第四节换元积分法赵树嫄
第四节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第五章
怎样应用凑微分法 ?
∫
= =
f [ϕ ( x )] ⋅ ϕ ′ ( x ) dx
∫ ∫
f [ϕ ( x )]d [ϕ ( x )] 凑微分 f ( u ) du
= F (u) + c
1
= F [ϕ ( x )] + c
∫ (a x + b) ∫u
m m
5
问:
∫ cos 5 x dx = ?
例. 求
dx ( m ≠ −1).
∫ cos x dx = sin x + c 或 ∫ cos u du = sin u + c
视 5x = u
利用微分形式不变性
解: 令 u = a x + b , 则d u = adx , 故 原式 =
= 1 1 1 du = ⋅ u m +1 + C a a m+1 +C
1 ( a x + b) m + 1 a ( m + 1)
d (sin 5 x ) = cos 5 x d (5 x )
d ( 5 x ) = 5dx
注: 当 m = −1时
1 1 ∫ cos 5 x dx = 5 ∫ cos 5 x d (5 x ) = 5 sin 5 x + c
2
∫ ax + b =
dx
1 ln a x + b + C a
6
基本思路
设
[例1]
可导,则有
∫
1 2 − 5x
dx
向哪个积分公式凑 ?
F ′( u) = f ( u) ,u = ϕ ( x )
∫
1 u
du = 2 u + c
dF [ϕ ( x )] = f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx ∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = ∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x ) dx
F [ϕ ( x )] + C = F ( u)+ C u=ϕ ( x )
[解]
= ∫ f ( u)du u=ϕ ( x )
第一类换元法 第二类换元法
∫ f (u) du
3
dx 2 − 5x 令u = 2− 5 x 1 1 1 d (2 − 5 x) = − =− ∫ 5 2 − 5x 5
∫
1
∫
1 du u
=−
2 2 u + C = − 2 − 5x + C 5 5
7
一、第一类换元法
定理1:(凑微分法) (也称配元法)
设 ∫ f ( u )du = F ( u ) + c , 且 u = ϕ ( x )可微 , 则
[例2] ∫ tan xdx
[解]
∫ f [ϕ ( x )] ⋅ ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + c
∫ tan x dx = ∫ cos xdx = ∫ cos x sin xdx
= −∫ 1 du u
sin x
1
令 cos x = u
= − ln u + C = − ln cos x + C
4 8
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1 1 + sin x +C ln 2 1 − sin x 1 + sin x +C cos x
15
= ln
11
= ln sec x + tan x + C
[例 5 ]
∫
dx x 1+ x
[例9 ]
∫x
ln 2 x 1 + ln x
dx
[解]
原式 = 2 ∫
d 1+
x x
[解] 原式 = ∫
1 + ln x + ln 2 − 1 d (1 + ln x) 1 + ln x
1
= 2∫
d (1 + 1+
x) x
= ∫ (1 + ln x ) 2 d (1 + ln x )
+ (ln 2 − 1)∫ (1 + ln x ) 2 d (1 + ln x )
12
−
1
= 4 1+
x +C
3 1 2 = (1 + ln x ) 2 + 2(ln 2 − 1)(1 + ln x ) 2 + C 3 16
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(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
cos 2 x = 1 (1 + cos 2 x ) ; sin 2 x = 1 (1 − cos 2 x ) ; 2 2
万能凑幂法
∫ f (x ∫
) x n −1 d x = 1 ∫ f ( x n ) d x n n n 1 n 1 1 f ( x n ) dx = n ∫ f ( x ) x n d x x
n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
24
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为了作变量回代 , 将 I 改写为
例如:求 I = ∫
dx x
2
I = 2( t + sin t ⋅ cos t ) + C
根据代换函数 x = 2 sin t , 作一个 直角三角形
a2 + x2
(a > 0)
dx x
2
a +x
2
2
=−
1 1 1 ⋅ d( ) 2 1 2 x a (x) +1 x
1 t
2
t 4− x
