无限维空间的分析结构与凸微分分析

第40卷　第2期

　2001年3月厦门大学学报(自然科学版) () . 40　N o . 2V o l M ar . 2001　

文章编号:043820479(2001) 0220201210无限维空间的分析结构与凸微分分析

(厦门大学数学系,

摘要:, 该分支与其它学科分支的交, 以及目前国际上的研究现:空间; 局部凸空间; 可微性; 变分分析; 最优化

中图分类号:O 1772. 2文献标识码:A 　　　　　　　　　　　　　　　以凸函数的微分理论为主线的无限维空间上的凸微分分析, 自著名的M azu r 定理[1]开始, 已经进行了60多年. 这不仅仅因为“凸”可以使许多复杂而抽象的数学内容变得简单而直观, 也不仅因为它在许多学科分支, 如控制论、最优化理论、数学规划、大范围分析、无穷维动力系统、生物数学与生物工程、金融数学与金融工程、非线性分析等领域有着许多成功的应用, 还因为它把一些表面上看起来互不相关的数学分支内容, 如B anach 空间几何学、向量值测度与微分、单调算子理论、无限维空间中的扰动优化理论和变分理论等有机地结合为一体(见文献

[2～15]等) .

1　A sp lund 空间与B anach 空间几何学

M azu r 1933年的定理[1]是说“可分Banach 空间E 上定义的每个连续的凸函数均在E 的一个稠密的G ∆子集上处处Gateaux 可微”. 定义在Banach 空间E 上的非空开凸子集D 上的连续凸函数f 称为在点x 处Gateaux 可微, 如果存在定义在E 上的连续的线性泛函x 3(即x 3∈3E ) 使得

　

　li m t γ0t -〈x 3, y

=0, Πy ∈E

亦见, Gateaux 可微的定义是有限维空间的“梯度”概念到无限维空间中的一种自然推广, 这种可微性也是无限维空间中一种最弱的可微性, 最强的可微性是F r échet 可微性——

我们说上

收稿日期:2001202215

基金项目:国家自然科学基金(10071063) , 国家博士后研究项目基金(95-4771) 和福建省自然科学基金

(F 00021) 资助项目

作者简介:程立新(1959-) , 男, 教授.

(自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　　2001年　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报・202・

述f 在点x 处F r échet 可微, 如果存在x 3∈E 3使得

　　　li m sup -〈x 3, y =0t γ0y ∈B t

其中B 表示E 的单位球. 在有限维空间中, 这两种可微性是等价的, 但在无限维空间中, 二者的差异却是巨大的, R. R. Phelp s 甚至构造出l 1上的一个处处Gateaux 可微但无处F r échet 可微的等价范数. 1968年, E. A sp lund 对M azu r 定理进行了两种形式的推广[16]:他发现了比可分空间更广泛的一类B anach 空间仍能保证M azu r 定理成立; 同时, 他还研究了另一类空间, 能够保证更强的结论成立, 即可将M azu r F 可微”. 前一类空间现在被称为弱A sp lund 空间, lund . B anach . i R. Phelp s [17]. 他们提出了A sp lund (w eak A sp ) 即E A sp lund (弱A sp lund ) 空间, 如果定义的的凸函数均在一个稠密的G ∆子集上处处F r é) 并证明了A sp lund 空间E 的几何特征为其对偶E 3中的每个非空w 3w 3强暴露点的w 3闭凸包.

2　A sp lund 空间与向量值测度

向量值测度是通常测度的一种广义形式, 或者将实值测度做为向量值测度取值于一维实直线的一个特例, 向量值测度的R adon 2N ikodym 定理是, 对于每个有限测度空间(8, 2, Λ) 和每个Λ连续的向量值测度G :2→R n , 都有g ∈L 1(Λ, R n ) 使得对于每个Ρ∈2, 均有

