专题1.探索中心对称的四边形
探究中心对称的四边形
【知识要点】
【典型例题】
例1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，点F 在DE 上，且AF=CE.
（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；
（2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？证明你的结论； （3）四边形ACEF 有可能是正方形吗？为什么？
例1图
例2. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG//DB交CB 的延长线于G.
（1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？证明你的结论.
例2图
【拓展练习】
1. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于（ ）
A. 45° B. 30° C. 22.5°
D. 15°
2. 矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也是正方形，设△AFC 的面积为S ，则（ ）
A. S=2 B. S=2.4 C. S=4 D. S与BE 长度有关
M
第4题图 第1题图 第3题图
5. 如图，在□
ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于E 、F ，AE
、BF 相交于点M ，已知AB=5 cm，AD=3 cm，则EF 的长度为 cm.
6. 如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF=45°，且AE+AF=，则平行四边形ABCD 的周长是 .
7. 如图，P 是矩形ABCD 内的一点，PA=3 cm，PD= 4cm，PC= 5cm，则PB= cm..
第5题图 第6题图 第7题图
8. 如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 点的点，且CE ＝CF .
（1）求证：△ABE ≌△ADF ；
（2）过点C 作CG ∥EA ，交AF 于点H ，交AD 于点G .
D
若∠BAE =25︒，∠BCD =130︒，求∠AHC 的度数.
B
第8题图
9. 如图，在△ABC 中，已知∠BAC =45︒，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝2，DC ＝3. 分别以AB ，AC 为对称轴，作出△ABD ，△ACD 的轴对称图形，点D 的对称点分别为E ，F ，延长EB ，FC 交于点G . （1）证明四边形AEGF 是正方形；
（2）设AD ＝x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出AD 的值.
F
G
第9题图
10. 如图，在矩形ABCD 中，点P 沿AB 边从点A 开始几点B 以2cm /s AB=12cm，BC=6cm，的速度移动，点Q 沿DA 从点D 开始向点A 以1cm /s 的速度移动，如果P , Q 同时出发，用
t (s ) 表示移动的时间(0≤t ≤6) .
（1）求当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC 的面积，并探索一个与计算结果 有关的结论.
D C
第10题图
11. 如图所示，正方形纸
片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，将点C 折叠到MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ . 连结QP ，PB ，求PN ，MP 和CQ 的长.
M A
Q
B N
第11题图
【归纳小结】