第9讲 消元法在解题中的应用

第9讲 消元法在解题中的应用

[方法精要] 在一些较复杂的题目中，若含有两个或两个以上的未知数时，为了保证先求出其中的一种数量，往往要通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来，这种解题方法就是消元法． 用消元法解题时注意以下几点：

1．把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去．

2．如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同然后消去这个量．

3．解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意．

题型一 消元法在平面向量中的应用

→→→→→

例1 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，且2a ＝b ，c ＝b ＋d, 2e ＝3b ＋4d ，求证：点C 是线段AE 的中点．

1

破题切入点 本题涉及到的向量比较多，观察结论，根据结论的要求，只需证明c ＝a ＋e ) ，

2因此，只要不断消元，即可得到向量c ，a ，e 的关系． 证明 因为2a ＝b ，c ＝b ＋d ，

所以b ＝2a ，d ＝c －2a ，代入2e ＝3b ＋4d ， 可得2e ＝3×2a ＋4×(c －2a ) ，

1

整理得c ＝a ＋e ) ，

2所以点C 是线段AE 的中点．

题型二 消元法在解析几何中的应用

x 2y 2x

例2 已知双曲线－＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0) 与(1,0)到直线

a b a

y 4

－1的距离之和S ≥c ，则e 的取值范围是________． b 5破题切入点 根据已知的不等式找a ，c 所满足的不等式，转化为关于离心率e 的不等式，通过这个不等式解得双曲线的离心率的范围．

5

答案 [5]

2

|－b －ab ||b －ab |2ab 4

解析 ∵S ＝＋＝，

c 5a ＋b a ＋b ∴2c 2≤5ab ，即4c 4≤25a 2(c 2－a 2) ， 即4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0， 即4e 4－25e 2＋25≤0，

55

解得≤e 2≤5，即e

≤5.

42

总结提高 消元思想是中学数学的重要思想方法之一，它既可以显性的表现为具体的技能，如降幂、减少变量的个数等，又指导着思维的方向，如对题设或结论的简化意识等，在解题的动态思维过程中，如能紧扣消元的数学思想，重视消元法的应用，就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣．

1．已知定义在R 上的奇函数f (x ) 和偶函数g (x ) 满足f (x ) ＋g (x ) ＝a x －a x ＋2(a >0，且a ≠1) ，

－

若g (2)＝a ，则f (2)的值为________． 15答案

4解析 因为f (x ) ＋g (x ) ＝a x －a x ＋2，

－

则f (－x ) ＋g (－x ) ＝a x －a x ＋2，

－

联立可得g (x ) ＝2， 又因为g (2)＝a ，故a ＝2.

因为f (2)＋g (2)＝a 2－a 2＋2，g (2)＝a ，

－

15－－

则f (2)＝a 2－a 2＋2－a ＝22－22＋2－2＝42．(2013·浙江改编) 已知α∈R ，sin α＋2cos α＝3答案 4

解析 因为sin α＋2cos α＝又sin 2α＋cos 2α＝1， 10，⎧sin α＝－10

联立解得⎨

10cos α＝，⎩10

10

， 2

10

tan2α的值为________． 2

sin α1sin α

故tan α＝tan α＝3，

cos α3cos α

10

⎧sin α＝310

或⎨

10

cos α＝⎩10

12×(－32tan α3

代入可得tan2α＝＝ 141－tan α

1－(－)2

3

2×32tan α3

或tan2α＝＝. 41－tan α1－3y ≥x ，⎧⎪

3．设m >1，在约束条件⎨y ≤mx ，

⎪⎩x ＋y ≤1范围为________． 答案 (1,12) 解析 画出可行域，

⎧⎪y ＝x ，

或分别解方程组⎨

⎪y ＝mx ，⎩

下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值

⎧⎪y ＝x ，

⎨

⎪x ＋y ＝1，⎩

⎧⎪y ＝mx ，

⎨ ⎪x ＋y ＝1⎩

111m 1m

得到三个区域端点(0,0)，(，，当且仅当直线z ＝x ＋my 过点(22m ＋1m ＋1m ＋1m ＋1m 2＋1

时，z 取到最大值z ＝，解得m ∈(1,1＋2) ．

m ＋1

x 2y 21

4．若椭圆＝1(a >b >0)的离心率e ＝，右焦点为F (c, 0) ，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实

a b 2根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2) 到原点的距离为________． 答案

2

c 1

解析 因为e ＝，所以a ＝2c ，

a 2b 3

由a 2＝b 2＋c 2，得＝，

a 2

2b c 1

x 1＋x 2＝－3，x 1·x 2＝

a a 2

点P (x 1，x 2) 到原点(0,0)的距离d ＝x 1＋x 2(x 1＋x 2)－2x 1x 2＝2.

5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 16

解析 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则弦AB 的长AB ＝2|x 1－x 2|＝16.

