高考导数应用题
函数与导数应用题
1. (2007年北京)19.(本小题共13分)
如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r ,短半轴长为的端点在椭圆上,记CD (I )求面积S 以
r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD
=2x ,梯形面积为S
。
x 为自变量的函数式,并写出其定义域;
(II )求面积S 的最大值。
解:(I )依题意,以
AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O -xy (如图),则点C 的横坐标为x .
x 2y 2
+=1(y ≥0) ,
点C 的纵坐标y 满足方程
r 24r 2
解得
y =
r )
1
(2x +2r )
2
S =
=2(x +r ) 其定义域为{x 0
(II )记
f (x ) =4(x +r ) 2(r 2-x 2) ,0
1
r . 2
则
f '(x ) =8(x +r ) 2(r -2x ) .令f '(x ) =0,得x =
因为当0
r r
0;当
22
⎛1⎫
f r ⎪是f (x ) 的最大值. ⎝2⎭
因此,当
x =
1
r 时,S
2
2=r .
2即梯形面积S
的最大值为
2
r . 2
2. (2011苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚
线折起,使得设AE=FB=xcm
ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,
(1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm
2
)最大,试问x 应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V (cm )最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
【解题过程】:设包装盒的高为h (cm ),底面边长为a (cm ),
则a=
x ,h=
(30-x ),0<x <30.
2
3
(1)S=4ah=8x(30-x )=-8(x-15)+1800,0<x <30. ∴当x=15时,S 取最大值. (2)V=ah=2
2
2
(-x +30x),V′=6
3
x (20-x ),0<x <30.
由V′=0得x=20,
当x ∈(0,20)时,V′>0;当x ∈(20,30)时,V′<0; ∴当x=20时,包装盒容积V (cm )最大,
3
此时,
h 1
= a 2
即此时包装盒的高与底面边长的比值是
.
3. (2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘
米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm )满足关系:C (x )=
k
(0≤x ≤10), 3x +5
若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求k 的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
【解题过程】:I . 设隔热层厚度为xcm ,由题设每年能源消耗费用C (x ) =再由C (0)=8,k =40, 故C (x ) =
k
, 3x +5
40
, 而建造费C 1(x ) =6x 3x +5
40800
y =20C (x ) +C 1(x ) =20+6x =+6x , x ∈[0, 10]
3x +53x +5
24002400
'II . f '(x ) =6-, 令f (x ) =0=622
(3x +5) (3x +5) 25
得x =5, x =-(舍)
3
当x ∈(0, 5), f '(x ) 0. 故x =5是函数的最小值点f (5) =70当隔热层修建5cm 厚时,总费用达到最小值70万元
4. (2009年山东)(21)(本小题满分12分)
两县城A 和B 相距20km ,现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距
离有关,对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和,记C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为
y, 统计调查表明:垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的
平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在(1)将y 表示成x 的函数;
的中点时,对城A 和城B 的总影响度为0.065.
(11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧城A 的距离; 若不存在,说明理由。 解法一:(1)如图, 由题意知AC ⊥BC, BC
2
上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小?若存在,求出该点到
=400-x 2, y =
4
k +(0
, 令
其中当
x =y=0.065,所以k=9
y =
49+(0
,
所以y 表示成x 的函数为
(2)
49
y =2+
x 400-x 2
89⨯(-2x ) 18x 4-8(400-x 2) 2
y ' =-3-=
x (400-x 2) 2x 3(400-x 2) 2
y ' =0
得
18x 4=8(400-x 2) 2
, 所以x 2=160
, 即x =, 当0
-x 2) 2, 即y '
调减函数, 当距离为
5. (2011年山东)21. (本小题满分12分)
x 4>8(400-x 2) 2, 即y ' >0所以函数为单调增函数.
所以当x =时, 即当C 点到城A 的
49+(0
时, 函数y =
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为
80π
3
立方米,且l ≥2r . 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为
c (c >3) . 设该容器的建造费用为y 千元.
(Ⅰ)写出
y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .
80π
【解析】(Ⅰ)因为容器的体积为
34πr 380π
+πr 2l =立方米,所以
33
圆
柱
的
侧
面
积
, 解得
l =
804r
-3r 23
, 所以为
804r 160π8πr 2
2πrl =2πr (2-=-
3r 33r 3
(0,
, 两端两个半球的表面积之和为4
πr 2, 所以y =
160π
-8πr 2+4πcr 2, 定义域为r
l 2
).
(Ⅱ)因为
160π
y =-2-16πr
r
'
+
8πcr
=
8π[(c -2) r
3-20]
r 2
, 所以令
y ' >0
得:
r >
; 令
y '
得
:0
所以r =, 该容器的建造费用最小.