黄冈小升初择校典型数学试题解析

黄冈小升初试题选摘

1．有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【分析与解】在lO点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两

针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“是需要时间：50÷(1一 所以，再过54

1”，于12

16)=54． 1211

6

分钟，时针与分针将第一次重合． 11

65

=65分钟，时针1111

第二次重合时显然为12点整，所以再经过(12-10)⨯60-54

与分针第二次重合．

评注：标准的时钟，每隔65

5

分钟，时针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟11

表(机械)的构成：

一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．

所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的

11

．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“”． 1212

2．8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是8时多少分?

【分析与解】 8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x格，那么分针走过40-x格，所以时针、分针共走过x+(40-x)=40格． 于是，所需时间为40÷ 1+

⎛⎝

12121⎫3636=分钟，即在8点分钟为题中所求时刻． ⎪131312⎭

3．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110，七时

前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110．那么此人外出多少分钟?

00

【分析与解】 如下示意图，开始分针在时针左边110位置，后来追至时针右边110位

于是，分针追上了110+110=220，对应

220

格． 6

所需时间为

220⎛1⎫

÷ 1-⎪=40分钟．所以此人外出40分钟． 6⎝12⎭

⎛⎝

1⎫1⎫⎛，有时是将格数除以1-⎪ ⎪，12⎭⎝12⎭

评注：通过上面的例子，看到有时是将格数除以 1+

这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；有时格数是分针追上时针的，对

应速度差．

对于这个问题，大家还可以将题改为:“在9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是0

110”,答案还是40分钟．

4．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米．甲车原来每小时行多少千米? 【分析与解】 方法一：(12+16)÷5=5．6小时，1÷5.6=

5 28

⎛51⎫

AB=5÷ -⎪=420(千米)，420÷6=70(千米)．

⎝286⎭

甲车原来每小时走70⨯

12

=30 (千米)．

12+16

方法二：设甲、乙两人原来的速度分别为x千米／时，y千米／时，那么AC=6x，BC=6y， 在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等，可得方程组：

⎧6x-126y+12⎪x=y+5⎧x=30⎪

,交叉相乘,解得⎨ ⎨

6x+166y-16y=40⎩⎪=⎪y⎩x+5

即甲原来的速度是每小时30千米．

方法三：设第一次改变速度，甲、乙相遇在D点，第二次改变速度，甲、乙相遇在

E

在第二次相遇中，假设走满6小时，甲走到了C点，乙则走到了F点，FC长：5×6=30(千米)，FD长：30-12=18(千米)．

所以乙提速5千米／时后，甲、乙速度比为DC：DF=12：18=2：3．

同样的，在第三次相遇中，假设走满6小时，乙走到了C点，甲则走到了G点，CG长：5×6=30(千米)，EG长：30-16=14(千米)，所以甲提速5千米／时后，甲、乙速度比为EG：CE=14：16=7：8．

2⎧x=⎪y+53⎪

设甲原来速度为x千米／小时，乙原来速度为y千米／小时，则⎨

⎪x+5=7⎪8⎩y

⎧x=30

解得⎨ ．即甲原来的速度为每小时30千米．

y=40⎩

5.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快．两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰．那么甲回到出发点共用多少小时?

【分析与解】将上山甲、乙速度分别记为a、b；则下山时甲、乙速度为1.5a、1.5b．

用h表示山顶到山脚的距离，

h0.5hh+=，即有4b=3a． a1.5ab

h600h-600600h-600

== 由左图知：+即h+;得h=3600米

a1.5ab1.50.75

由右图知：

即山顶到山脚的距离为3600米．

再变回到“甲下山速度是上山速度的1.5倍”．由1

小时后，甲距山脚还有

3600-600=3000米知，甲到山脚还需3000÷(4000⨯1．5)=O.5小时． 所以甲自出发到回到山脚共用1+0.5=1.5小时．

6．男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B．两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米?

【分析与解】开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底B所需时间为110÷5=22秒，此时女运动员才跑了22×3=66米．

现在女运动员的速度不变，还是每秒3米，而男运动员将从B上坡到A，速度变为每秒3米．男、女运动员的距离为110-66=44米，所以当男运动员再跑44÷(3+3)×3=22米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距B地22米，如下图所示．(本题4图所标注数字均是距坡底B的距离数)

所以当女运动员到达坡底B时，男运动员又跑了22米，即到达距B地44米的地方，如下图所示．

此后，女运动员从坡底B上坡到A，速度变为每秒2米，男运动员的速度还是每秒3米，所以当男运动员再跑110-44=66米到达坡顶A时，女运动员才跑了66÷3×2=44米，即距离坡底B地44米的地方，如下图所示．

这时，女运动员的速度不变还是每秒2米，而男运动员的速度变为每秒5米，男、女运动员相距110-44=66米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动员又跑了

1

66÷(5+2)⨯5=47米，如下图所示．

7

即第二次相遇的地点距以点

1

47米． 7

7．某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔． 【分析与解】 设电车的速度为a，行人的速度为b，因为每辆电车之间的距离为定值，设为l．

由电车能在12分钟追上行人l的距离知，走过l的距离知，

1

=12； 由电车能在4分钟能与行人共同a-b

l

=4,所以有l=12(a-b)=4(a+b)，有a=2b，即电车的速度是行人步a+b

行速度的2倍．

那么l=4(a+b)=6a，则发车间隔上：

l6a==6． aa

即发车间隔为6分钟．

8．A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发,甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙．若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少?