　G (Ρ) =fd Λ∫Ρ

若某个Banach 空间E 能取代R adon 2N ikodym 定理中的R n , 则说E 具有R adon 2N ikodym 性质(RN P ) . 与M azu r 可微性定理几乎同步, C lark son 1936年, 引入一致凸(un ifo rm ly convex ) 的概念, 并证明了一致凸的B anach 空间具有RN P. 一个惊人的巧合是:与A sp lund [16]同时, 1967年, R ieffel [18]对B anach 空间中集合的可凹性(den tab ility ) 这一几何概念和性质进行了研究, 开拓了寻求R adon 2N ikodym 性质的几何形式的新领域, 结束了RN P 与B anach 空间几何学截然分离的局面. D avis, Phelp s [19]和H uff [20]于1974年分别独立地证明了:Banach 空间E 具有RN P 当且仅当每个非空有界子集均可凹. 这一结果与N am i oka 2Phelp s 1975年的定理结合起来便可直接得到:E 是A sp lund 空间]E 3具有RN P. Phelp s 又问反之如何?John 和Zizler [21]1976年证明了当E 是弱紧生成空间时, 反之也真. 1978年, Stegall 通过对一类特殊类型的集值映射(set 2valued m app ings ) 性质的深入系统研究, 证明了若

　E 3具有RN P, 则E 是A sp lund 空间[22]

“E 是A sp lund 空间ΖE 3具有RN P ”充分体现了凸微分分析、Banach 空间几何学和向量值测度这三个数学分支的完美结合.

1976年, Co llier [23]引入了w 3A sp lund 空间的概念, 并证明了

　E 3是w 3A sp lund 空间Ζ具有RN P

笔者和吴从火斤教授最近给出了这一定理的局部化描述[24], 即B anach 空间

E 的非空闭凸子集C 具有RN P Ζ对每个广义实值下半连续函数f , dom f

3　凸微分分析与单调算子理论

单调算子是一个独立的研究领域, 它与凸分析结合的主要贡献者应首推凸分析的奠基人Rockafellar [7]. 出于非线性偏微分议程和非线性分析其他方面的需要, 以B rezis,B row der 和M in ty 为代表的数学家在60年代和70年代初期对单调算子进行了深入而广泛的研究. Rockafellar 用单边导数定义了凸函数的次微分算子, 他和M o reau 等在凸分析中做出了卓越的工作, 并将它们率先应用到优化问题中. Rockafellar 建立了诸如单调性子的局部有界性定理等一系列基本性质, 特别是证明了M in ty 函数的次微分算子.

1985年, K rau ss [25, 26]鞍(Saddle ) 函数的次微分算子. .

4　. 我们将某一类实值函数的最小值(最大值) 点存. 在有限维优化中, 存在性常常是显而易见的. 例如, 定义在一个有界闭集上的下(上) 半连续实值函数的最小(大) 值点的存在性总是可以证明的, 因为它们的定义域是紧集. 无限维优化常常是不存在的, 因此我们考虑扰动优化.

扰动优化的出发点很简单:假如我们有一个下半连续有下界的实值函数f , 要证明存在一个任意小的“扰动函数”g , 使f +g 在它的定义域内达到最小值, 这个问题就是扰动优化问题. 不难看出, 它的实质是变分问题. g 可以是范数很小的线性泛函, 也可以是L i p sch itz 常数很小的函数. 一般而言, 在任何B anach 空间或完备的度量空间, Ekeland 变分原理[27, 28]均可保证这类下半连续有下界的实值函数的扰动优化的存在性.

1978年, Stegall [29]率先考虑了强扰动优化的存在性问题:即对于定义在有界闭集A 上的下半连续有下界的实值函数f , 我们不仅要求m ax A (f +g ) 存在, 还要求对任何{x n }

　(f +g ) (x n ) →m ax A (f +g )

就有x n →x 0∈A . 他证明了若A 是具有RN P 的有界闭凸集, 则强扰动优化一定存在, Fab ian [15]也独立地证明了这一结果. 本文作者和吴从火斤教授[30]用自己建立的非凸函数凸化的方法, 证明了:给定闭凸集C , 它的任何有界闭子集A 上的强扰动优化存在的充分必要条件为C 具有RN P. 这一结果蕴含:

　Banach 空间E 上的强扰动优化存在ΖE 具有RN P

Ghou ssoub, L inden strau ss,M au rey [31]用上半连续有界函数的扰动优化的存在性, 刻划了复B ananch 空间的解析RN P 特征.

