降落伞的选择--论文

降落伞的选择

摘要：

空投物资是一项重要而比较关键性的任务，在用降落伞向灾区空投物资时我们需要考虑到各个方面，例如：降落伞的种类、空投时所需要的的高度、降落到目的地时的速度和每次空投时的费用等问题。本文是关于选购降落伞方案的优化问题。首先我们根据对题目的分析建立优化的目标函数。其次，找出约束条件。然后通过对问题的分析，运用物理学和数学中的微积分方法找出各个关系量之间的关系，如伞在降落过程中的速度与时间的关系、下落高度h 与时间t 的关系、m 与v 的关系、以及速度、加速度与路程的微积分关系。从而确定物体的先加速后匀速的运动状态，根据题目给出的有关数据运用线性最小二乘法，拟合得出空气的阻力系数。再根据降落伞在任意时刻的速度是关于载重质量的严格增函数及在接近地面处达到20米每秒的最大允许速度，求出每种半径的降落伞的最大承受质量以及其单价。最后在满足约束条件和空投要求的条件下，运用数学中的线性规则的方法来建立整数规划的数学模型并利用Lindo 软件求解目标函数。

关键字：空气阻力系数 最大载重量 线性整数规划

一、问题重述

为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg ，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r 的半球面，用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：

每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C 1由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用C 2由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用C 3为200元。

降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用的半径r =3m ，载重m =300kg 的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各个时刻的高度x ，见下表。

试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选) ，在满足空投要求的条件下，使费用最低。 二、问题分析：

问题要求使总费用C 最小，由于受C1、C2、C3的影响，其中C3固定，C1、C2均受伞的半径r 的影响，同时降落伞要受下降空气阻力和个数n 的影响，我

们考虑这些影响因素。 (1)首先我们确定C1、C2：

C1可以由题目中的表1 得出；C2 根据半径r 求出。

(2)其次确定阻力系数K 和降落伞的重大载重量

我们运用运动学中的牛顿第二定律得出

F 合=m g -f 阻，利用数学中有关微积分知识从数学的

角度求解出降落伞在下落的过程中：速度与时间的关系、下落高度与时间的关系、下降过程中m 与v 的关系。

在求解出下落高度与时间的关系后，运用题目中表2的数据利用Matlab 软件拟合出K 。

在求解出速度与时间的关系过程中，我们可以根据F 合=m g -f 阻（其中

f 阻=k v s ），分析出得出降落伞在降落过程中的运动状态：刚开始运动时，降落

伞速度v 增加，则阻力增大，那么加速度a 减小，但仍做加速度运动，即速度v 在不断增大；在某个时刻，会有m g =f 阻，此时加速度a=0,之后降落伞就做匀速直线运动。可以得知在做匀速运动时的速度大小（且v ≤20m s ），从而求出空气阻力系数K 。

在g 、K 、r 已知的情况下我们可以知道载重量只与降落伞的速度有关系，在求解出下降过程中m 与v 的关系时我们看是否可以进一步证明这种关系。

我们假设其它几种降落伞也符合上述的运动规律，求得各种降落伞在速度达到20m/s时的时间和加速阶段下降的高度，然后观察 v是否是随时间先成递增最后变成一定值和加速阶段下降的高度是否小于500m 去验证假设。如果假设成立则可以由 求得每种降落伞单个的最大载重量。 (3) 确定各种降落伞的个数n 和总费用

C

最后我们可以把求得的值代入找到的目标函数，在约束条件下利用Lindo 的软件求解线性整数规划, 得出问题所要的结果。 三、基本假设：

（1）救灾物资2000kg 可以任意分割； （2）降落伞落地时的速度不超过20米每秒； （3）降落伞以及绳索的质量是可以忽略的；

（4）伞在降落过程中，只受到重力和一个可以认为是非重力因素共同作用的合力的空气阻力的作用；

（5）空气阻力的阻力系数k 是定值，且与其他因素无关； （6）环境对降落伞的下降无影响。 四、符号说明：

M （r ） 表示半径为r 伞在满足空投的条件最大的载重量 K 空气阻力系数

t 降落伞从开始下降开始计时的时间 H(t) 降落从降落位置到t 时刻所下降的距离 m 降落伞负重质量 g 重力加速度 s 降落伞伞面面积

n r 选购的半径为r 的降落伞的个数

五、模型的建立及求解 （一）确定空气阻力系数k .

根据题意，降落伞在下降过程中受到重力和空气阻力的作用，而且初速度为0.

kvs ⎧dV (t )

=g -⎪

m ⎨dt

……………………（Ⅰ）

⎪V (0)=0⎩

解得，

-ks

V (t ) =

m g ks

-

m g . e

ks

m

……………………（Ⅱ）

设降落伞从降落位置到t 时刻所下降的距离为H (t ) ，则有

H (t ) =

积分求得

⎰V (t ) dt ……………………（Ⅲ）

t

H (t ) =

mgt ks

+

m g k s

2

2

2-kst

. e

m

-

s

m g k s

2

2

22

………………（Ⅳ）

对给定的r =3米，m =300kg ，取g =9.8m

，s =2πr 2，有数据

处理，得：

作出H (m ) ~t (s ) 的关系图：

从图中可以看出H (m ) ~t (s ) 在后阶段基本是线性关系，即降落伞是作匀速运动。

故可得v ≈17m ，由mg =kvs ，估算出k ≈3.0583

s 另一方面，由

-kst

V (t ) =

m g ks

-

m g . e ks

m

s

2

代入r =3米，m =300kg ，取g =9.8m

，s =2πr 2，k =2.9，作出图二，从中可

以看出V (t ) 一开始的增长是较快的，但由于负项是成负指数衰减的，所以很快就接近极限值

m g ks

至此，在9秒以后是近似匀速运动是可以肯定的了。下面就9秒以后的数据运用最小二乘法进行拟合。

设H (t ) =Vt +b +δ，其中δ符合正态分布 输入：

X= [9 12 15 18 21 24 27 30]

