机械优化设计(A)-2011答案

课程名称: 课程名称

机械优化设计

（A 卷

开卷）

3.

简述一维搜索方法的分类。(15 分)

适用专业年级 :

题号 一 45 二 55

(要点)一、试控法。按一定的规律来确定区间内插入点的位置。如黄金分割法。

机械设计 0801、0802、0803、0804 考试时间 100 分钟

二、插值法或函数逼迫法。根据某点处的的一些信息，构造一个插值函数来逼近原来函数。常见的有二次插 值法、三次插值法等。

三

四

五

六

七

八

九

十

总分 100

学号

题分 得分

统分人 签名

湖南工业大学考试试卷纸

姓名

考生注意事项：1、本试卷共 2 页，试卷如有缺页或破损，请立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。(答案请写在 密封线内和纸卷正面，否则不记分)

一、 简述

1. 简述优化问题数学模型的三个要素，并给出通用的数学模型表述。(15 分) 一、设计变量。在优化设计过程中需要不断进行修改、调整，一直处于变化状态的基本设计参 数称为设计变量，又叫优化参数。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示 T x = [x1　x2 　　⋅ 　xn ] 称作设计变量向量。 ⋅⋅ 二、 约束条件。 一个可行设计方案必须满足的某些设计限制条件称为约束条件。 在工程问题中， 根据约束的性质可区分为两大类：性能约束（针对性能要求提出的限制条件）和侧面（也称边 二、计算题 界）约束（对变量取值范围加以限制的约束） 。若按数学表达形式可分成等式约束和不等式约 2 1. 通过无约束优化问题的极值条件，求函数 f ( x1 , x 2 ) = x12 + x 2 − 4 x1 − 2 x 2 + 3 的极值。(15 分) 束两种类型。 三、目标函数。将所有可行设计中能最好地反映该项设计所要追求的某些特定目标表示成设计 解： 首先，根据极值的必要条件求驻点。 首先，根据极值的必要条件求驻点。 变量的数学函数称为目标函数。 最优化问题的数学模型

班级

密封线

课程名称

min f ( x) n  x∈R  (j 受约束于　g j ( x) ≤ 0　　 = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, m)  (k 　　　　　hk ( x) = 0 　　 = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, l

2. 写出方向导的表达式。(15 分)

 ∂f   ∂x   x10  2 2 x1 − 4  0  0 ∇f ( x 0 ) =  1  =   = 0 得驻点为 x =  x  = 1   ∂f   2 x2 − 2  x 0    20     ∂x2  x 0  

∂f ∂d

=

x0 n

∂f ∂x1

cos θ1 +

x0

∂f ∂x2

cos θ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ +

x0

∂f ∂xn

cos θ n

x0

 ∂2 f  ∂x 2 H ( x0 ) =  2 1  ∂ f  ∂x ∂x  2 1

∂2 f   2 0  ∂x1∂x2  = 2  ∂ f  0 2  2 ∂x2  x 0 

∂2 f ∂x12

T

=∑

i =1

∂f ∂xi

cos θ i

x

0

则的一阶主子式和二阶主子式分别为

= 2 > 0 和 H ( x0 ) =

x0

2 0 0 2

=4>0

其中的 cos θ i 为 d 方向和坐标轴 xi方向之间夹角 的余弦。 的余弦。

为正定矩阵。 故 H ( x ) 为正定矩阵。

0

x 0 = [2,1] 为极小点，相应的极值为 f ( x 0 ) = 2 为极小点，

系(院)

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2.

2 求二元函数 f ( x1 , x 2 ) = x12 + x 2 + 4 x1 − 3 x 2 + 3 在 x 0 = [0

0]T 处函数变化率最大的方

0

向和数值。(20 分) 函数变化率最大的方向就是梯度方向， 表示，其数值就是梯度的模。 解 函数变化率最大的方向就是梯度方向，用单位向量 p 表示，其数值就是梯度的模。计算 如下： 如下：

∑ [h ( x)]

v =1 m k

p

2

对应于等式约束函数的惩罚项

学号

 ∂f   ∂x  2 x1 + 4  4  ∇f ( x 0 ) =  1  =   = − 3  ∂f  2 x 2 − 3 x 0    ∂x 2  0  x

∑ max[0, g

u =1

u

( x)]2 对应于不等式约束函数的惩罚项

2 　ϕ ( x, r ) = x12 + 2 x 2 − r (1 − x1 ) 2

姓名

 ∂f   ∂f  + ∇f ( x ) =   ∂x   ∂x  1  2

0

2

  =  

2

(− 4)2 + (− 3)2

=5

湖南工业大学考试试卷纸

4   4    ∇f ( x 0 ) − 3  5  p= = =  5 ∇f ( x 0 ) − 3   5  

班级

密封线

3． 简述外点惩罚函数法的原理，并用外点法构造下列问题的惩罚函数

2 min f ( x) = x12 + 2 x 2

s.t.

g ( x) = 1 − x1

(20 分)

课程名称

外点惩罚函数法简称外点法，是将新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐 渐逼近约束边界上的最优点。外点法可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。 对于约束优化问题

min 　　　 f ( x)  (u s.t.　g u ( x) ≤ 0　　 = 1,2,L m) 　 　　h ( x) = 0　　 = 1,2, L p

外点法构造的惩罚函数形式为

ϕ ( x, r k ) = f ( x) + r k ∑ max[0, g u ( x)]2 + r k ∑ [hk ( x)]2

u =1 v =1

k 式中， 是一个递增的正值数列， 式中，惩罚因子 r 是一个递增的正值数列，即

m

p

系(院)

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