地心坐标系与站心坐标系中的速度转换及误差传播

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第25卷第3期2005年8月

大地测量与地球动力学

J O U R N A LO FG E O D E S Y A N D G E O D Y N AM I C S

V o l . 25, N o . 3, 2005u . A g

() 1671-5942200503-0013-06 文章编号:

地心坐标系与站心坐标系中的速度转换及误差传播

) ) ) 211

伍吉仓1, 邓康伟 陈永奇

*

(

) 香港理工大学土地测量与地理资讯学系, 香港1

) 同济大学测量与国土信息工程系, 上海 2200092

)

摘 要 详细推导了由地心坐标系中到测站坐标系中的速度转换公式及误差传播公式, 并且计算了931个G P S

测站点在球面测站坐标系与椭球面测站坐标系中速度分量之间的差别。结果表明, 测站高度对速度归算影响的相对变化量在1对于厘米级的速度分量而言, 可以忽略不计) , 球面站心坐标系和椭球面站心坐标系0-4～10-3量级(下的速度分量差别主要表现在测站速度的北分量上, 可以忽略不计。但是, 对于垂直速度通常为10-6～10-5量级, 分量较大的测站, 两者的差别比较明显。

关键词 地心坐标系 球面站心坐标系 椭球面站心坐标系 速度 误差传播中图分类号:3 文献标识码:A P 226+.

V E L O C I T YT R A N S F O R M A T I O NA N DE R R O RP R O P A G A T I O N

B E T W E E NG E O C E N T R I CC O O R D I N A T ES Y S T E M A N D

S I T E -C E N T R I CC O O R D I N A T ES Y S T E M

1, 2) 1) 1)

W u J i c a n n dC h e nY o n i C o n r a dT a n g , g q g a

) 1D e a r t m e n t o a n dS u r v e i n n dG e o -I n o r m a t i c s , T h eH o n o n o l t e c h n i c p f L y g a f g K g P y n i v e r s i t o n o n U y , H g K g ) 2D e a r t m e n t o u r v e i n n dG e o -I n o r m a t i c s , T o n i U n i v e r s i t S h a n h a i 00092 2p f S y g a f g j y , g , A b s t r a c t nt h i s p a e r t h ee u a t i o n so f t h ev e l o c i t r a n s f o r m a t i o na n de r r o r p r o a a t i o n sb e t w e e n I p q y t p g t h e g e o c e n t r i c c o o r d i n a t e s s t e ma n d s i t e -c e n t r i c c o o r d i n a t e s s t e ma r e g i v e n i nd e t a i l . T h e s e e u a t i o n s a r e y y q a l i e d t o t r a n s f o r mv e l o c i t i e s o f 931G P S s t a t i o n s i nC h i n a b e t w e e n t h e s e t w o s s t e m s. T h e n u m e r i c a l r e -p p y

-4

’-s u l t s s h o wt h a t t h e e f f e c t o f s t a t i o n s a l t i t u d e o n t h e v e l o c i t t r a n s f o r m a t i o n i s i n a r e l a t i v e s c a l e o f 10y 10-3, t h e a nb e i n o r e d . T h e v e l o c i t i f f e r e n c e b e t w e e n s h e r i c a l s i t e -c e n t r i c c o o r d i n a t e s s t e ma n d e l -y c g y d p y

-5-6

, -10a n d c a n l i s o i d a l o n e p r e s e n t s i t s e l fm a i n l i n t h e n o r t h c o m o n e n t i t i s g e n e r a l l i n a s c a l e o f 10p y p y , , b e i n o r e d .H o w e v e r f o r t h o s es t a t i o n sw i t hl a r e rv e r t i c a lm o v e m e n t s t h ed i f f e r e n c eb e t w e e ns h e r e g g p a n de l l i s o i do n t h e v e l o c i t r a n s f o r m a t i o n i s s i n i f i c a n t . p y t g

:) , K e o r d s e o c e n t r i c c o o r d i n a t es s t e m , s i t e -c e n t r i c c o o r d i n a t es s t e m (s h e r e s i t e -c e n t r i cc o o r d i n a t e g y y p y w