H= [128 183 236 285 340 392 445 499] 调用MATLAB 命令p=ployfit(X,H,1) p= [17.5794 -29.2976]；

所以，v =17.5794（m

s

），

故空气阻力系数K=2.9575

（二）取半径为r 的降落伞在满足空投的条件最大的载重量M （r ）。 由

-kst

V (m ) =

mg ks

-

mg ⋅e

ks

m

知：V(m)是关于m 的增函数。特别的，在给定从500米的高空空投时，降落伞在落地瞬间的速度在给定g 、s 、K ，又有等式约束H (t ) =500，即：

m gt ks

+

m g k s

2

2

2-kst

⋅e

m

-

m g k s

2

2

2

=500

的情况下V(m)是关于m 的增函数。反之，其反函数m （v ）也是关于V 的增函数。所以，要求取半径为r 伞在满足空投的条件最大的载重量M （r ）。就是要在v 去最大值时取得。即取v=20m/s，求出制定半径的M （r ）。即由以下方程组确定：

-kst

⎧

m g m g ⋅e m ⎪V (t ) =-⎪ks ks (V ) ⎨

-kst 22

⎪m gt m g m g

+22⋅e m -22⎪H (t ) =

ks k s k s ⎩

由方程组导出：

⎛ksv ⎫mv 22

⎪H =-m g ⨯ln (VI ) 1-⎪/k s - mg ks ⎝⎭

2

()

如前所述，取H （t ）=500，v =20m s 得到方程：

⎛20⋅ks

-m g ⨯ln 1-

mg ⎝

2

⎫20⋅m 22

⎪=500 (VI ' ) ⎪/k s -

ks ⎭

()

代入参数g=9.8,k=2.9575.

20⋅2. 9575⋅s ⎫20m ⎛222

-9. 8m ⨯ln 1-/2. 9575s -=500 (VII ) ⎪

9. 8m 2. 9575⋅s ⎝⎭

()

由s =2⋅π⋅r

2

，分别代入r=2，r=2.5，r=3，r=3.5，r=4.

调用Matlab 的命令solve 分别解得半径为r 伞在满足空投的条件最大的载重量M （r ）如下：

（三）计算每种伞的单价如下：单位（元）

（四）求最优解

现在每种伞的单价和最大载重量M (r ) 都已经求得，原问题就成了如下一个线性整数规划的问题。

设n r 为选购的半径为r 的降落伞的个数，则有

min {446n 2+596n 2.5+822n 3+1177n 3.5+1562n 4}

⎧⎪152n 2+237n 2.5+341n 3+465n 3.5+607n 4≥2000

⎨………………（Ⅷ） n n n n n 为非负整数⎪⎩2, 2.5, 3, 3.5, 4运用Lindo 软件求解

输入：min 446n 2+596n 2.5+822n 3+1177n 3.5+1562n 4 subject to

152n 2+237n 2.5+341n 3+465n 3.5+607n 4>=2000

end gin 5

结果：n 2=0, n 2.5=0, n 3=6, n 3.5=0, n 4=0 故目标函数C=C1+C2+C3 =822*6=4932（元） 六、模型的检验及推广

检验：在求解空气阻力系数k 时，我们分析数据得出在运动后期降落伞作近似的匀速运动，并以此为前提对数据进行拟合求出了k 下面在问题已经解决后，运用获得的数据对降落伞的运动情况进行检验。如下表：

可以看出M

S

几乎是常数，又有m g =f 阻=kvs 是降落伞后期运动为匀速运动的

s =kv

g

充分必要条件，即m

为常数，而看k ，g 为常数，所以降落伞在运动后期

作近似匀速运动。因此，在求空气阻力系数k 时假设后期运动为近似匀速运动是合理的。

推广：（1）由图二可以看出降落伞加速过程很快就结束，并且变化幅度很大，对给定的伞和给定的承载质量很快就进入接近匀速运动，而且速度与空投高度物基本无关，所以空投高度并不十分重要，只要能保证空投位置准确，高一些投放也是可以的，这样可以降低空投难度。

（2）题目中给的是2000kg 的救灾物资，如果数据有所变动，只需将（Ⅷ）式的第一个约束条件不等号右边的数据做相应的调整。然后在运用Lindo 软件，求解线性整数规划, 得出问题所要的结果。

参考文献：

[1]萧树铁主编，数学实验，高等教育出版社，1999.6

[2]解可新 韩立兴 林友联，最优化方法，天津大学出版社，1997.1 [3]同济大学数学研究室，高等数学（下册），第四版，高等教育出版社，1996.12

[4]张智星 Matlab 程序设计与应用，清华大学出版社，2002.4