【分析与解】 甲以40千米／小时的速度行驶l小时45分钟，行驶了

⎛45⎫

40⨯ 1+⎪=70千米，那么剩下的105-70=35千米为乙在1小时45分钟内行驶的，所以

⎝60⎭

乙的速度为35÷1

又甲、乙再行驶3分钟，那么甲又行驶了40⨯

3

=20千米／小时，如下图所示． 4

33

=2千米，乙又行驶了20⨯=1千6060

米．即在甲、乙相遇3分钟后，乙行驶至距B地35+1=36千米的地方，甲行驶至距A地70+2=72

千米的地方，此地距B地105—72=33千米，如下图所示．

而如果甲以20千米／小时的速度，乙的速度增加2千米／小时至22千米／小时，

那么相遇

点C距B地为：

105

⨯22=55千米，如下图所示．

20+22

那么，当丙与甲相遇在距B地33千米的地方时，乙在距B地36千米的地方，而后丙行驶至C地(距B地55千米)时，乙也在C地，即相遇．

在这段时间内，乙行驶了55-36=19千米，而丙行驶了55-33=22千米，所以丙的速度为20⨯

223

=23千米／小时，如下图所示． 1919

9．从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时

20分后，在第二段从甲到乙方向的

1

处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米? 3

【分析与解】设第一、二、三段公路的长度依次为a、b、c，有a=2c，如下图所示：

易知当另一汽车到达第二、三段交接点处，即行驶的路程为c时，一汽车行驶的路程为

40402

c，而第一段长度为第三段长度的2倍，所以甲行驶至第一段的÷2=a处,如

50550

下图所示．

2311b路程的时间内，一汽车行驶了a+b的距离，同时减去b353313

的里程，则另一汽车行驶了b的路程，一汽车行驶了a的路程．

3531ab

由两汽车行驶的时间相等知=，即a:b=20：81，如下图所示·

4090

所以当另一汽车行驶

设第一段路程为20k，则第二段路程为81k，第三段路程为lOk；

1115

于是，一汽车跑至第二段时，所需时间为20k÷40+⨯81k÷90=1，解得k=

3333

5

而甲乙全程为20k+81k+10k=111k，有111⨯=185．

3

所以甲、乙两市相距185千米．

10.甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加O.5米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 【分析与解】 对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答．

先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题．

甲、乙速度差为8-6=2米／秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈400米，即甲跑了400÷2×8=1600米，乙跑了400÷2×6=1200米．

相遇后，甲的速度变为8-2=6米／秒，乙的速度变为6-0.5=5．5米／秒·显然，甲的速度大于乙，所以仍是甲超过乙．

当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为6-5.5=0.5米／秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多跑一圈400米，于是甲又跑了400÷0.5×6=4800米，乙又跑了400÷0.5×5.5=4400米．

甲第二次追上乙后，甲的速度变为6-2=4米／秒，乙的速度变为5.5-0.5= 5米／秒．显然，现在乙的速度大于甲，所以变为乙超过甲．

当乙追上甲时，甲、乙速度差为5-4=1米／秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈400米，于是甲又跑了400÷1×4=1600米，乙又跑了400÷1×5=2000米．。 这时甲的速度变为4+0.5=4.5米／秒，乙的速度变为5+0.5=5.5米／秒并以这样的速度跑完剩下的全程．

在这过程中甲共跑了1600+4800+1600=8000米，乙共跑了1200+4400+2000=7600米． 甲还剩下10000-8000=2000米的路程，乙还剩下10000-7600=2400米的路程．

显然乙先跑完全程，此时甲还剩下2000-4.5⨯

24004004

==36米的路程．

5.51111

即当领先者到达终点时，另一人距终点36

4

米． 11

评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度.

11.龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米．乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，„„．那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?

【分析与解】 乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟． 兔子如果不休息，则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟． 而兔子休息的规律是跑1、2、3、„分钟后，休息15分钟．

因为15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了5×15=75分钟，即兔子跑到终点所需时间为15．6+75=90．6分钟．

显然，兔子先到达，先乌龟104-90.6=13.4分钟达到终点．

12．A，B两地相距125千米，甲、乙二人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行．丙骑摩托车以每小时63千米的速度，与甲同时从A出发，在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回)．若甲车速度为每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处)，甲、乙二人相距45千米．问：当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米? 【分析与解】我们设乙的速度为9x，即甲的x倍． 当乙、丙第一次相遇的时候，设甲走了“1”，则乙走了“x”，丙走了“7”，

125

所以有“7”+“x”=125，于是“1”=，此时甲、丙相距“7”-“1”=“6”．

7+x“6”“3”“3”“21”

= 这样丙第一次回到甲时，甲又向前行×9=,丙又行了“6”-，

63+9444

“3”3

⨯x=“x”

乙又行了 44

“21”33312537-x

-“x”“=(7-x)”=⨯⨯(7-x)=⨯⨯125 所以，甲、乙此时相距44447+x47+x

千米.

