层次分析法实例

用层次分析法确定效用因数A

目标：确定效用因数A

准则：病人住院总时间，每天就诊病人数，病型

方案：外伤病人等待时，单眼白内障病人等待时间，双眼白内障病人等待时间，青光眼病

人等待时间，视网膜病人等待时间

解决步骤：

1.建立递阶层次结构模型

图1 效用因数层次结构图

2.设置标度

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：

aij1/aji,aii1(i,j1,2,,n) 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

3.构造判断矩阵

表1 判断矩阵A—B

A B1 B2 B3

B1 1 4 8

B2 1/4 1 4

B3 1/8 1/4 1

表2 判断矩阵B1—C

B1 C1 C2 C3 C4 C5

C1 1 1/2 1 2 3

C2 5 1 2 3 4

C3 1 1/2 1 2 3

C4 1/2 1/3 1/2 1 2

C5 1/3 1/4 1/3 1/2 1

表3 判断矩阵B2—C

B2 C1 C2 C3 C4 C5

C1 1 3 5 1 7

C2 1/3 1 3 1/3 5

C3 1/5 1/3 1 1/5 3

C4 1 3 5 1 7

C5 1/7 1/5 1/3 1/7 1

表4 判断矩阵B3—C

B3 C1 C2 C3 C4 C5

C1 C2 C3 C4 C5

1 1/9 1/7 1/9 1/9

9 1 3 1 1

7 1/3 1 1/3 1/3

9 1 3 1 1

9 1 3 1 1

4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验 ○1将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bji○2将归一化的矩阵按行求和：ci

jai

/jia

i

；

b

j

ij

；

T

○3将ci归一化：得到特征向量Ww1,w2,,wn,wici/

c ,

ii

W即为A的特征向量的近似值；

○4求特征向量W对应的最大特征值：

max

○5进行一致性检验： C.I.

(AW)i1

() ; niwi

n1

。

maxn

11/41/81/131/211/11



11/4，按列归一化后为B4/134/212/11 1).A4848/1316/218/111

2).按行求和并归一化后得W0.072,0.227,0.701

T

11/41/8

TT

11/40.072,0.227,0.7010.216,0.689,2.183 3).计算特征根：AW4841

4).计算最大特征根：

max

i1

n

AWi

Wi

10.8643.2827.396()3.054 30.0720.2270.701

5).进行一致性检验：

C.I.

maxn

n1



3.0543

0.027

31

查同阶平均随机一致性指标（表6所示）知R.I=0.89，（一般认为CI

断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

表6 平均随机一致性指

C.R.

C.I.0.027

0.047

同理可得剩余判断矩阵的特征根，特征向量，一致性检验。 判断矩阵B1—C：

W 0.171, 0.076,0.131,0.234,0.388 max5.3547 C.R. 0.0790.1；

判断矩阵B2—C：

T

W0.055,0.127,0.259,0.055,0.505 max5.13 7C.R. 0.030

判断矩阵B3—C：

T

W(0.651,0.063,0.162,0.063,0.063)T max5.08 9C.R. 0.020

所以，B1—C，B2—C，B3—C全通过一致性检验。 5.层次总排序

获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：

Wiwjvij

j

表7 层次总排序表

B1

层次

0.072

C1 C2 C3 C4 C5

0.171 0.076 0.131 0.234 0.388

B2 0.227 0.055 0.127 0.259 0.055 0.505

B3 0.701 0.651 0.063 0.162 0.063 0.063

总排序权重

0.481 0.078 0.182 0.073 0.186

6.结论

效用因数A与各类病人的等待时间的关系满足以一下表达式：

A0.481t10.078t20.182t30.073t40.186t5