从尤拉公式到空间的平面分割

從尤拉公式到空間的平面分割

宋秉信

摘要:

本文通過具體事例, 介紹拓樸學在初等數學中的應用。把歐拉定理引入初等幾何, 得到定理一。它為“直線分割平面問題”的求解提供一個模式。再將定理一縱向延伸, 也就是將布安加雷定理橫向延伸, 得到定理二。它為“平面分割空間問題”的求解提供了一個模式。

關鍵詞:頂點、面數、稜數、分割。

(一)

1735年夏天的一個晚上, 說:

哥德巴赫

(Goldbach)對歐拉(Euler,Leonhard)

“在我的故鄉, 東普魯士的哥尼斯堡(Konigsberg),有條普雷格爾河(Pregl)。它分成兩叉流進城內, 然後在克內福弗島(Kneiphof)匯集。河面上有七座大橋, 把克內福弗島與兩岸城區相聯。島上有所古老的哥尼斯堡大學。每天傍晚時分, 大學生們都喜歡散步於這七座大橋之間”。說著哥德巴赫在紙上畫了張示意圖。(圖一

)

圖一

“有一天, 有一個大學生和同伴們打賭:看誰能連著一次走遍這七座橋, 每座橋只准走過一次, 既不能重複也不准遺漏”。

“這雖然是一個普通的玩笑, 但是它卻難倒了哥尼斯堡所有的人。連以博學著稱的哥尼斯堡大學的教授們也感到一籌莫展”。

“故鄉的人們寫信找我, 要我幫助解決。我想你也許對這個問題會有興趣”。

歐拉將信從頭到尾認真看了一遍。他認為這絕不是一個普通遊戲, 而是一個頗有價值的數學問題。在以後的思考中, 他首先想到的是德國大數學家萊布尼茲(Leibniz,Got-tfried Wilhelm) 在1679年寫的「幾何特徵」一書。他在研究紮記中寫道:“古希臘研究的幾何學, 是研究幾何量(長度和角度) 大小及其測量方法的學科。萊布尼茲首先提出了幾

54

何學的另一個分支, 即位置幾何學。這個分支至今還很少為人所知。它研究的對象只依賴於物體的相對位置和順序, 而與幾何量的大小無關”。根據這個思想, 他認為兩岸的陸地和河中的小島只是聯結橋樑的節點, 它們的大小與這個問題無關, 所以可以縮成四個點。七座橋是必須經過的路線, 且每條路只允許走過一次, 可抽象成七條線來表示。如圖二。這樣,

C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

. . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . (圖二)

歐拉把一個貌似複雜的實際問題抽象並簡化成圖二的形式, 即通過四個點, 七條線的“一筆畫”問題。而且歐拉從眾多人的失敗中想到, 這樣的走法可能根本就不存在。隨後, 他用MM 方法出色地證實了自己的猜想是正確的。並於1736年完成了題為「哥尼斯堡七橋問題」的著名論文。這篇論文奠定了數學的一個分支—「拓撲學」和「現代圖論」的基礎。在此基礎上歐拉又作出了一個重要貢獻, 這就是人所共知的“多面體公式”。

(二)

歐拉在研究任意的凸多面體時, 發現凸多面體頂點數、稜數與面數之間, 存在著以下的奇妙關係:

從尤拉公式到空間的平面分割55

頂點數V −稜數E +面數F =2。這便是拓樸學中著名的歐拉定理。其中凸多面體中的頂點數、稜數、面數的關係式:V −E +F =2被後人稱之為“歐拉示性數”。

我們知道, 這裡所說的邊可以是彎曲的, 而且都有兩個端點(這兩個端點就是平面圖的頂點, 所謂邊就是兩個頂點之間的連線), 這樣的圖有而且只有一個無限面。

我們現在來研究另一種平面圖, 它是由

一些直線構成的。我們把這種圖叫做直線網。如圖(三) 就是一個由五條直線構成的平面

圖。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

. . . . . . . . . . . . . . . . .

23

(圖三)

定義1:在直線網中, 只有一個端點或沒有端點的邊叫做無限邊。邊界含無限邊的面叫做無限面。

由此可見, 直線網中不只一個無限面。如果直線網中有兩條邊所在的直線相交, 那麼該直線網一定是連通的。不連通的只是那些由互相平行的直線構成的直線網。其頂點數一定是0, 面數比稜數多1。定理一:如果是連通的直線網, 那麼有

V −E +F =1

56數學傳播22卷3期民87年9月

其中V 、E 、F 分別為連通的直線網的頂點數, 邊數和面數。

證明:我們不妨用一個足夠大的圓把直線網中的所有頂點都圈在裡面。結果每條無限邊都必然會與圓有且只有一個交點。因此, 圓上點的個數就是無限邊的條數, 用E ′表示。而E ′個點把圓分成E ′段弧, 這些弧與直線網中的F ′個無限面一一對應。於是有E ′=F ′。抹掉直線網中所有的無限邊, 便得到一個拓樸學中的連通平面圖, 其頂點數、邊數、面數分別為V 、E −E ′、F −F ′+1, 由歐拉定理, 得

V −(E −E ′) +(F −F ′+1) =2, 即V −E +F =1。(證畢) 註:(1)對於不連通的直線網, 也有V −E +F =1, 這是一個很明顯的事實。

(2)歐拉定理對於直線網不成立。定理一僅僅是將歐拉定理加以延伸。

如圖四所示, 它是由7條直線構成的連通的直線網。其中V =16, E =41, F =26, 則有V −E +F =16−41+26=1。

23

. . . . . . .