Ghou ssoub 和M au rey [32]还考虑了w 3下半连续函数的w 3强扰动优化问题, 本文作者和吴从火斤教授[30]进一步证明了共轭空间E 3上的w 3强扰动优化定理成立ΖE 3具有RN P 或等价地, E 是A sp lund 空间.

5　两个重要的问题

在无限维空间凸微分分析发展过程中, 下列两个问题的解决起着十分重要的作用.

第一个问题是关于A sp lund 空间的猜想:1) 具有F r échet (Gateaux ) 可微的等价范数的B anach 空间一定是A sp lund (弱A sp lund ) 空间; 反过来,A sp lund (弱A sp lund ) 空间一定具有等价的F r échet (Gateaux ) 可微的范数.

另外一个是关于非凸函数的F r échet 可微性问题, 既然很多空间上的连续凸函数都具有很好的可微性, 那么, 具有“很好”性质的空间上的每个L i p sch itz 函数是否都具有F r échet 可微点? 更具体一点, 就是2) 可分H ilbert 空间上的L i p sch itz 函数是否都会在某一点处F r échet 可微?

1979年, Ekeland 和L ebou rg [33]F r échet B anach 空间是A sp lund 空间. 从此, 关于问题1) 虽过许数努(例如, Fab ian [34]1987年证明了, 弱可数确定的A sp rc é, 是弱紧生成的; Bo rw ein 和P reiss [, 若E 上存在一个Gateaux E Gateaux 可微) , 2) . R adem acher 早期的一个定理说, R n 上的每个L i p sch itz 函数均在一∆集上处处F r échet 可微, 不难看出, 问题2) 就是说R adem acher 定理是否可以以某种形式推广到无限维空间? 然而, 就这样一个看起来似乎很简单的问题, 却有着近一个世纪的曲折路程. 很多年来, 人们认为答案是否定的, 并举出了许多反例, 即可分H ilbert 空间上的无处F r échet 可微的L i p sch itz 函数的例子, 直到1979年, F itzp atrick 和Phelp s 通过对这些反例的研究发现, 它们全是错误的.

若把70年代看成是凸微分分析与多学科分支交叉结合的鼎盛时期的话, 90年代可以说是它的第二个收获季节. 1990年, H aydon [35]首先举出反例, 他构造了一个A sp lund 空间, 其上不存在Gateaux 可微的等价范数, 更不存在F r échet 可微的等价范数, 这就给猜想1) 的逆命题以否定的答案. 紧接着, P reiss, Phelp s 和N am i oka [36]又构造性地证明了存在Gateaux 可微的等价范数的空间一定是弱A sp lund 空间, 这样一来, 问题1) 得到彻底解决前一部分是肯定

[37]答案, 但其逆命题不真! 与此同时, P reiss 宣布了一个更加激动人心的结果:A sp lund 空间上

的每个局部L i p sch itz 函数均在该空间的一个稠密的子集上处处F r échet 可微. 这一结果也是

[38]1990年国际数学家大会上一个45分钟报告的内容. 这一结果的重要性, 不仅在于它完全肯

定而漂亮地回答了近一个世纪以来人们所关注的一个问题, 以及在证明方法上的难度(这一结果的证明在1986年就已经给出, 但原始证明被认为是不可读的, 经过几年的修改, 最终以34页的篇幅发表出来) , 而且在于它包容了包括凸函数在内的微分理论的多年研究成果和具有对诸如Bo r w ein 2P reiss [5]光滑变分原理等重要定理的形成动机的启发性.

从空间性质的角度来看, P reiss 可微性定理已经具有了不可改进的完美形式——任何非A sp lund 空间上都存在着无处F r échet 可微的等价范数. 本文作者和吴从火斤教授运用Ekeland 变分原理通过对下卷积函数序列的逼近性质研究发现, 从函数的角度P reiss 可微性定理仍然可以拓宽到更广义的框架下[39]即

　P reiss 可微性定理对上(下) 半局部L i p sch itz 函数仍然成立

且证明了:若定义在A sp lund 空间上的某个连续函数f 无处F r échet 可微, 则存在一个稠密的G ∆集使得在该集内处处无有限的D in i 上导数和下导数.

