高二数学椭圆专题[1]

高二数学椭圆专题

训练指要

熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题

1. 椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为

x 2y 2x 2y 2

+=1 B. +=1 A.

1006464100

x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2

+=1或+=1 D. +=1或+=1 C.

[**************]0

2. 若方程x 2＋ky 2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)

3. 已知圆x 2＋y 2＝4，又Q (，0) ，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A. 直线 二、填空题

B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线

x 2y 2

+=1的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|4. 设椭圆

4520

－|PF 2||＝_________.

5.(2002年全国高考题) 椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0，2) ，那么k =_________. 三、解答题

x 2y 2

6. 椭圆2+2=1(a ＞b ＞0), B (0,b ) 、B ′(0,-b ), A (a ,0), F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥

a b

B ′F , 求椭圆的离心率.

7. 在面积为1的△PMN 中，tan M =且过点P 的椭圆方程.

1

,tan N =-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点2

x 2y 2

8. 如图，从椭圆2+2＝1(a ＞b ＞0) 上一点M 向x 轴作垂线，

a b

恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连

线AB ∥OM .

(1)求椭圆的离心率e ；

(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；

(3)设Q 是椭圆上一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程.

参考答案

一、1.C 2.D 3.C 二、4.2

提示:|PF 1|+|PF 2|=2a =6⎫⎪

⎬⇒|PF 1|⋅|PF 2|=40, 222

|PF 1|+|PF 2|=(2c ) =100⎪⎭

∴(|PF 1|－|PF 2|)2=100－2×40=20. ||PF 1|－|PF 2||=2. 5.1 三、6.

5-1

2

7. 以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的中垂线为y 轴建立坐标系，可得椭圆方程为

42y 2

x +=1. 153

x 2y 22π

+=1 8.(1) (2)［0, ］ (3)

250252

提示：(1)∵MF 1⊥x 轴，

b 2

∴x M =－c , 代入椭圆方程求得y M =,

a b 2b , k AB =-, ∴k OM =－ac a

∵OM ∥AB ,

b 2b

=-⇒b =c ∴－ac a

从而e =

2

. 2

(2)设|QF 1|=r 1,|QF 2|=r 2, ∠F 1QF 2=θ, 则r 1+r 2=2a ,|F 1F 2|=2c.

r 1+r 2-4c 2

由余弦定理, 得cos θ=

2r 1r 2(r 1+r 2) 2-2r 1r 2-4c 2a 2==-1

2r 1r 2r 1r 2

22

a 2

-1=0, ≥

r 1+r 22() 2

当且仅当r 1=r 2时，上式取等号. ∴0≤cos θ≤1, θ∈［0,

π］. 2

x 2y 2

(3)椭圆方程可化为2+2=1, 又PQ ⊥AB ，

2c c

∴k PQ =－

1k AB

=

a

=2. b

PQ :y =2(x －c ) 代入椭圆方程，得5x 2－8cx +2c 2=0. 求得|PQ |=

62

c , 5

26

c , 3

F 1到PQ 的距离为d =∴S ∆F 1PQ =

1

|PQ |⋅d =203⇒c 2=25. 2

x 2y 2

+=1. ∴椭圆方程为

5025

椭圆训练题：

1x 2y 2

+=1的离心率e =，则m=__________ 1. 椭圆

2m +89

2. 椭圆4x 2+2y2=1的准线方程是_______________

x 2y 2

+=1的两个焦点，A 、B 为过F 1的直线与椭圆的两个交点，3. 已知F 1、F 2为椭圆

259

则△ABF 2的周长是____________

x 2y 2

4. 椭圆2+2=1(a >b >0)上有一点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距

a b

离的等差中项，则P 点的坐标是_______________

x 2y 2

5. 椭圆2+2=1焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的任一点，M 为P F1的中点，若P F1的长

a b

为s ，那么OM 的长等于____________

x 2y 2

+=1的一个焦点F 作与椭圆轴不垂直的弦AB ，AB 的垂直平分线交AB 6. 过椭圆

3627

于M ，交x 轴于N ，则FN ：=___________ 7. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =

2

，长轴长是6，则椭圆的方程是____________ 3

x 2y 2

+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的值是______________ 8. 方程

25-m 16+m

9. 椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________

x 2y 2

10. 椭圆2+2=1上一点P 到右焦点F 2的距离为b ，则P 点到左准线的距离是_______

4b b

11. 椭圆x sec t +y csc t =1, t ∈

2

2

2

2

2

2

⎛ππ⎫

, ⎪，这个椭圆的焦点坐标是__________ 42⎭⎝

12. 曲线x +(m -1)y -3my +2m =0表示椭圆，那么m 的取值是______________

5x 2y 2

+=1上的一点A (x 1, y 1)，A 点到左焦点的距离为，则x 1=___________ 13. 椭圆

243

22

((x -1)y -2)+14. 椭圆

169

=1的两个焦点坐标是______________

15. 椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，两准线的距离是

5

，焦距为25，其方程为______ 5

16. 椭圆上一点P 与两个焦点F 1、F 2所成的∆PF 1F 2中，∠PF 1F 2=α, ∠PF 2F 1=的离心率e=__________

β，则它

x 217. 方程-

3

y 2

π⎫⎛

sin 2α+⎪

4⎭⎝

=1表示椭圆，则α的取值是______________

18. 若

(λ

2

-6x 2+5λy 2-5λλ2-6=0表示焦点在x 轴上的椭圆，则λ的值是________

)()

x 2y 2⎛9⎫

+=1上不同的三点A (x 1, y 1), B 4, ⎪, C (x 2, y 2)与焦点F (4, 0)的距离成19. 椭圆

259⎝5⎭

等差数列，则x 1+x 2=____________

x 2y 2

+=1上一点，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的4倍，则P 点20. P 是椭圆

259

的坐标是_______________

21. 中心在原点，对称轴在坐标轴上，长轴为短轴的2倍，且过(2, -6)的椭圆方程是______ 22. 在面积为1的△PMN 中，tan M =

方程是_____________

23. 已知△ABC ，A (3, 0), B (-3, 0)且三边AC 、AB 、BC 的长成等差数列，则顶点C 的轨迹

方程是_________

1

, tan N =-2，那么以M 、N 为焦点且过P 的椭圆2

x 2y 2

+=1的焦距为2，则m 的值是__________ 24. 椭圆m 4x 2y 2

+=1的焦点到准线的距离是____________ 25. 椭圆94

x 2y 2

26. 椭圆2+=1的准线平行于x 轴，则m 的值是__________ 2

m m -127. 中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为

1

的椭圆方程是_______ 2

28. 椭圆的焦距等于长轴长与短轴长的比例中顶，则离心率等于___________

29. 中心在原点，一焦点为F 10, 的椭圆被直线y =3x -2截得的弦的中点横坐标为

()

1

，则此椭圆方程是_________ 2

30. 椭圆的中心为(0, 0)，对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成面积为12的三

角形，两准线间的距离是

25

，则此椭圆方程是_____________ 2

31. 过点(3, -2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆方程是____________

x 2y 2

+=1绕其左焦点逆时针方向旋转90︒，所得椭圆方程是_______ 32. 将椭圆

259x 2y 2

+=1上一点M 到右准线的距离是7.5，那么M 点右焦半径是______ 33. 椭圆

259x 2y 2

+=1的长轴，34. AB 是椭圆F 1是一个焦点，过AB 的每一个十等分点作AB 的垂线，34

交椭圆同一侧于点P 1，P 2，P 3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，P 9，则AF 1+P 1F 1+P 2F 1+⋅⋅⋅+P 9F 1+BF 1的值是________

35. 中心在原点，一焦点为F （0，1），长短轴长度比为t ，则此椭圆方程是__________ 36. 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，则k 的取值是__________

x 2y 2

+=1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上一点，若线段PF 1的中点在y 轴上，37. 椭圆

123

那么PF 1：PF 2=___________ 38.