2
x
当 x > 0时 , 令 x =
I = ∫ 4 − x 2 dx x x = 2 arcsin + ⋅ 4 − x 2 + C 2 2
1 1 1 t I = −∫ ⋅ d ( ) = −∫ dt x a 2 ( 1 )2 + 1 x a 2t 2 + 1 x
33
1 22 1 a 2 + x2 = − 2 a t +1 +c = − 2 +c a a x 小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1) ( 2) (3) ( 4) (5 )
37
[例3 ] 求 I = [解]
∫
dx x2 + 9
令 x = 3 tan t
∫ f ( x , n ax + b ) d x , 令 t = n a x + b ∫ f ( x , n c x+d )dx , 令 t = n c x +d ∫ f (x , ∫ f (x , ∫ f (x ,
a x+b a x+b
x 2 + 9 = 3 tan2 t + 1 = 3 sec2 t = 3 sec t dx = 3 sec2 tdt
3 sec 2 t =∫ dt = ∫ sec t dt 3 sec t x2 + 9 dx
= ln sec t + tan t + C
34
第 四 节 讲
a 2 − x 2 ) dx ,令 x = a sin t 或 x = a cos t a 2 + x 2 ) dx ,令 x = a tan t 或 x = a sh t x 2 − a 2 ) dx , 令 x = a sec t 或 x = a ch t
38
∫
I = ln sec t + tan t + C sec t = ⇒ x2 + 9 3 = ln
x2 + 9
x
( 6)
∫ f (a
x
) dx , 令 t = a x
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
t
3
∫
dx x2 + 9 x+
x2 + 9 x + + c1 3 3
(16) (17) (18) (19)
∫ tan x d x = ∫ cot xdx = ∫ sec xdx = ∫ csc xdx =
− ln cos x + C ln sin x + C ln sec x + tan x + C
= ln
x2 + 9 + c1 = ln x + x 2 + 9 + c 3
35
ln csc x − cot x + C
39
问:二次根式去掉根号 还有其他 的方法吗? dx 例如 , 求 I = ∫ (a > 0) 2 2 x −a
令 x = a cht
I =
( 20) ( 21) ( 22) ( 23) ( 24)
( 0
∫
1 ⋅ a sht dt = a sht
∫ 1 dt
36
“双曲代换” 和 “倒数代换”
1 x d x = arctan + C a a a + x2 1 x−a 1 ∫ x 2 − a 2 d x = 2a ln x + a + C 1 x ∫ 2 2 d x = arcsin a + C a −x 1 2 2 ∫ 2 2 d x = ln( x + x + a ) + C x +a 1 ∫ 2 2 d x = ln x + x 2 − a 2 + C x −a
∫
1
2
40
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−1
令 t = 1 + x2
= − arcsin e − x + C ( 3)
x 令 t = 1+ e
解: 原式 = − ∫
de
∫ x ( x 7 + 2)
令t= x
1
dx
1− e
42
46
x2 x2 + a2 x=1, 得 解: 令 t t 原式 = − ∫ 2 2 d t a t +1 1 d ( a 2 t 2 + 1) 1 =− 2∫ = − 2 a 2t 2 + 1 + C 2 2 2a a t +1 a =− x2 + a2 a2 x +C
43
例8. 求
∫
dx
.
2. 求不定积分
∫
2 sin x cos x 1 + sin 2 x 2 + sin 2 x d(1 + sin 2 x )
d x.
解: 利用凑微分法 得 , 原式 =
∫
1 + sin 2 x 2 + sin x 2t 2
2
令t = 1 + sin 2 x
1 d t = 2 ∫ (1 − )d t 1+ t2 1+ t2 = 2t − 2 arctan t + C =∫ = 2 [ 1 + sin 2 x − arctan 1 + sin 2 x ] + C
47
例9. 求 ∫
dx ( x + 1)
3
解: 原式 = ∫
=∫ =∫
x2 + 2x dx
3
.
令x + 1 = 1 t
( x + 1) ( x + 1) − 1 t3 1 t2 (− 2 ) d t = − ∫ dt 1 −1 t 1− t2 2
2 t
(1 − t 2 ) − 1 1− t
2
dt = ∫ 1− t2 d t − ∫
1 1− t2
dt
= 1 t 1 − t 2 + 1 arcsin t − arcsin t + C 2 2
2 = 1 x + 22x − 1 arcsin x1 1 + C 2 2 +
( x + 1)
44
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