6　弱A sp lund 空间和Gateaux 可微空间

B anach 空间E 称为弱A sp luod 空间, 如果其上的每个连续凸函数均在一个稠密的G ∆集上

处处Gateaux 可微. A sp lund 空间和弱A sp lund 空间都是对凸分析非常有意义的空间. 尽管弱A sp lund 空间研究比A sp lund 空间的研究早35年, 但人们对弱A sp lund 空间的了解仍然少之又少(例如, 见文献[40]) .

下列最基本的问题人们仍然不清楚:

1) 弱A sp lund 空间的闭子空间是否仍然是弱A sp lund 空间?

2) 两个弱A sp lund 空间的乘积是否仍然是弱A sp lund 空间?

3) 若E 是弱A sp lund 空间, 是否E ×R 仍是?

4) 除定义之外, 弱A sp lund 空间的特征是什么?

凸函数的F r échet 可微点集的G ∆, 个凸函数的Gateaux 可微性点集一定是一个G ∆集直到T [41. 后来(1985) , 这种反例又一次被Coban 和[]. , 是Gateaux G , 且∆.

∆,L arm an 和Phelp s [43]1979年定义并() . 一个Banach 空间称为GD S, 如果定义在其上的每个连续的Gateaux 可微. 他们证明了GD S E 的特征为(E ×R ) 3中的333w 紧凸子集均是自身w 暴露点的w 闭凸包. 80年代中期, Fab ian 用优化理论称为罚函数的方法证明了:若E 是GD S, 则E ×R 也是, 这一结果被凸分析的开拓者之一Phelp s 誉为Gateaux 可微性空间以来的唯一的一个正面方向的进步. 目前我们可将GD S 的特征概括为E 3中每个非空w 3紧凸子集均是自身w 3暴露点的w 3闭凸包. 最近, 本文作者和Fab ian [44]一起证明了:若E 1、E 2为两个GD S 且其中一个可分, 则E 1×E 2也是GD S, 这一结果被认为是Gateaux 可微性研究领域的重要进展.

7　一般B anach 空间上的凸微分分析

进入90年代, 开拓凸微分分析的空间框架成为该分支的主要研究方向之一. 道理很简单, 其一是A sp lund 空间理论研究已经十分成熟, 并且已经在空间上建立了较为完整的一套非光滑分析和非线性分析理论; 其二是任何B anach 空间上都存在着许许多多的非平凡的具有象定义在A sp lund 空间上的可微性的凸函数, 搞清楚这类凸函数的特征就显得自然而重要了.

1995年, T ang W ee 2Kee [45]首先证明了定义在可分Banach 空间E 上的连续凸函数f 具有FD P (即若g 是连续的凸函数且g ≤f 则g 在一个稠密的G ∆集上处处F r échet 可微) 的充分必要条件为它的次微分映象5f (E ) 可分. Giles 和Sciffer [46]96年证明了若5f (E ) 在E 的每个可分子空间上均可分, 则f 在E 的一个稠密的G ∆集上处处F r échet 可微.

[47, 48]本文作者和史树中教授等, 提出了FD P 的概念, 并且证明了f 具有FD P 的充分必要

条件为5f (E ) 在E 的每个可分子空间上均可分, 这也等价于cl [5f (E ) ]具有RN P. 本文作者[49]又进一步证明了对任何B anach 空间E , 均存在着一个局部凸的相容拓扑Σ使得E 上的具有FD P 的函数恰恰是以Σ连续的凸函数的全体.

[50]关于Gateaux 可微性的结论, 我们也有

　F 具有GD P Ζdom f 3的每个等高集均具有w 3暴露性质

另一个方面是关于“瘦”集上的微分问题(见文献[51～54]等) .