. 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(圖四)

有了定理一, 為我們求解“直線分割平面”問題提供了一個數學模型。

例1:平面上有n 條直線, 其中任何兩條不平行, 任何三條不過同一點, 證明這n 條直線把平面分成

1

2

n (n −1), E =n 2,

由定理一, 得

F =E +1−V

=n 2+1−

1

22n +

1

2(n 2+n +2) 。

(證畢)

例2:平面上有n 條拋物線, 其中每兩條只相交於兩個點, 並且每三條都不相交於同一點。求證這n 條拋物線把平面分成n 2+1個平面

。

(圖五)

證明:在拓撲學中對於直線與曲線被看成是相同的, 因為它們中的每一條都代表兩點之間的道路。如圖五中直線AB 與曲線CD 。這樣一來, 我們可以把拋物線看作是直

因為

V =

1

2[p (n −p ) +(n −p )(n −1)]

=

1

從尤拉公式到空間的平面分割57

2

(n −p )(p +n −1) +1=p (n −p +1) +(n −p )

·[n −

12

·(n −p )(n −p +1) +1=

1

2[k (n −k ) +(n −k )(n −1)]+1

=

1

2

(n −k )(n +k −1) +1]+1

=k (n −k +2) +

1

(n −k )(n −k +1)

=

1

2

線。

58數學傳播22卷3期民87年9月

體相當的流形有下列關係式, 即布安加雷定理:

u n −1

0−u 1+u 2−···+(−1) u n −1

=1−(−1) n

(n ∈N )

如果在布安加雷定理中令n =4, 並把它嫁接到由一些平面構成的平面網中, 可得到一個新的定理。

定義2:若干個平面把空間分割成n 個部分, 我們把這n 部分空間稱為體。面界如果是含無限面的體, 那麼該體稱之為無限體。定理二:n 個不全平行的平面構成一個平面網, 如果其中有V 個頂點, E 條稜, F 個面, 這些平面把空間分割成S 個部分, 那麼有關係式:

V −E +F −S =−1

成立。

證明:分兩種情況進行討論:

(i)若V =0時, 則構成平面網的所有平面都經過同一條直線, 或者它們的交線互相平行。這時平面網中的稜都是無限稜, 作一個與這些稜垂直的平面, 則在這個平面上必然會出現一個連通的直線網。其頂點數、邊數、面數分別為E 、F 、S 。由定理一知, E −F +S =1。於是有:

V −E +F −S =V −(E −F +S )

=0−1=−1。

ii) 若V =0時, 那麼我們可以用一個足夠大的球面將所有的頂點都罩在這個球面

裡面。結果會在球面上出現一個連通圖, 它可以經過橡皮變形成為一個簡單多面體。當然, 其頂點數、稜數、面數分別等於平面網中的無限稜條數E ′, 無限面個數F ′, 無限體個數S ′。根據歐拉定理, 有E ′−F ′+S ′=2。

我們拿掉所有的無限稜, 便得到一個拓樸學中和簡單多面體相當的流形, 其頂點數、稜數、面數、體數分別為V 、E −E ′、F −F ′、S −S ′+1, 由布安加雷定理, 得V −(E −E ′)+(F −F ′) −(S −S ′+1)=0即

(V −E +F −S ) +(E ′−F ′+S ′) −1=0所以, 有

V −E +F −S =−1。

(證畢)

註:(i)定理中條件是n 個不全平行的平面構成一個平面網。而對於由互相平行的平面構成的平面網, 定理也是成立的。因為這時V =E =0, S =F +1, 所以V −E +F −S =−1。

(ii)用平面α任意分割平面網W , 得到一個新平面網W ′, 結果平面α上有一個直線網。設其面數為F , 又設平面網W 、W ′的體數分別為S 、S ′, 則S ′=S +F 。

例4:空間有任何兩個不平行, 任何三個不共線, 任何四個不共點的n 個平面。求證這n 個平面把空間分割成

1

同一點) 構成的直線網, 其頂點數、邊數、面數分別為:V 0=

1

2[(n −1) 2+(n −1) +2]

=

1

3

nV 0=

1

2nE 0=

1

n (n 22

−n +2) 。根據定理二, 有S =V −E +F +1

=

132(n −2n 2+n )

+1

6

(n 3+5n +6) 。

(證畢)

例5:正十二面體的各個面延伸後, 所得的十二個平面把空間分割成多少個部分?

解:根據題設中的條件知, 十二個平面構成一個平面網, 其中每個平面上都有一個由五對平行直線構成的直線網, 其頂點數、邊數、面數分別為16、50、36。如圖六。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

從尤拉公式到空間的平面分割59

(圖六)

由於直線網中的15個頂點中屬於四條直線的公共點的頂點有5個, 它們中的每一個都是五個平面的公共點。而屬於兩條直線的公共點的頂點有10個, 它們中的每一個都是三個平面的公共點。因此, 可以知道,

V =

1

3

(10×12) =52。

由於正十二面體的各個面延伸後, 任何三個平面都不共線, 因此有:E =

1

6

(n 3+5n +6) =

1

60數學傳播22卷3期民87年9

月

5

1E =

3

(6×20)+

1

(30×20) =274。