经过M 1

-2, M 2-两点的椭圆方程是_____________

)()

39. 以椭圆的右焦点F 2（F 1为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M 、N ，

若直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率是___________

40. 椭圆的两个焦点F 1、F 2及中心O 将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两个端点

连线的夹角是__________

x 2

+y 2=1上的点之间的最短距离是___________ 41. 点A (a ,0)到椭圆2x 22

+y 2=1与圆(x -1)+y 2=r 2有公共点，则r 的取值是________ 42. 椭圆4

x 2y 2

+=1总有公共点，则m 的值是___________ 43. 若k ∈R ，直线y =kx +1与椭圆

5m

44. 设P 是椭圆上一点，两个焦点F 1、F 2，如果∠PF 2F 1=75, ∠PF 1F 2=15，则离心率等

于__________

x 2y 2

+=1上任一点，两个焦点F 1、F 2，那么∠F 1PF 2的最大值是_______ 45. P 是椭圆43

46. 椭圆x 2+4y 2=4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角

三角形，则此直角三角形的面积是__________

47. 椭圆长轴长为6，

焦距过焦点F 1作一倾角为α的直线交椭圆于M 、N 两点，当MN 等于短轴长时，α的值是_______

x 2y 2+=1的长轴两端点A 、B ，点P 在椭圆上，那么直线PA 与PB 的斜率之48. 设椭圆43

积是__________

πx 2

+y 2=1交于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方49. 倾斜角为的直线与椭圆

44

程是______________

50. 已知点A （0，1）是椭圆上的一点，P 是椭圆上任一点，当弦长AP 取最大值时，点P

的坐标是_____________

椭圆训练题答案

1. 4或-

5

4

2. y =±1 3. 20 4. (0, b )或(0, -b ) 5. a -s 2 6. 1:4 7.

x 2y 295=1或x 25+y 2

+9

=1 8.

92

9.

10.

11. (0, 12. (1, +∞) 13. 1

14. (

1), (1)

22

cos

α+β

15.

x y ⎛⎫

9+4=1 16.

17. cos -

⎝

k π+3π7π8, k π+8⎪⎭

, (k ∈Z )

2

18.

)

19. 8

20. ⎛ 15⎫⎛15 4, 4⎪⎪或 4, -4

⎝⎭⎝⎭

21.

x 2y 2x 2y 24x 2y 2x 2y 2

148+37=1或13+52=1 22. 15+3=1 23. 36+27=1 24. 5或3

25. 1x 2y 2 26. m

x 2y 2x 228. 29. 25+75=1 30. y 2x 2y 2

25+9=1或9+25

=1 22

31.

x 2y 2(x +4)15+10=1 32. 9+(y -4)25=1 33. 6

34. 20 35. x 2y 2t =1 36. (0,1) 37. 7 38. x 2y 2

+215+5=1

t 2

-1t 2-1

39.

1 40.

π2

41. a a +

42. ⎤⎣⎥⎦m ≥1且m ≠5

44.

3

45. 60︒ 46. 1625 47. π5π6或6 -

3

49. y =-1x , ⎛⎛⎫⎛44 ⎝x ∈ ⎝⎪⎭

50. 1⎫

±3-3⎪⎪ ⎝⎭

43. 48.

椭圆训练试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将唯一正确结论的代号填入题后

的括号内．

2

1．椭圆x +

2

m

y 2＝１的准线平行于x 轴，则实数m 的取值范围是 2m +3

（ ）

A ．－１＜m ＜３ B ．－

3

＜m ＜3且m ≠0 2

C ．－１＜m ＜３且m ≠0 D ．m ＜－1且m ≠0

2． a、b 、c 、p 分别表示椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、焦点到相应准线的距离，则它们

的关系是 （ ）

A ．p=b

a 2

2

B ．p=a

b

2

C ．p=a

c

2

D ．p=b

c

2

3．短轴长为5，离心率为2的椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B

3

两点，则ΔABF 2的周长为 A ．24 B ．12 C ．6 4．下列命题是真命题的是

A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆

c

（ ）

D ．3

（ ）

B ．到定直线x=a 2和定F(c，0) 的距离之比为c 的点的轨迹是椭圆

a

C ．到定点F(-c，0) 和定直线x=-a 2的距离之比为

c

c

(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆 a

D ．到定直线x=a 2和定点F(c，0) 的距离之比为a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆

c

c

5．P 是椭圆x 2+y 2=1上任意一点，F 1、F 2是焦点，那么∠F 1PF 2的最大值是

4

3

（ ）

A ．60 B ．30 C ．120 D ．90

x 2

4b 2

b 2

6．椭圆

+y 2=1上一点P 到右准线的距离是2b ，则该点到椭圆左焦点的距离是（ ）

B ．

A ．b

2

2

3

b C ．3b D．2b 2

7．椭圆x +y =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段F 1P 的中点在y 轴上，那么

12

3

|PF1|是|PF2|的 A ．7倍

a 2

b 2

（ ）

B ．5倍

C ．4倍

D ．3倍

8．设椭圆x 2+y 2=1(a>b>0)的两个焦点是F 1和F 2，长轴是A 1A 2，P 是椭圆上异于A 1、A 2的

点，考虑如下四个命题：

①|PF1|-|A1F 1|=|A1F 2|-|PF2|； ②a-ca 2

2

其中正确的命题是 （ ）

A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①④

22

9．过点Ｍ（－２，０）的直线l 与椭圆x ＋2y ＝2交于Ｐ１、Ｐ２两点，线段Ｐ１Ｐ２的中点

为Ｐ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线ＯＰ的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ） A ．２

B ．－２

C ．

11

D ．－

22

x 2y 2

10．已知椭圆2+2=1(a>b>0)的两顶点A(a，0) 、B(0，b) ，右焦点为F ，且F 到直线AB

b a

的距离等于F 到原点的距离，则椭圆的离心率e 满足

A ．0

2

（ ）

D ．2-1

B ．2

2

a

2

C ． 0

11．设Ｆ１、Ｆ２是椭圆x 2

+

y 2

b 2

＝１（a ＞b ＞0）的两个焦点，以Ｆ１为圆心，且过椭圆中心的

圆与椭圆的一个交点为Ｍ，若直线Ｆ２Ｍ与圆Ｆ１相切，则该椭圆的离心率是（ ）

A ．２－3

2

2

B ．3－１

C ．

2

D ．2

2

12．在椭圆x +y =1内有一点P （1，-1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|

4

3

的值最小，则这一最小值是`

A ．

（ ）

C ．3

D ．4

5

2

2

2

B ．

7 2

2

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最简结果填入题中的横线上． 13．椭圆x +y =1的离心率是2x -11x+5=0的根，则k= ．

3

k

14．如图，∠ＯＦＢ＝

π

，ＳΔＡＢＦ＝２－，则以ＯＡ为长半轴，ＯＢ 6

为短半轴，Ｆ为一个焦点的椭圆的标准方程为 ．

22

22

15．过椭圆x +y ＝１的下焦点，且与圆x ＋y －3x ＋y ＋3＝0相切

2

2

3

2

的直线的斜率是 ． 16．过椭圆x +y =1的左焦点作一条长为

2

9

的弦

AB ，将椭圆绕其左准线旋转一周，则

5

弦AB 扫过的面积为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程． 17．（本小题满分12分）

8x 225y 2

已知A 、B 为椭圆2+=1上两点，F a ，AB 2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=

5a 9a 2

中点到椭圆左准线的距离为

3

，求该椭圆方程． 2

18．（本小题满分12分）

设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为交于A 、B 两点，若线段AB 的长等于圆的直径． （1） 求直线AB 的方程； （2） 求椭圆的方程． 19．（本小题满分12分）

522

，并且椭圆与圆x +y-4x-2y+=0

22

x 2y 2

已知+=1的焦点F 1、F 2，在直线l ：x+y-6=0上找一点M ，求以F 1、F 2为焦点，

59

通过点M 且长轴最短的椭圆方程．

20．（本小题满分12分）

x 2y 2

一条变动的直线l 与椭圆+=1交于P 、Q 两点，M 是l 上的动点，满足关系

24

|MP|·|MQ|=2．若直线l 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，

并说明曲线的形状．

21．（本小题满分12分）

x 2y 2

设椭圆2+2=1的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 1、A 2．

b a

（1） P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60，求ΔF 1PF 2的面积；

（2） 若椭圆上存在一点Q ，使∠A 1QA 2=120，求椭圆离心率e 的取值范围．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆的一个顶点为Ａ（０，－１），焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为３． （1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y ＝kx ＋m （k ≠0）相交于不同的两点Ｍ、Ｎ，当｜ＡＭ｜＝｜ＡＮ｜时，求m 的取值范围．