) , , s s t e m (e l l i s o i d v e l o c i t e r r o r p r o a a t i o n y p y p g

2004-10-28*收稿日期:

基金项目:中国香港特别行政区研究基金委员会项目(代码:) ; 中国科学院测量与地球物理研究所动力大地测量开放实验室项A. 34. 37. P F 70

目

作者简介:伍吉仓, 教授, 主要从事大地测量数据处理和地壳形变物理机制反演理论和方法研究

转载

14

大地测量与地球动力学

25卷

1 引言

G P S 技术在国内外已经广泛地应用于板块运动和地壳形变监测, 如美国的南加州、日本、中国的

1～15]青藏和华北[等地区。一般而言, 通过多期G P S

由地心坐标计算球坐标公式为:

2

r =2+Y 2+Z

) r c s i n φ=a r

) (1

观测结果平差可以得到各期观测站在地固坐标框架(如I ) 中的地心坐标及精度。如果再假设T R F 2000测点运动是匀速的, 则两期的点位变化量除以两期观测的时间间隔就可以得到测点在地心坐标系中的

3～15]

。但在分析问题时, 往往需要速度矢量及精度[

) r c t a n λ=a

X

一种近似由地心坐标计算大地坐标的方法

16]为[:

1

B =a r c t a n 23

e a c o s θp -1' 23

知道测点在测站坐标系中的速度分量和精度, 即常说的测站北方向和东方向的速度。为了得到统一的速度场, 一般要把测站速度归算到统一的球面或椭球面上。由于测站的高度不同, 或者选取的归算面不同, 归算后的速度将会有所变化。

本文详细推导了由地心坐标系中的速度到测站坐标系中的速度转换公式及误差传播公式, 并且通过数值计算讨论测站高程和归算面选取对归算速度的影响。首先给出地心坐标、球坐标及大地坐标之间的转换关系, 接着推导地心坐标系与测站坐标系中的速度转换, 在此基础上讨论测站高程和投影面对速度归算的影响。最后把得到的公式运用于我国境内931个G P S 测站点测站速度的归算, 得到一些有益的结论。

地心坐标、

球坐标及大地坐标之间的关系

如图1所示, 地心坐标用(X , Y , Z ) 表示, 球坐标用(r , φ,

λ) 表示, 大地坐标用(B , L , H ) 表示。图1 地心坐标、球坐标和大地坐标

F i g . 1 G e o c e n t r i c , s p h e r ea n d g e o d e t i cc o o r d i n a t es y

s -t e m s

L =a r c t a n X (2

) H =c o s B -N

式中,

p =2+Y 21=a r c t a n p b (3) 2N =2c o s 2

B +b 2s i n 2

B , b 为参考椭球的长半轴和短半轴, e , e ' 为参考椭球的第一和第二偏心率, N 为卯酉圈曲率半径。

地心坐标系与测站坐标系中的速度

转换

假定通过两期G P S 观测求出了各个测站点在T R F 框架中的坐标和速度,

现在需要求出测站坐标系中的北方向和东方向的速度。由于测站坐标系是以所在处的水准面为基础的, 所以严格来说必须知道测站点的垂线方向, 这使得问题变得复杂。解决此问题的方法有两个:一是把测站点归算到以地球平均半径为半径的球面上, 二是把测站点归算到平均椭球体上, 然后再以球面和椭球面的法线来建立“测站坐标系”, 用上述方法建立的测站坐标系分别称之为球面测站坐标系和椭球面测站坐标系。

. 1 球面测站坐标系中的速度

由于坐标平移不会影响速度矢量的分量, 这里我们仅考虑坐标轴旋转。地心坐标系先绕Z 轴顺时针转λ角, 再绕新的Y 轴逆时针转动90°-φ角,

再将X 轴反向,

就得到球面测站坐标系。即:. N X

. E =/1R Y (90°-φ) R Z (

λY () 4

U Z ┘

另一方面, 我们要求水平速度要归算到平均半径的球面上, 所以测站北、东速度分量还要乘以一个比例

a 3I 23

第3期

伍吉仓等:地心坐标系与站心坐标系中的速度转换及误差传播

15

系数, 即:

. N -() =5r -E -. E

是测站点的球坐标, 可以按式上两式中, (r , λ) φ,

[][]

-N

L s i n B o s -c

-s i n L -s i n L s i n B c o s B X c o s L 0Y

() 11

L c o s B s i n L c o s B s i n B o s Z c 这里k k M 是测站点对应椭球面上点处的卯酉圈N , 半径R N 、子午圈半径R M 与测站处的相似椭球面的卯酉圈半径R 子午圈半径R ' N 、' M 之比值。设a 、b 为平均椭球的长、短半轴, 又设测站的大地高为H , 则在测站处的相似椭球面的长、短半轴分别是:a α

17]和α其中[:b ,

() , 通过地心坐标计算得到; -E , -N , -U 是球面测1

站坐标系中的东分量、北分量、和径向分量的速度;

-X , -Y , -Z 是测站坐标系中站点的3个速度分量; R 是地球的平均半径, 取63R X , R R 71k m ; Y , Z 是绕X 轴, Y 轴和Z 轴旋转对应的旋转矩阵, /1是将X 轴反向的转换矩阵, 这4个量分别定义如下:R α) =100

0c o s αs i n α

X ((6) 0-s i n αc o s αc o s αi n R 0-s α

Y (

α) =010(7) s i n α0c o s αc o s αs i n α0

R Z (α

) =-s i n αc o s α0(8) 001/-1001=

010(9) 001式中α为旋转角度。转动的角度正负规定是:从原点出发面向旋转轴正向观看, 顺时针旋转为正, 逆时针旋转为负。

用式(7) 、(8) 、(9) 、(5) 代入式(4

) 得:N r 00E =·0

U r

0001-c o s λs i n φ-s i n λs i n φc o s φX -s i n λc o s λ

0Y (10) c o s λc o s φs i n λc o s φs i n φ

Z 式(10

) 即为由地心坐标系中的速度分量到球面测站坐标系中速度分量的转换公式。

. 2 椭球面测站坐标系中的速度

我们选择的是平均椭球体, 椭球体的中心与地心坐标系原点重合, 短对称轴与Z 轴重合。测站点对应于平均椭球体上的坐标相当于我们通常定义的大地坐标, 所以我们可以按照上面相同的方法, 把地心坐标系中的站点速度分量转换成椭球面测站坐标系中的速度分量, 再乘上其比例因子, 就可以从测站高度归算到椭球面高度。即:

N M 00

E =0k N 0·U 001α=1+2c o s 2B +b 2s i n 2

B (12

) 式中, B 为测站点的大地纬度。由于:

R N =

2

(a 2c o s 2B +b 2s i n 2B (213) R M =22

(a 2c o s 2B +b 2s i n 2B (214

) 所以比例因子:

k R N , R M N =R ' N =αk M =R ' M =α

(15) 参考式(12) , 可见对于归化到平均椭球体表面的站心坐标系中的北东向速度而言, 比例因子k N 、k M 与测站的纬度和大地高有关。图2

绘制了大地高为1k m 、2k m 、5k m 和10k m 时比例因子随纬度变化的情况。

图2 速度归算相对变化量与高程和纬度的关系F i g . 2 T h er e l a t i v ec h a n g e so fv e l o c i t y t

r a n s f o r m a t i o n r e l a t e d t o a l t i t u d e a n d l a t i t u d e

图2中的纵坐标为α-1。从图2中可见, 比例因子引起的相对变化量主要取决于站点的高度, 随高度的增加而增大。当站点的高度在1k m 时, 相对变化量约为万分之一; 当站点的高度在10k m 时, 相对变化量约为千分之一。这样对于厘米级大小和毫米级精度的速度而言, 从测站高度归算到椭球面高度所产生的速度变化通常可以忽略不计。对

