初二数学-特殊四边形中的动点问题(教师版)
特殊四边形中的动点问题及解题方法
1、 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D
以1cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts. (1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形? (2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形? (3)当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形?
分析:
(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ. (2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE. (3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.
所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可. 解答: 解:(1)∵四边形PQCD平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得:t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.
(2)过D作DE⊥BC于E 则四边形ABED为矩形 ∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形 ∴QC-PD=2CE
即3t-(24-t)=4 解得:t=7(s)
即当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形.
(3)由题意知:QC-PD=EC时,
四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2
解得:t=6.5(s)
即当t=6.5(s)时,四边形PQCD为直角梯形. 点评:
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中.
2、 如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点
F,交∠ACB内角平分线CE于E. (1)试说明EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论;
(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论.
分析:
(1)根据CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等的角,即∠OEC=∠ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.
(2)利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形. (3)利用已知条件及正方形的性质解答. 解答: 解:(1)∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠BCE, ∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠ECB, ∴∠OEC=∠OCE, ∴OE=OC, 同理,OC=OF, ∴OE=OF.
(2)当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形. 如图AO=CO,EO=FO,
∴四边形AECF为平行四边形, ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE= ∠ACB, 同理,∠ACF= ∠ACG,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°, ∴四边形AECF是矩形.
(3)△ABC是直角三角形 ∵四边形AECF是正方形,
∴AC⊥EN,故∠AOM=90°, ∵MN∥BC,
∴∠BCA=∠AOM, ∴∠BCA=90°,
∴△ABC是直角三角形. 点评:
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论(1),再利用结论(1)和矩形的判定证明结论(2),再对(3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.
3、 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点
C作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
(4)探究:t为何值时,△PMC为等腰三角形.
分析:
(1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解;∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM:CA=CN:CB,(2)CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM; 四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解;
(3)可先根据QN平分△ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值.然后根据得出的t的值,求出△MNC的面积,即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值. (4)由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论: ①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值.
②当CM=CP时,可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.
③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值. 综上所述可得出符合条件的t的值. 解答: 解:(1)∵AQ=3-t ∴CN=4-(3-t)=1+t
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42 ∴AC=5
在Rt△MNC中,cos∠NCM=
= ,CM=
.
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形 ∴PC=QD,即4-t=t 解得t=2.
(3)如果射线QN将△ABC的周长平分,则有: MN+NC=AM+BN+AB
即:
(1+t)+1+t= (3+4+5) 解得:t= (5分) 而MN= NC= (1+t) ∴S△MNC=
(1+t)2= (1+t)2
×4×3
当t= 时,S△MNC=(1+t)2= ≠
∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.
(4)①当MP=MC时(如图1) 则有:NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2(1+t) 解得:t=
②当CM=CP时(如图2) 则有:
(1+t)=4-t 解得:t=
③当PM=PC时(如图3) 则有:
在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2 而MN= NC= (1+t)
PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3
∴[ (1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2 解得:t1=
,t2=-1(舍去) ,t=
时,△PMC为等腰三角形
∴当t= ,t=
点评:
此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法. 4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O⇒B⇒A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标; (2)设点Q的运动时间为t(秒),△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;
(3)当S= 485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.
分析:
(1)分别令y=0,x=0,即可求出A、B的坐标; (2))因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A的时间是8秒,点P的速度是2,从而可求出,
当P在线段OB上运动(或0≤t≤3)时,OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动(或3<t≤8)时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,作PD⊥OA于点D,由相似三角形的性质,得 PD=48-6t5,利用S= 12OQ×PD,即可求出答案; (3)令S= 485,求出t的值,进而求出OD、PD,即可求出P的坐标,利用平行四边形的对边平行且相等,结合简单的计算即可写出M的坐标. 解答: 解:(1)y=0,x=0,求得A(8,0)B(0,6), (2)∵OA=8,OB=6,∴AB=10.
∵点Q由O到A的时间是 81=8(秒), ∴点P的速度是 6+108=2(单位长度/秒). 当P在线段OB上运动(或O≤t≤3)时, OQ=t,OP=2t,S=t2.
当P在线段BA上运动(或3<t≤8)时, OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t, 如图,做PD⊥OA于点D,
由 PDBO=APAB,得PD= 48-6t5. ∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t.
(3)当S= 485时,∵ 485>12×3×6∴点P在AB上 当S= 485时,- 35t2+245t= 485 ∴t=4
∴PD= 48-6×45= 245,AD=16-2×4=8
AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8- 325= 85 ∴P( 85, 245) M1( 285, 245),M2(- 125, 245),M3( 125,- 245) 点评:
本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象. 5.已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别
0)B(810),,C(0,4),为A(8,,点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD
的路线移动,移动的时间为t秒.
(1)求直线BC的解析式;
2? 7
(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关
(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的系式,并指出自变量t的取值范围;
6.如图,已知△ABC中,ABAC10厘米,BC8厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由; ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等? (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
四边形中的动点问题课后作业
1. 如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.
(1)求证:CD∥AB;
(2)求证:△BDE≌△ACE;
(3)若O为AB中点,求证:OF=
1
BE. 2
2、如图1―4―2l,在边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足A E+CF=a,说明:不论E、F怎样移动,三角形BEF总是正三角形.
3、在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F. (1)求证:ABCF;
(2)当BC与AF满足什么数量关系时, 四边形ABFC是矩形,并说明理由.
D
B
A
C
F
4、如图l-4-80,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过点A作AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF. (1)请证明0E=OF
(2)解答(1)题后,某同学产生了如下猜测:对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,AG交 EB的延长线于 G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,则仍有OE=OF.问:猜测所得结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
5、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD3,DC5,ABB45动点M从B点出发沿线段.
BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒. (1)求BC的长.
(2)当MN∥AB时,求t的值.
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
C
6. 如图所示,有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发,沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
(1)试判断四边形PQEF是正方形并证明。
(2)PE是否总过某一定点,并说明理由。
(3)四边形PQEF的顶点位于何处时,
其面积最小,最大?各是多少?
E
7、已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移
动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
2
(2)设四边形APQC的面积为y(cm),求y与t的
关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t值;不存在,说明理由;