8　局部凸空间中的变分原理

周知, 各种各样的变分原理在非线性分析中起着重要的作用, 这一事也引起了数学家们的高度重视. 一般说来, 变分原理可翻译成扰动优化:即对给定的广义实值函数f 和Ε>0, 我们

要求一个L i p sch itz 常数小于Ε的函数h 使得f +h 达到最小值. 因而f 的下半连续性和下方有界性就变成一种自然的假设条件. 在此种情况下, 若f 的定义域E 是一个Banach 空间, Ekeland 变分原理[27]总是能保证的. 若E 具有某种光滑的等价函数, 我们还可要求h 具有相应的可微性[5, 55]. 正如第四节所述, 文献[22, 30, 31, 33]都分别考虑了Banach 空间中某类有界集上的强变分问题, 但在比B anach 空间更广泛的一类重要的拓扑线性空间中, 却很少发现一般的变分原理. 值得指出的是, 早在1972年,D anes [56]就给出了一个几何定理(现称为D anes’drop 定理) , 后来人们证明了它与著名的Ekeland 变分原理是等价的. 1996年, [57]证明了D anes’D rop 定理在序列完备的局部凸空间中的仍然成立, 一个几何形式的变分原理.

本文作者和其博士研究生受Stegall, au 59]给出了局部.

9　, .

1) S A sp lund 空间?

这是凸微分分析中最重要的遗留问题之一. 尽管T alagrand [41]Coban 和Kenderov [42]均举出了凸函数的Gateaux 可微点集不必是G ∆集的反例, 但这些反例的定义空间均不是GD S , 这就是说, 上述问题仍然悬而未解. 这一问题的肯定答案等导致弱A sp lund 的特征已经找到.

2) 弱A sp lund 空间的闭子空间是否必为弱A sp lund 空间?

这无疑是弱A sp lund 空间理论中最基本的问题之一. 目前的最好结果是弱A sp lund 空间的商空间仍是弱A sp lund 空间.

3) 两个弱A sp lund 空间的乘积空间是否仍然是弱A sp lund 空间?

目前, 这一问题毫无进展, 甚至不知道一个弱A sp lund 空间与实直线R 的乘积E ×R 是否仍是弱A sp lund 空间.

4) GD S 的闭子空间是否仍然是GD S ?

5) 两个GD S 的乘积是否仍为GD S ?

目前这一问题的最好结果是, 若其中之一可分, 则答案肯定.

6) 设f 与g 为E 上的两个具有GD P 的凸函数, 那末, f +g 是否也具有GD P ?

这个问题的肯定答案将导致问题5) 的完全肯定答案.

7) 除定义之外, 能否给出弱A sp lund 空间的非平凡特征?

8) A sp lund 空间是可分性决定的, 即一个B anach 空间E 是A sp lund 空间当且仅当它的每个可分闭子空间是A sp lund 空间, 我们进一步问, A sp lund 空间是否为基决定的? 即若一个B anach 空间E 的每个具有Schauder 基的闭子空间是A sp lund 空间, 是否E 必为A sp lund 空间?

9) 设E 为可分的B anach 空间, p 为其上的一个等价包数, 设G 为p 的Gateaux 可微点的全体, 若5p (G ) 可分, 是否E 3一定可分?

10) A sp lund 空间上的两个局部L i p sch itz 函数是否必有公共的可微点? 或等价地, 设P 为从A sp lund 空间E 到实平面R 2的L i p sch itz 映射. P 是否必存某点处F r échet 可微?

这是一个非常著名的问题, 首先由P reiss [38]正式提出, 后来(1995) 又被L inden strass 列为

. 关于L i p sch itz 映射的Gateaux 可微性, 最好的结果分别B anach 空间理论最重要的问题之一

由A ron szajn [60]和Phelp s [61]获得:设T 为可分B anach 空间E 到具有RN P 的B anach 空间的

. 当E 不可分时, 上述L i p sch itz 映射, 则在E 中除去一个Gau ss 零测度集, 处处Gateaux 可微

结论不再成立[62], 而任何两个无限维的B anach 空间之间均存在着无处F r échet 可微的

. 若上述问题得以解决(不论肯定与否) , 我们便彻底清楚了L i p sch itz 映射的可L i p sch itz 映射

微性问题.

