新课标高中数学微积分精选习题
高二数学微积分练习题
一、选择题：
1．已知自由落体运动的速率v =gt ，则落体运动从t =0到t =t 0所走的
路程为
（ ）
2
2
A ．gt 03 B ．gt 2gt gt
2
0 C ．02 D．06
[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是
A ．23
B ．9-2
C ．
323
D ．353
[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若
⎰
a
(2x +1
1
x
) dx =3+ln 2，且a ＞1，则a 的值为
（ ）
A ．6
B 。4
C 。3
D 。2
[解析] 4、用
S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )
A ．⎛c ⎠f (x )d x B ．|⎛c f (x )d x |
a
⎠a
C ．⎛b ⎠f (x )d x ＋⎛c f (x )d x
a
⎠b
D ．⎛c ⎠f (x )d x －⎛b f (x )d x
b
⎠a
5、已知f (x ) 为偶函数且⎛6⎠ f (x )d x ＝8，则⎛6f (x )d x 等于( )
⎠-6
A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6、函数y ＝⎛x ⎠(cost ＋t 2＋2)d t (x >0)( )
-x
A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确
⎧x ＋1 (－1≤x
⎨⎪cosx (0≤x ≤π
的图象与x 轴所围成的封闭图
⎩
2)
形的面积为( )
A. 32．1 C．2 D.128、⎛⎜3|x2
－4|dx＝( ) ⎠0
A. 21223 B. 3 C. 233 D. 253 二、填空题：
9．曲线y =x 2
, x =0, y =1，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．10．由y =cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应
表达为 ．
11、若等比数列{a 2
n }的首项为3且a 4＝⎛4⎠ (1＋2x )d x ，则公比等于____．1
12、. 已知函数f (x ) ＝3x 2＋2x ＋1，若⎛1⎠f (x )d x ＝2f (a ) 成立，则a ＝________
-1
一，选择题 二、填空题
9、 10、 11、 12、 三、解答题：．
13．计算下列定积分的值
π
2
2
（1）⎰x dx 1(x -1) 5
dx ；
（2）
⎰2-πcos
2
14．求曲线y =-x 3+x 2+2x 与x 轴所围成的图形的面积．
15．已知f(a)＝⎛⎠10
(2ax2－a 2x)dx ，求f(a)的最大值；
16．设y =f （x ）是二次函数, 方程f （x ）=0有两个相等的实根，且
f ′（x ）=2x +2.
（1）求y =f （x ）的表达式；
（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图
形的面积二等分，求t 的值.
参考答案
一、1．C ；2．C ；3．D ；4．D ；5 A 6 C 7．D 8；C 二、9⎰(1-x 2) dx 10．⎰|cos x |dx ；11、3 12、-1或1/3 2320
（2）依题意，有所求面积=⎰0. -1(x +2x +1) dx =(x +x +x ) |-1=
1
313
（3）依题意，有
⎰
-t -1
2
(x 2+2x +1) d x =⎰0(x +2x +1) d x ， -t
12π
13132-t 20
(x +x +x ) |=(x +x +x ) |∴-1-t ， 33
00三、15、[解析]
取F (x ) ＝23ax 3－122
2
a x
则F ′(x ) ＝2ax 2
－a 2
x ∴f (a ) ＝⎛1(2ax 2
－a 2
⎠x )d x
＝F (1)－F (0)＝212
3－2
1⎛22 ⎝a －32⎭29
∴当a ＝23时，f (a ) 有最大值2
9
.
16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2. ∴f （x ）=x 2+2x +c
又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.
x ）=2ax +b ， －1t 3+t 2－t +13
3
=13
t 3－t 2+t ， 2t 3－6t 2+6t －1=0，
∴2（t －1）3=－1，于是t =1－1
3
2
. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.