2008年福建省高一数学竞赛试题
2008年福建省高一数学竞赛试题
（考试时间：5月18日上午8：30—11：00）
一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）
1、已知集合A ={x ||x -a |0}，若A ⋃B =R ，则实数的取值范围是（ ）
（A ）(-∞,1) ⋃(5,+∞) （B ）(-∞,1]⋃[5,+∞) （C ）（1，5） （D ）[1，5]
2、下列四个数中最大的一个数是（ ）
（A ）(ln2) 2 （B ）ln(ln2) （C
） （D ）ln 2
3、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（ ）
（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°
4、若不等式x +ax +1≥0对一切x ∈[2,3]恒成立，则a 的最小值为（ ）
（A ）– 2 （B ）0 （C ）-10
32 （D ）-5
2
5、两条直角边长分别是整数a 和b （其中b
（A ）20个 （B ）21个 （C ）22个 （D ）43个
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
6、若关于x 的不等式|x +2ax +3a |≤2恰有唯一的解，则实数a 的值是
7
、已知函数f (x ) =log a bx ) （a >0且a ≠1），给出下列四个命题：
（1）当且仅当b =0时，f (x ) 为R 上的偶函数；
（2）当a =1
2, b =-1时，f (x ) 为R 上的减函数； 2
（3）当a >1时，f (x ) 为R 上的增函数；
（4）若f (x ) 为R 上的递增的奇函数，则01, b =1。 其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）
8、已知定义在(0,+∞) 上的函数f (x ) 满足：对一切正数x 均有f (3x ) =3f (x ) 成立，
且当1≤x
9、设点A 、B 、C 是函数y =x 2图像上三个不同的点，满足AB 与x 轴平行，△ABC 是面积为100的直角三角形，则点C 的纵坐标为 。
10、一个棱长为a 的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 。
11、设x ，y 为非负整数，使得x +2y 是5的倍数，x +y 是3的倍数，且2x +y ≥99，则7x +5y 的最小值为 。
a 12
a 112、正整数a 1≤a 2≤ ≤a 12中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则
小值是 。
三、解答题（共5小题，每小题12分，满分60分） 的最
13、已知圆C 是正方形DEFG 的外接圆（D 、E 、F 、G 按逆时针方向排列），其中E （2，
1）、F （1，2）。
（1）求圆C 的方程；
（2）若直线l 与圆C 相切，且交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0，b ）。
① 求证：(a -2)(b -2) =2；
② 当a >2, b >2时，求△AOB 面积的最小值。
14、已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足下列三个条件：
（1）当x >0时，f (x ) >0；
（2）f (1)=2；
（3）对任意x 1, x 2∈R 都有f (x 1+x 2) =f (x 1) +f (x 2) 。
设集合A ={(x , y ) |f (3x 2) +f (4y 2) ≤24}，B ={(x , y ) |f (x ) -f (ay ) +f (3)=0}。若集合A 与B 的交集非空，求实数a 的取值范围。
15、如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是边AB 、AC 上的点，且使得∠APC =∠AQB 。分别过点P 、Q 作AB 、AC 的垂线，两垂线交于E 点，且PE 、QE 分别与BQ 、CP 交于S 、R 。
（1）证明：AE ⊥BC ；
（2）证明：SB // BC。
16、已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图像过点（– 1，– 2），且对任意实数x ，不等式6x ≤f (x ) ≤3x 2+3恒成立。
（1）求f (x ) 的解析式；
（2）若a n >0，且a n +n +4=f (n )(n =1, 2, , n ) ，
求证：
17、设S ={1,2, 3, , n }（n 为正整数），若S 的任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n 的最大值。
1a 1+1a 2+ +1a n >121) 。 22