11) 什么样的条件才能够保证定义的一般B anach 空间上的L i p sch itz f 具有F r échet 可微点?

12) 是否对任何B anach 空间E , P 的凸函数的全体恰恰是E 上所有的Σber konvexe M engen in linaeren no rm ierten r um en [J ]. Studia M ath . , 1933, 4:70-84. [1]　M S . [2]　Phelp s R R . Convex functi on s , mono tone operato rs and differen tiab ility [A ]. L ect . N o tes in M ath .

[M ]. Sp ringer 2V erlag , 1989, 1364.

[3]　Fab ian M J . Gateaux differen tiab ility of Convex functi on s and topo logy , w eak A sp lund spaces [M ].

John &Son s , Inc . , 1997.

[4]　Giles J R . Convex anglysis w ith app licati on in differen tiati on of convex functi on s [A ]. R es . N o tes in

M ath . [M ]. P itm an 2Bo ston 2L ondon 2M elbou rne , 1982, 58.

[5]　Bo rw ein J M . A s moo th variati onal P rinci p le w ith app licati on s to subdifferen tiab ility and to

. Am er . M ath . Soc . , 1987, 303:517-527. differen tiab ility of convex functi on s [J ]. T ran s

[6]　D eville R , Godefroy G , Zizler V . Smoo thness and R eno rm ings in Banach spaces [M ]. L ongm en Sci . &

T ech . 1992, 64.

[7]　Rochafellar R T . Convex analysis [M ]. P rinceton U n iv . P ress , 1970.

[8]　Rockafelar R T , W ets J J 2B . V ariati onal analysis [M ]. N ew Yo rk :Sp ringer , 1997.

[9]　Roberts A W , V arbeg D E . Convex functi on s [M ]. N ew Yo rk 2San F rancisco 2L ondon :A cad . P ress ,

1973.

[10]　A ub in J P , Cellina A . D ifferen tial inclu si on s , Set 2valued m ap s and variab ility [M ]. Sp ringer 2V erlag ,

1984.

[11]　Barbu V , P recupanu T . Convex ity and op ti . , D . m izati on s in Banach spaces [M ]. M ath . and Its A pp l

. Company , 1986. R eidel Pub l

[12]　史树中. 凸分析[M ]. 上海:上海科技出版社, 1990.

[13]　Castaing C , V aladier M . Convex analysis and m easu rab le m u ltifuncti on s [J ]. L ect . N o tes in M ath .

[C ]. Sp ringer 2V erlag , 1977, 580.

[14]　D iestel J , U h l J J . V ecto r m easu res [M ]. M ath . Su rveys 15, Am er . M ath . Soc . , 1997.

[15]　Fab ian M . O n m in i m um p rinci p les [J ]. A cta Po lytechn ica , 1983, 20:109-118.

[16]　A sp lund E . F r échet differen tiab ility of convex functi on s [J ]. A cta M ath . , 1968, 121:31-47.

[17]　N am i oka I , Phelp s R R . Banach spaces w h ich are A sp lund spaces [J ]. D uke M ath . J . , 1975, 42:735

-752.

[18]　R ieffelM A . D en tab le sub sets of Banach spaces , w ith app licati on to a R adon 2N Ikodym theo rem [A ].

. P roc [C ]. Funct . A nal

D . C . , 71-77.

[19]　D avis W J , Phelp s R R . T he R adon 2N ikodym p roperty and den tab le sets in Banach spaces [J ]. P roc .

Am er . M ath . Soc . , 1974, 45:119-122.

[20]　H uff R E . D en tab ility and the R adon 2N ikodym p roperty [J ]. D uke M ath . J . , 1974, 41:111-114.

[21]　John K , Zizler V . A no te on strong differen tiab ility spaces [J ]. Comm en t . M ath . U n iv . Carelinae ,

1976, 17:127-134.

[22]　Stegall C . T he duality betw een A sp lund spaces and w the R p [J ].

Israel J . M ath . , 1978, 29:408-412.

[23]　Co llier J B . T he dual of a space w ith the ]. . ath . 1976, 64:461

-464.

