必修2--圆与方程知识点归纳总结
圆与方程
1. 圆的标准方程:以点C (a , b ) 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:x 2+y 2=r 2.
2. 点与圆的位置关系:
(1). 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内
d <r ; b.点在圆上
d=r; c.点在圆外
d >r
(2). 给定点M (x 0, y 0) 及圆C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①M 在圆C 内⇔(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2r 2 (3)涉及最值:
① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值
PB min =BN =BC -r PB max =BM =BC +r
② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值
PA min =AN =r -AC PA max =AM =r +AC
思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC )
3. 圆的一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 .
⎛D E ⎫
(1) 当D +E -4F >0时,方程表示一个圆,其中圆心C -, -⎪,半径r =
22⎝⎭
2
2
D 2+E 2-4F
.
2
(2) 当D 2+E 2-4F =0时,方程表示一个点 -
⎛D E ⎫
, -⎪. 22⎭⎝
(3) 当D 2+E 2-4F
注:方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是:B =0且A =C ≠0且
D 2+E 2-4AF 0.
3.1如何利用圆的一半方程判断点和圆的位置关系
3.3轨迹方程
4直线与圆的位置关系:
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 圆心到直线的距离d =
Aa +Bb +C A +B
2
2
1)d >r ⇔直线与圆相离⇔无交点; 2)d =r ⇔直线与圆相切⇔只有一个交点;
3)d
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎨的个数来判断:
(1)当∆>0时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当∆=0时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当∆
⎧Ax +By +C =0
⎩x +y +Dx +Ey +F =0
2
2
求解,通过解