PF

6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y ) 为该抛物线上的动点，又点A (－1,0) ，则P A 值是________．

2

答案 2

解析 由题意知x ≥0，则焦点F (1,0)，PF ＝x ＋1，P A ＝(x ＋1)＋y ＝(x ＋1)＋4x ，当x

P A P A 4x ＝0时，＝1；当x >0时，1

P A PF PF 2

等号) ．因此当x ≥0时，1≤2，1，的最小值是PF 2P A P A 2

22x y

7．已知双曲线：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB

a b 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为________． 答案 3

c

解析 由题意知e ＝2，则b 2＝3a 2，

a

双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n ) ，M (x ，y ) ，

y －n y ＋n y 2－n 2

则B (－m ，－n ) ，k 1k 2＝

x －m x ＋m x －m 3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2＝x －m ＝3.

8．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －1＝0，则过两圆交点的公共弦所在直线方程为________． 答案 2x ＋2y －1＝0

解析 联立两圆的方程，消去二次项即得公共弦所在直线的方程2x ＋2y －1＝0.

11

9．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋)(4y 2) 的最小值为________．

y x 答案 9

111

解析 (x 2＋)(4y 2) ＝5＋4x 2y 2≥5＋2

y x x y 立．

→→→→

10．设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，m ，n ，p ，q 是不同时为零的实数，如果m a ＋n b ＋p c ＋q d ＝0，且(m ＋n ) 2＋(p ＋q ) 2＝0. 求证：A ，B ，C ，D 共线或AB ∥CD .

证明 因为(m ＋n ) 2＋(p ＋q ) 2＝0，m ，n ，p ，q 是不同时为零的实数， ∴m ＝－n ，p ＝－q ，

代入m a ＋n b ＋p c ＋q d ＝0得n (b －a ) ＝－q (d －c ) →→∴nAB ＝qCD ，

∵n ≠0，(否则m ，p ，q 均为零) ， →q →∴AB ＝，

n

x y

4x 2y 2＝9，当且仅当·

1

x 2y 2＝时等号成

2

→→∴AB ∥CD ，

即A ，B ，C ，D 共线或AB ∥CD .

11. 如图，已知抛物线C ：y 2＝－2px (p >0)上横坐标为－3的一点，与其焦点的距离为4. (1)求p 的值；

(2)设动直线y ＝x ＋b (b >3)与抛物线C 相交于A 、B 两点，问在直线l ：y ＝2上是否存在与b 的取值无关的定点M ，使得∠AMB 被直线l 平分？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

p

解 (1)由已知得|－3－|＝4，∵p >0，∴p ＝2.

2(2)令A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ， 设存在点M (a, 2) 满足条件，

由已知得k AM ＝－k BM ，

y 1－2y 2－2y 2y 2即有＝0，x 1＝－，x 2＝－；

44x 1－a x 2－a

2

整理得y 1y 2(y 1＋y 2) ＋4a (y 1＋y 2) －2(y 21＋y 2) －16a ＝0； ⎧⎪y ＝x ＋b ，由⎨2 ⎪y ＝－4x ⎩

得y 2＋4y －4b ＝0，

即y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4b ，

则－4b ·(－4) ＋4a (－4) －2[(－4) 2＋8b ]－16a ＝0， ∴a ＝－1，

因此存在点M (－1,2) ，而当b >3时线段AB 在点M (－1，2) 的左上方，满足题意．

13

12．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点M (1，) ．

22(1)求椭圆C 的方程；

→→→2

(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A ·PB ＝PM ？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．

x 2y 2

解 (1)设椭圆C 的方程为1(a >b >0)，

a b

⎧⎪由题意得⎨c 1

＝a 2⎪⎩a ＝b ＋c ，

2

2

2

19

＝1，＋a 4b

解得a 2＝4，b 2＝3.

x 2y 2

故椭圆C 的方程为＋1.

43

(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，

设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2) ＋1，代入椭圆C 的方程得，

22

(3＋4k 21) x －8k 1(2k 1－1) x ＋16k 1－16k 1－8＝0.

因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，

2所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 2(16k 1－16k 1－8) ＝32(6k 1＋3)>0， 1)·

1

所以k 1>－.

2

8k (2k －1)

又x 1＋x 2＝，

3＋4k 1

16k 21－16k 1－8x 1x 2＝ 3＋4k 1

→→→2

因为P A ·PB ＝PM ，

5即(x 1－2)(x 2－2) ＋(y 1－1)(y 2－1) ＝

4→25

所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2) ＝PM . 1

45

即[x 1x 2－2(x 1＋x 2) ＋4](1＋k 21) 4

16k 28k 1(2k 1－1)1－16k 1－8所以[－(1＋k 2＋4]·1) 3＋4k 13＋4k 1

2

4＋4k 151＝＝，解得k ＝1

423＋4k 1

11

因为k 1>－，所以k 1＝.

22

1

于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝x .

2