[24]　Cheng ix in w 3tiab ility p roperty , the R adon 2N ikodym P roperty

sp , A M . Sin ica , to appear .

[25]　. A resen tati on of m ax i m al mono tone operato rs by saddle functi on s [J ]. R ev . Roum .

. , 1985, 30:823-837. M . Pu re A pp l

[26]　K rau ss E . M ax i . u . ih re A nw . , m almono tone operato rs and saddle functi on s I [J ]. Zeitsch r . f ür A nal

1986, 5:336-346.

[27]　Ekeland I . Su r les p rob lem s variati onels [J ]. C . R . A cad . Sci . Paris , 1972, 275:1057-1059.

[28]　Ekeland I . O n the variati onal p rinci p le [J ]. J . M ath . A nal , A pp l . , 1974, 47:324-353.

[29]　Stegall C . Op ti m izati on of functi on s on certain sub sets of Banach spaces [J ]. M ath . A nn . , 1978, 236:

171-176.

[30]　W u Congx in , Cheng L ix in . Convex ificati on of nonconvex functi on s and app licati on to m in i m um and

. , 199631, 7:27-36. m ax i m um p rinci p les fo r nonconvex sets [J ]. Compu tersM ath . A pp lic

[31]　Ghou so sub N , L inden strau ss J , M au rey B . A nalytic m artingales and p lu risubharmon ic barriers in

comp lex Banach spaces [J ]. Con temp . M ath . , 1988.

[32]　Ghou ssoub N , M au rey B . G ∆2em beddings in H ilbert space and op ti m izati on on G ∆sets [J ]. M emo irs

Am er . M ath . Soc . , 1986, 349:1-101.

[33]　Ekeland I , L ebou rg G . Generic F r échet differen tiab ility and pertu rbed op ti m izati on p rob lem s in Banach

. Am er . M ath . Soc . , 1976, 224:193-216. spaces [J ]. T ran s

[34]　Fab ian M . Every w eak ly coun tab ly determ ind A sp lund space adm its a F r échet differen tiab le no rm [J ].

. A u str . M ath . Soc . , 1987, 36:367-374. Bu ll

[35]　H aydon R . A coun terexamp le to several questi on s abou t scattered compact spaces [J ]. Bu ll . L ondon

M ath . Soc . , 1990, 22:261-268.

[36]　P reiss D , Phelp s R R , N am i oka I . Smoo th Banach spaces , w eak A sp lund spaces and nono tone

operato rs o r u sco m app ings [J ]. Israel J . M ath . , 1990, 72:257-279.

[37]　P reiss D . D ifferen tiab ility of L i p sch itz functi on s on Banach spaces [J ]. J . Funct . A nal . 1990, 91:312

-345.

[38]　P reiss D . D ifferen tiab ility and m easu res in Banach spaces [A ]. P roc .

Japan :Kyo to , 1990, 923-929.

[39]　W u Congx in , Cheng L ix in . Ex ten si on s of the P reiss differen tiab ility theo rem [J ]. J . funct . A nal . ,

1994, 124:184-193. In ternat . Congr . M ath [C ]. (Conf . Irvin t , Calif , 1966) A cad . P ress , L ondon 2T homp son 2W ash ington ,

[40]　史树中. 非光滑分析[J ]. 数学进展, 1986, 15(1) :9-12.

[41]　T alagrand M . D eux examp les de foncti on s convexes [J ]. C . R . A cad . Sc . Paris , 1979, 228:461-

464.

[42]　Coban M , Kenderov P . D en se Gateaux differen tiab ility of the sup 2no rm in C (T ) and the topo logical

p roperties of T [J ]. C . R . A cad . Bu lgare Sc . , 1985, 38:1603-1604.

[43]　L arm an D G , Phelp s R R . Gateaux differen tiab ility of convex functi on s on Banach spaces [J ]. J .

L ondon M ath . Soc . , 1979, 20:115-127.

[44]　Cheng L ix in , Fab ian M . T he p roduct of a Gateaux differen tiab ility space and a separab is a

Gateaux differen tiab ility space [J ]. P roc . Am er . M ath . Soc . , appear .