37-x

⨯125千米， 有丙第二次回到甲处的时，125千米的路程相当于百⨯即甲、

47+x⎡3⎛7-x⎫⎤7⎛7-x⎫167-x4

⨯125=45=x=乙相距⎢⨯ ，所以,,解得所以乙=⎪⎥ ⎪47+x7+x5925⎭⎦⎣⎝⎝7+x⎭的速度为9x=9⨯

2

2

7

=7千米／小时． 9

37-x343

⨯45=⨯⨯45=⨯45=27千米． 当第三次甲、丙相遇时，甲、乙相距⨯

47+x455381

当第四次甲、丙相遇时，甲、乙相距⨯27=千米，而题中甲、乙相距20千

55

米，此时应在甲、丙第三次和第四次相遇的某个时刻．

8119

=千米，而甲、乙的速度比为9：7，所以甲从甲、丙第四次相遇 有20-55199171

=处倒退⨯千米即可．

59+780

又因为丙的速度是甲的7倍，所以丙倒退的路程应为甲的7倍，于是甲、丙相171171

⨯(7+1)==17.1千米 距8010

当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距17.1千米.

评注：甲从A地往B地出发，乙从B地往C出发，丙从A地开始在甲乙之间来回往返跑动．

当甲丙第1次相遇时所需的时间为t，(甲、丙同时出发时，算第0次相遇)

则甲丙第2次相遇时还所需的时间为

v丙-v甲v丙-v乙

⨯⨯t

v丙+v甲v丙+v乙

2

⎛v-vv-v⎫

则甲丙第3次相遇时还所需的时间为 丙甲⨯丙乙⎪⨯t

⎝v丙+v甲v丙+v乙⎭

⎛v丙-v甲v丙-v乙⎫

⨯则甲丙第n次相遇时还所需的时间为 ⎪

v+vv+v⎝丙甲丙乙⎭

n-1

⨯t

由此可知,丙在相邻的2次相遇之间所走路程为等比数列.

13．一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽车的速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的

1

，小汽车需倒车的路5

程是大卡车需倒车的路程的4倍．如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时? 【分析与解】

如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒车的车可立即通过．

99⨯4=7.2千米，大卡车倒车的路程为⨯1=1.8千米． 4+14+1

11110

小汽车倒车的路程为50⨯=10千米／小时，大卡车倒车的速度为50⨯⨯=千

5353

小汽车倒车的路程为

米/小时

当小汽车倒车时，倒车需7.2÷10=O.72小时，而行驶过狭路需9÷50=0.18小时，共需0．72 +0．18=0．9小时； 当大卡车倒车时，倒车需1.8÷

1050=0.54小时，而行驶过狭路需9÷=0.54小时，33

共0．54+0．54=1．08／小时．

显然当小轿车倒车时所需时间最少，需0.9小时．

14.在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油．现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车．求甲车所能开行的最远距离． 【分析与解】

甲车尽可能行驶更远，则乙车离开甲车时，应保证甲车还有可行驶24天的汽油．

设此时乙车已行驶了x天，有甲也行驶了x天，乙返程也需要x天，有x+x+x+24=48，所以x=8，即乙车行驶8天后返程．

留下还可行驶8天的汽油，将剩下的24-8-8=8天的汽车给甲车．

所以加上开始的24天的汽油，甲车共得到24+8=32天的汽油．那么甲车单程最多可行驶32÷2=16天．

即甲车所能开行的最远距离为16×200=3200千米．

15．甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?

【分析与解】 设学生步行时速度为“1”，那么汽车的速度为“7”，有如下示意图． 我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校l处，甲班已乘车至距学校7l处．此时甲班下车步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇．

汽车、乙班的距离为7l-l=6l，两者的速度和为7+1=8，所需时间为6l÷8=0.75l，这段时间乙班学生又步行0.75l的路程，所以乙班学生共步行l+0.75l=1.75l后乘车而行．

应要求甲、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以甲班也应在步行1.75l路程后达到飞机场，有甲班经过的全程为7l+1.75l=8.75 l，应为全程．

所以有7l=24÷8.75×7=19.2千米，即在距学校19.2千米的地方甲班学生下车步行，此地距飞机场24-19.2=4.8千米．

即汽车应在距飞机场4.8千米的地方返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场．

5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?

【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．

所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．

16.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?

【分析与解】 设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．

即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．

有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．

即在30分钟后,3人又可以相聚．

17.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长

圈跑道长11千米,中圈跑道长千米,外5431千米.甲每小时跑3千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出82

发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?

【分析与解】 甲跑完一圈需11211÷3=小时,乙跑一圈需÷4=小时,丙跑一圈需5235416

33213÷5=则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为,,的倍数,即840351640

它们的公倍数． 而⎢[2,1,3]=6=6. ⎡213⎤,,⎥=⎣351640⎦35,16,41

所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.

评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；

求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.

18.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？

【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．