3

16

大地测量与地球动力学

25卷

于归算到球面的情况, 引起的速度相对变化系数与归算到椭球面的相当, 当r -R =1k 相对变化m 时,

即:是单位矩阵。由于0是正交矩阵, 00T =1, 显然, 根据式(, 如果! G 为对角阵, 并且对角线16) 且! L 上的元素都相等(等精度) , 则! L 也是对角阵, 或者虽然为对角=! G 。但如果! G 不是对角矩阵,

阵, 但对角线上的元数不都相等(速度分量之间有相关性或非等精度) , 则得到的站心坐标系下的方差阵具有非零的非对角元素。

如果在地心坐标系中, 速度的方差阵为对角矩阵, 则:

2

0012

0! G =0σ2

系数为当r -R =1=1. 57×10-4; =0

R 6371相对变化系数为k m 时, ==1. 57×

R 6371

10-3。

4 速度转换中的误差传播

由式() 和式(, 忽略高程归算对速度的影1011) 响, 设在地心坐标系中速度分量的方差阵为! G , 而测站坐标系中的速度分量的方差阵为! L , 则:

() 18

0! L =0! G

式中:

-c o s L s i n B 0=-s i n L

o s L c o s B c

T

() 16

-s i n L s i n B c o s B c o s L 0s i n L c o s B

s i n B 2

00σ3根据式() , 导出在测站坐标系下速度分量的16方差阵为:

() 17

[**************]

s i n B c o s L s i n B s i n L c o s B 0. 5s i n B s i n 2L (0. 5s i n 2B (s i n L c o s L σσσσσσσσ1+2+31-2) 3-2-1) 22222222

0. 5s i n B s i n 2L (s i n L c o s L 0. 5c o s B s i n 2L (σσσσσσ! 1-2) 1+22-1) L =

[**************]

. 5s i n 2B (s i n L c o s L 0. 5c o s B s i n 2L (o s B c o s L c o s B s i n L s i n B σσσσσσσσ3-2-1) 2-1) c 1+2+3

0() 19

所以, 为了能得到较好的测站速度分量精度分布, 在设计G 要尽可能保证点位精度是各向P S 测量网时, 同性的。

区间内变化按此公式, 我们绘制了B 在[0]

2

时, 如图3所示。显然, 当B 在[B 的变化曲线, 0, Δ-

5 球面测站坐标系和椭球面测站坐标

系下速度分量的差别

由于测站高度对速度归算的影响很小, 并且在坐标换算中, 和式(, 归算到10) 11) λ=L 。对比式(球面测站坐标系下和椭球面测站坐标系下速度分量的差别主要取决于B 和φ的差别。

忽略测站高度对速度归算的影响, 由式() , 得11椭球面测站坐标系下的速度分量:

]区间内变化时, B 的变化曲线与此类似。Δ

2

V N =-s i n B c o s L V X -s i n B s i n L V c o s B V Z Y +

() V E =-s i n L V X +c o s L V 20Y

根据式() 得球面测站坐标系下的速度分量:10

V ' N =-s i n c o s V X -s i n s i n V c o s V Z λλY +φφφV ' s i n V X +c o s V λλE =-Y 则两者差别为(顾及λ=L ) :

V N =V N -V ' N =-(s i n B -s i n c o s L V X -Δφ) (s i n B -s i n s i n L V c o s B -c o s V Z Y +(φ) φ) () V E =V E -V ' 022ΔE =

[7]

设Δ则φ=B -Δ:B =B -B 。实际上1φ,

2222

B =a r c c o s Δ4242

c o s B +b s i n B 图3 ΔB 随纬度变化的曲线

() 21

F i . 3 T h e c h a n e o f ΔB w i t h l a t i t u d e g g

从图3中可以看到, 可取B 是一个微小量, Δ于是有:s i n B 8ΔB , c o s B 81, ΔΔ

(s i n i n B -ΔB ) =φ=s

s i n B c o s B -c o s B s i n B 8ΔΔs i n B -c o s B B Δ

() 23

第3期

伍吉仓等:地心坐标系与站心坐标系中的速度转换及误差传播

17

(c o s o s B -Δ=B ) φ=c

精度, G P S 站点的点位精度最好是各项同性的。另外, 转换到球面测站坐标系和转换到椭球面测站坐

() 24

标系的速度分量差别, 主要表现在北向速度分量上,

-5-6

一般在1量级, 测站高度的影响亦可忽略00～1

B c o s i n B s i n c o s B +s B 8ΔΔB +s i n B B c o s Δ

代入式() 得:21

o s B (L V X +s i n L V i n B V Z c o s V N =-c B -s B ΔΔΔY )

