PF 1|+|PF 2|=
b =a -c
2
2
2
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) ，其半焦距c =6．
+2++2
2222
=65， ∴a =35，
x
2
+=1；
459
（II ）点P （5，2）、F 1（－6，0）、F 2（6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为： 、F 2' （0，6） P '(2, 5) 、F 1' （0，-6）设所求双曲线的标准方程为2a 1=|P ' F 1' |-|P ' F 2' |=
2
2
2
=45-36=9，故所求椭圆的标准方程为
y
2
x
22
a 1
-2
y b 1
22
=1(a 1>0, b 1>0) ，由题意知半焦距c 1=6，
2
+2-+2
22
=45， ∴a 1=25，
-=1．
2016
点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力
7．解：该公司调8辆A 型车，成本最低．
8．解： 圆上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称，
∴直线kx -y +4=0经过圆心（
-12
，3），即有k （⋅-
12
b 1=c 1-a 1=36-20=16，故所求双曲线的标准方程为
y
2
x
2
）-3+4=0，∴k =2，
设直线PQ 方程为y =-
12
x +t ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
1⎧
y =-x +t ，52⎪2
由⎨消y 得x -（4-t ）x +t -6t +3=0. 2
4⎪x 2+y 2+x -6y +3=0，
⎩
（44-t ）（4t -6t +3）
∴x 1+x 2=，x 1x 2=，
55 OP ⊥OQ ，∴
12
2
y 1x 1
⋅
y 2x 2
=-1即x 1x 2+y 1y 2=0.
12
12
12
y 1=-x 1+t ，y 2=-x 2+t ，∴x 1x 2+（-x 1+t ）（-x 2+t ）=0
即
54
x 1x 2-
12
t （x 1+x 2）+t
2
5（4t -6t +3）1（44-t ）2
=0，∴⋅-t +t =0，
4525
32或t =
5412
2
化简得8t 2-22t +15=0，∴t =
∴直线PQ 方程为y =-
12x +
32
x +
54
即x +2y -3=0或2x +4y -5=0.
或y =-
9．解：设A 类药x 片，B 类药y 片，
⎧2x +y ≥12, ⎪
5x +7y ≥70, ⎪⎪
由题意⎨x +6y ≥28, ∴x 、y 满足的可行域如图
⎪x ≥0且x ∈N ，⎪⎪⎩y ≥0且y ∈N ，
两类药片的最小总数z =x +y
由图象可知，最小总数应在B 点附近可行域内的整点处取得. 14⎧
x =, ⎪⎧2x +y =12, 1480⎪9⇒⇒B (, ) ⎨⎨
99⎩5x +7y =70, ⎪y =80,
⎪9⎩
在B 点附近可行域内的整点有C （1，10），D （2，9），E （3，8），F （4，8）.
∴两类药片的最小总数是11片.
设在最小总数情况下的两类药片总价格w =
∴w =
x 10
+y 5=x 10
+11-x 5
=22-x 10
x 10
+y 5
， x +y =11(x =1, 2, 3)
1910元，
，∴当x =3时有最小值
即用A 类3片B 类8片可使价格最低.