第四章 解线性代数方程组的直接方法b
第四章 解线性代数方程组的直接方法
在自然科学和工程技术问题中，涉及到的许多数值计算问题，最终都要归结为解线性代数方程组AX =b ．其中A ∈R ，b ∈R ，A 是可逆的．本章和下一章分别讨论解方程组的直接方法和迭代方法．所谓直接法就是通过有限次的精确运算能得到真解的一类数值方法．从本质上讲，直接方法的原理是找到一个可逆矩阵M ，使得MA 是一个上角阵，这个过程称为“消元”过程．消元之后再进行“回代”，即求解MAX =Mb ．实际计算过程中，不必明显地计算出矩阵M ，而只须把MA 和Mb 计算出来．这类直接方法中最基本和最简单的就是Gauss 消元法，本章首先讨论Gauss 消元法和矩阵分解法，以及Gauss 消元法在各种情况下的变形，并分析其误差． n ⨯n n
§1 Gauss 消元法
1.1 Gauss 消元法的基本思想
考虑n 阶解线性方程组：
⎧a 11x 1+a 12x 2+a 1n x n =b 1⎪a x +a x +a x =b ⎪2112222n n 2 ⎨ ⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+a nn x n =
b n
用矩阵和向量的记号表示，则有 (1.1)
AX =b (1.2)
其中A =(a ij ) n ⨯n 为可逆矩阵，X =(x 1, x 2, , x n ) T ，b =(b 1, b 2, , b n ) T ．
消元法分消元和迭代两个过程，消元过程是将(1.1)化成如下形式的上三角方程组：
（1）（1）（1）(1)⎧a a 11x 1+a 12x 2+1n x n =b 1⎪（2）（2）(2)a a ⎪22x 2+2n x n =b 2 (1.3) ⎨ ⎪
（n）(n ) ⎪a nn x n =
b n ⎩
(n ) (n ) 迭代过程是从(1.3)的最后一个方程直接解出x n ，x n =b n ，然后依公式/a nn
x k =(b (k )
k -
j =k +1∑a n (k ) kj (k ) k =n -1, x j ) a kk ,3,2,1 (1.4)
依次求出x n -1，x n -2，, , x 2，x 1，称为回代求解．消元过程的实质是对增广矩阵(A , b )
(n ) 作一系列初等变换，最后把A 化为上三角矩阵A ，得(A , b ) ，因为对(A , b ) 每做一次
(n ) (n ) (n ) () n 初等变换，相当于对方程组(1.1)进行一次同解变换，所以与(A , b
程组(1.3)是(1.1)的同解方程组． ) 相对应的上三角方
(1)(1)设方程组(1.1)的增广矩阵(A , b ) =(A , b ) ，不妨设a 11≠0，并令
1) (i =2, 3, n ，第一步消元是用, m i 1乘第一行然后加到第i (i =2,3, m i 1=a i (1/a 1(1
行上去，从而把第一列对角元以下的元素全化为0，得
（1）（1）（1）⎛a a a b 1(1)⎫11121n （2）（2）(2)⎪a a b 222n 2⎪ (1.5) (A (2), b (2)) = ⎪ ⎪（2）（2）(2)⎪ a 2n a nn b n ⎭⎝, n )