三.线性变换的基本性质(1)
三、线性变换的基本性质（1）
学习目标
理解线性变换的基本性质
新课讲解
定义：
→⎡x ⎤⎡λx ⎤1. 数乘平面向量：设α=⎢⎥，λ是任意一个实数，则λα=⎢⎥ ⎣y ⎦⎣λy ⎦→
→→⎡x 1⎤→⎡x 2⎤⎡x 1+x 2⎤α=β=2. 平面向量的加法：设⎢y ⎥，⎢y ⎥，则α+β=⎢⎥ y +y ⎣1⎦⎣2⎦⎣12⎦→
1探究：设向量=⎡⎤，吧此向量先伸长2倍，在按逆时针方向旋转90°；吧此向量先按⎢⎣2⎥⎦
逆时针方向旋转90°再伸长2倍。这两个过程的结果相同吗？
相同，即A （2）=2A.
探究：A (λα) =λA α是否成立呢？ →→
⎡a b ⎤→⎡x ⎤=⎡λax +λby ⎤, λA =⎡λax +λby ⎤ 设A=⎢，α=⎢⎥，则A （λ）⎥⎢⎢⎣λcx +λdy ⎥⎦⎣λcx +λdy ⎥⎦⎣c d ⎦⎣y ⎦所以A (λα) =λA α.
同理，可得出A (α+β) =A α+A β。
性质1：设A 是一个二阶矩阵，α, β是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则
（1）A (λα) =λA α；（2）A (α+β) =A α+A β 。
定理1：设A 是一个二阶矩阵，α, β是平面上的任意两个向量，λ1，λ2是任意两个实数，则A (λ1α+π2β) =λ1A α+λ2A β。
探究：线性变换把平面上的直线（或线段）变成什么图形？
研究y =kx +b 分别在以下变换下的像所形成的图形： →→→→→→→→→→→→→→→→
⎡10⎤①伸缩变换：⎢
②旋转变换：⎢⎥⎢⎣02⎦⎢⎣-1⎤⎡12⎤2⎥ ③切变变换：⎢ ⎥1⎣01⎦22⎦
性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。
（证明见课本P 18）
例 矩阵⎡
课堂小结
1. 数乘平面向量与平面向量的加法运算。
2. 直线在线性变换下的图形。
1⎢⎣20⎤ 对应的线性变换把直线y=x+1变成什么？ 1⎥⎦