椭圆训练试卷参考答案

一、B D C D A A A AＤC B C 二、13．4或9

4

22

14．x +y =1

82

15．3±26

5

16．18π

三、17．解：设A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ，由焦点半径公式有a-ex 1+a-ex2=8a ，∴x1+x2=1a(∵e=4) ，即AB

5

2

2

5

2

中点横坐标为1a ，又左准线方程为x=-5a ，∴1a+5a=3，即a=1，∴椭圆方程为x +25y =1．

4

4

4

4

2

9

18．解：（1）直线AB 的方程为y=-2

122

x+2； （2）所求椭圆的方程为x +y =1． 2123

19．解：由x

9

y 2//

+=1，得F 1（2，0），F 2（-2，0），F 1关于直线l 的对称点F 1（6，4），连F 1F 2交l 于一5

点，即为所求的点M ，∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1F 2|=4程为x +y =1．

20

16

2

2

/

，∴a=2，又c=2，∴b=16，故所求椭圆方

2

20．解：设动点M(x，y) ，动直线l ：y=x+m，并设P(x1，y 1) ，Q(x2，y 2) 是方程组⎧y =x +m , 的解，

⎨22

⎩x +2y -4=0

消去y ，得3x +4mx+2m-4=0，其Δ=16m-12(2m-4)>0，∴-2

x 1x 2=2m -4，故|MP|=

3

2

2

2

2

6

2

4m

， 3

2

|x-x1|，|MQ|=

2

|x-x2|．由|MP||MQ|=2，得|x-x1||x-x2|=1，也即

2222222

|x-(x1+x2)x+x1x 2|=1，于是有|x+4mx +2m -4|=1．∵m=y-x ，∴|x+2y-4|=3．由x +2y-4=3，得椭

33

22

圆x +2y =1夹在直线y=x±77

6间两段弧，且不包含端点．由x +2y-4=-3，得椭圆x +2y=1．

2

2

2

2

21．解：（1）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S ∆PF F =

12

1

2

r 1r 2sin∠F1PF 2，由r 1+r2=2a，

4c =r1+r2-2cos∠F1PF 2，得r 1r 2=

222

2b 2．代入面积公式，得 1+cos ∠F 1PF 2

222

S ∆PF F =sin ∠F 1PF 2b =btg∠F 1PF 2=b ．

12

321+cos ∠F 1PF 2

（2）设∠A 1QB=α，∠A 2QB=β，点Q(x0，y 0)(0

1-tg αtg β

a -x 0a +x 0

+y 0y 0

2

a 2-x 01-2

y 0

22a 222

2ay 0=．∵x 0+y 0=1，∴x0=a-2-y 0．∴tg θ=2ay 022b a 2b 22x 0+y 0-a 2

a -b 2

2

-

b

2

2y 0

2

=2ab =--c 2y 0

3．

∴2ab ≤

2

4224422

即3c +4ac -4a ≥0，∴3e+4e-4≥0，解之得e ≥2，∴c 2y 0≤c 2b ，

3

≤e

3

22．解：（1）用待定系数法．椭圆方程为x 2+y 2＝１．

3

⎧y =kx +m , 22222（2）设Ｐ为弦ＭＮ的中点．由⎪2得（3k ＋1）x ＋6kmx ＋3（m －1）＝0．由Δ＞０，得m ＜3k

⎨x 2

⎪+y =1, ⎩3

＋1 ①，∴x P ＝x M +x N =-3mk ，从而，y P ＝kx p ＋m ＝m ．∴k AP ＝-m +3k +1．由ＭＮ⊥ＡＰ，

3k 2+13km 23k 2+1

2222

得 -m +3k +1＝－1，即2m ＝3k ＋1 ②．将②代入①，得2m ＞m ，解得０＜m ＜2．由②得k ＝2m -1

k 33km

2

＞０．解得m ＞1．故所求m 的取值范围为（1，２）．

22