() 25V E =0Δ

由于V U =c o s B (L V X +si n L V B V Z , c o s +si n Y ) 所以:

不计。但对于有明显垂直(径向) 运动的站点, 差别会显著增大。

致 谢 本文研究工作得到中国香港特别行政区研Δ

V N =-V U ΔB (26) 对于地壳运动而言(欧拉运动) , V U =0, 所以, V N =0。但是由于误差的存在, 或实际上可能存在的径向运动, V U 一般不等于零, 考虑到ΔB 在10-3量级(图3) , ΔV N 应该在10-5～10-6量级。如果计算得到的ΔV N 比较大, 说明垂直方向(法线方向) 的速度分量较大, 原来得到的地心坐标中的速度在垂直方向的精度较差, 或者存在粗差(天线高量错) 。

我们按式(10) 、(11) 分别计算了我国境内931个G P S 站点在两种测站坐标系下的北速度分量, 并且比较了它们的差别, 其差别在各指定区间出现的频次如图4所示。从图4中可以看出, 绝大部分站点的ΔV N 都很小, 表示没有明显的垂直运动分量; 但是, 其中有18个站点的ΔV N 91. 0×10-4, 该18个站均位于华北盆地内部沿黄河北岸的邢台、石家庄、天津一带, 有必要对它们的数据处理作进一步检查:要么是该地区有明显的沉降运动, 要么是这些点的数据可能有错误。如果是后者, 在后续的应变分析中, 可以人为地剔除这些点, 然后比较计算结果的差别, 这项工作将在另文中给出

。

图4 ΔV N 的区间频次分布直方图

F i g . 4 T h eh i s t o g r a mo f i n t e r v a l f r e q u e n c y d

i s t r i b u t i o n o f Δ

V N 结论

在将地心坐标系中的速度分量转换到测站坐标系中的速度分量时, 测站高度对速度转换影响的相对变化在10-3

～10-5

, 且随纬度的增加而增大。对于厘米量级的速度而言, 该项影响一般可以忽略不

计。从误差传播的角度分析, 要保持转换后速度的

究基金委员会的资助(项目代码:A. 34. 37. P F 70) 和中科院测地所动力大地测量开放实验室资助

e f e r e n c e s

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Δ

R [1**********]6

18

() :21～8.

大地测量与地球动力学

25卷

() :24129～35.

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G P S 在地震监测预报中的应用研讨会在厦门召开

中国地震局监测预报司和中国地震学会形变专业委员会联合主办、福建省地震局承办的G P S 在地震监测预报中的应用研讨会, 于2005年6月25日至27日在厦门召开。会议围绕G P S 在地震预测研究和地球动力学研究中的应用、G P S 与地震监测预报试验场地建设设计规划和研究思路以及G P S 最新发展等进行了学术交流。来自全国的40多位专家学者参加了这次研讨会。

中国地震局岳明生副局长、监测预报司车时副司长等领导参加了会议。岳副局长作了重要讲话, 他分析了2强调了我国政府对地震灾害监测和预防的重视程004年12月26日印尼地震海啸对世界各国的影响, 度。并勉励大家珍惜国家给予的有利条件, 抓住机遇, 攻克地震预报的科学难题。他说, 地壳形变是各国研究地震预报普遍重视的方法, 但传统的形变方法存在观测效率低, 资料不连续且干扰多的弱点。G P S 观测为地壳形变研究提供了高精度、高效率、连续、大面积的监测方法, 解决了监测难题; 但G P S 监测也还有很多问题没有解决, 需要我们去研究。最后, 他鼓励地震科技工作者要充分利用已取得的观测成果, 深入进行地震预报研究, 为我国的防震减灾做出应有的贡献。

中国地震局地震研究所 龚凯虹

2005年7月4日