[45]　T ang W ee Kee . O n F r échet differen tiab ility of on [. en t .

M ath . U n iv . Caro linae , 1995, 36(2) :.

[46]　Giles J R , Sciffer S . ility of convex functi on s [J ].

. A . . 52:. Bu ll

[47]E . L ee . F r échet differen tiab ility of covex functi on s on non 2A sp lund

. A pp l . , 1997, 214:367-377. ]. J . . A nal

[48]　L ix in , Sh iShuzhong , W ang B ingw u , et al . Generic F r échet differen tiab lity of convex functi on s

. A pp l . , 1998, 225:389-dom inated by a low er sem icon tinuou s convex functi on [J ]. J . M ath . A nal

400.

[49]　Cheng L ix in , W u Congx in . O n A sp lund adjuncti on of a Banach space [J ],to appear .

[50]　Cheng L ix in , T eng Yanm ei . D ifferen tiab ility of convex functi on s on sub linear topo logical spaces and

variati onal p rinci p les in locally convex spaces [J ],to appear .

[51]　V erona M E . M o re on the differen tiab ility of convex functi on s [J ]. P roc . Am er . M ath . Soc . , 1988,

103:137-140.

[52]　R ainw ater J . Yet mo re on the differen tiab ility of convex functi on s [J ]. P roc . Am er . M ath . Soc . ,

1988, 103:773-778.

[53]　N o ll D . Generic F r é. A pp l . , chet differen tiab ility of convex functi on s on s m all sets [J ]. J . M ath . A nal

1990, 147:531-544.

[54]　W u Congx in , Cheng L ix in . A no te on the differen tiab ility of convex functi on s [J ]. P roc . Am er .

M ath . Soc . , 1994, 121:105721062.

[55]　D eville R , Godefroy G , Zizler V . A s moo th variati onal p rinci p le w ith app licati on s to H am ilton 2Jacob i

. , 1993, 111:197-212. equati on s in infin ite di m en si on s [J ]. J . Funct . A nal

[56]　D anes J . A geom etric theo rem u sefu l in non linear functi onal anglysis , Bo ll . U n . M at . Ital . , 1972, 6:

369-375.

[57]　Cheng L ix in , Zhou Yunchai , Zhang Feng . D anes’droptheo rem in locally convex spaces [J ]. P roc .

Am er . M ath . Soc . , 1996, 124:3699-3702.

[58]　Cheng L ix in , T eng Yanm ei . A Strong variati onal p rinci p le in locally convex spaces [J ]. to appear .

[59]　Cheng L ix in , T eng Yanm ei . D ifferen tiab lity of convex functi on s on sub linear topo logical spaces and

veriati onal p rinci p le in locally convex spaces [J ]. to appear .

[60]　A ron sgajn N . D ifferen tialility of L i p sch itgian m app ings betw een Banach spaces [J ]. Studia M ath . ,

1976, 57:147-190.

[61]　Phelp s B R . Gau ssian nu ll sets and differen tiab ility of L i p sch itz m ap on Banach spaces [J ]. Pacif . J .

M ath . , 1978, 772:523-531.

[62]　F itgpatrick S , Phelp s R R

. D ifferen tiab ility of m etric p ro jecti on in H ilbert space [J ]. T ran s . Am er .

M ath . Soc . , 1978, 270:483-501.

[63]　Bou rgin R D . Geom etric A spects of convex sets w ith the R adon 2N ikodym p roperty [A ]. L ect . N o tes

in M ath . [C ]. Sp ringer 2V erlag , 1983. 993.

A nalysis of Infin ite D i m en si onal Spaces and

Convex D ifferen A CH i (D ep t . , X iam U , en Ch ina )

h is is an of the cu rren t statu s of convex differen tial reasaerch . It is in to serve as a b rief view fo r researchers , graduate studen ts and comm on readers in a w ide varity of p u re and app lied analysis areas w ho m igh t u se convex differen tials as

. too ls

Key words :B anach sp ace ; locally convex sp ace ; convex analysis ; differen tiab ility ; analysis of variati on s ; op ti m izati on