专题训练答案

一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）

1．﹣15的相反数是（ ）

A．15

B．﹣15

C．

D．

2．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．下列运算正确的是（ ） A．a10+a5=a2

B．（a3）4=a7

C．（x﹣y）2=x2﹣y2 D．x3（﹣x3）=﹣x6

4．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF， 若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）

A．50° B．60° C．65° D．70° 5．下列说法不正确的是（ ）

A．选举中，人们通常最关心的数据是众数

B．要了解一批烟花的燃放时间，应采用抽样调查的方法

C．若甲组数据的方差S2甲=0.05，乙组数据的方差S2乙=0.1，甲组数据比乙组数据稳定 D．某抽奖活动的中奖率是60%，说明参加该活动10就有6次会中奖 6．不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

7．函数

中自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞﹣3且x≠0 B．x≠0

C．x＞﹣3

D．x≠﹣3且x≠0

8．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则BC长为（ ）

A．2 B．

C．4

D．

9．已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程

=2的解是（ ）

A．5 B．1

C．3

D．不能确定

10．某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路原速返回了b千米（b＜a），再掉头沿原方向加速行驶，则此人离起点的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（ ）

A．

B．

C．

D．

11．观察右图，回答问题：第（ ）个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．

A．18 B．19 C．20 D．21

12．如图，双曲线y=（x＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．过D作DE⊥OA交OA于点E，若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）

A．1 B．2

C．

D．3

二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共12分）

13．地球的表面积约为5.1亿平方千米，其中海洋约占70%，则海洋的面积用科学记数法可表示为 平方千米．

14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，若△ABC中BC边上的中线AM=8，则△DEF中EF边上的中线DN=．

15．七（一）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）：

月均用水量x/m3 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 x＞20 频数/户 12 20

3

频率

0.12

0.07

若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有 户16．如图，△ABC中，∠C是直角，AB=12cm，∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积

是 ．

三、解答题：（本大题共2个小题，共12分）

17．计算：|﹣4|+（﹣1）2013×（π﹣2）0+

﹣（）﹣2

18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的

坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．

（1）画出△AOB沿x轴向右平移2个单位并向上平移1个单位后得到的△A1O1B1，并写出点

A1的坐标；

（2）画出将△A1O1B1绕点O1逆时针旋转90°后得到的△A2O2B2；

（3）求点A运动到点A2所经过的路径长．

四、解答题：（本大题4个小题，每小题0分，共40分） 19．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣

），其中a是方程x2

+x﹣3=0的解．

20．为积极响应市委，我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：

（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．

（3）在投稿篇数为9篇的4个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．

23．游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．

（1）若该游轮每晚获得10000元利润的同时，适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？

（2）春节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于44元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最多？

24．已知矩形ABCD中，AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF于点F，且交AD的延长线于P．连接BF交对角线AC于点O．

（1）若BC=4，tan∠ACB=，求S△DCP的值；

（2）求证：∠AOB=3∠PAF．

3．下列运算正确的是（ ）

A．a10+a5=a2

B．（a3）4=a7

C．（x﹣y）2=x2﹣y2 D．x3（﹣x3）=﹣x6

【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．

【解答】解：A、a15和a5不能合并，故本选项错误；

B、结果是a12，故本选项错误； C、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项错误； D、结果是﹣x6，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法的应用，能根据运算法则求出每个式子的值是解此题的关键，题目比较基础，难度不是很大．

4．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）

A．50° B．60° C．65° D．70° 【考点】平行线的性质；角平分线的定义．

【专题】计算题． 【分析】根据平行线的性质和角平分线性质可求．

【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG，

∴∠BEF=180°﹣50°=130°，

又∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG=∠BEF=65°，

∴∠2=65°． 故选C．

【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等和同旁内角互补这两个性质，以及角平分线的性质．

5．下列说法不正确的是（ ）

A．选举中，人们通常最关心的数据是众数

B．要了解一批烟花的燃放时间，应采用抽样调查的方法

C．若甲组数据的方差S2甲=0.05，乙组数据的方差S2乙=0.1，甲组数据比乙组数据稳定

D．某抽奖活动的中奖率是60%，说明参加该活动10就有6次会中奖 【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；众数；方差．

【分析】根据众数的意义，全面调查与抽样调查的特点，方差的意义，概率的意义对各选项分析判断利用排除法求解．

【解答】解：A、选举中，人们通常最关心的数据是众数，正确，故本选项错误； B、要了解一批烟花的燃放时间，应采用抽样调查的方法，正确，故本选项错误；

C、∵S＜S， ∴甲组数据比乙组数据稳定，正确，故本选项错误；

D、某抽奖活动的中奖率是60%，不能说明参加该活动10就有6次会中奖，因为全体不是10，故本选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．

6．不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C．

D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【专题】计算题．

【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．

【解答】解：，

由①得，x＞﹣2； 由②得，x≤3；

可得不等式组的解集为﹣2＜x≤3，

在数轴上表示为：

故选C．

【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

7．函数

中自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞﹣3且x≠0 B．x≠0

C．x＞﹣3 D．x≠﹣3且x≠0 【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x+3＞0，

解得x＞﹣3．

故选C．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

8．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则BC长为（ ）

A．2

B．

C．4 D．

【考点】圆周角定理；解直角三角形．

【分析】由于AB是直径，则∠C=90°，在Rt△ABC中解直角三角形即可．

【解答】解：∵AB是直径，

∴∠C=90°，即△ABC是Rt△ABC．

∵OA=2， ∴AB=4． ∵∠ABC=30°， ∴BC=ABsin30°=4×=2．

故选B．

【点评】本题考查了圆周角定理和锐角三角函数的概念．

9．已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程=2的解是（ ）

A．5

B．1

C．3

D．不能确定 【考点】解分式方程；关于原点对称的点的坐标．

【专题】计算题．

【分析】根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解．

【解答】解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，

∴

，

解得：＜a＜2，即a=1， 当a=1时，所求方程化为

=2，

去分母得：x+1=2x﹣2，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解， 则方程的解为3．

故选：C

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

10．某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路原速返回了b千米（b＜a），再掉头沿原方向加速行驶，则此人离起点的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象． 【分析】分四段看图象，然后根据每段图象大致位置进行判断．

【解答】解：A、掉头沿原方向加速行驶的图象要比原来的图象更陡，所以A选项错误；

B、休息了一段时间，表明中间有一段图象与横轴平行，所以B选项错误；

C、休息了一段时间，又沿原路原速返回了b千米，由于b＜a，所以没回到出发地，图象与横轴没交点，所以C选项错误；

D、先前进了a千米，对应的图象为正比例函数图象；休息了一段时间，对应的图象为横轴平行的线段；沿原路原速返回了b千米（b＜a），对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而减小且与横轴没交点；掉头沿原方向加速行驶，对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而增大，并且图象更陡，所以D选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了函数图象：利用函数图象能直观地反映两变量的变化规情况．

11．观察右图，回答问题：第（ ）个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．

A．18

B．19

C．20 D．21 【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】本题将规律探索题与方程思想结合在一起，是一道能力题，有的学生可能无法探寻“△”与“○”出现的规律，或者不知道通过列方程解答问题．

【解答】解：观察图形中“△”与“○”出现的规律可以发现，第n个图形中“△”的个数为：n2，“○”的个数为：4n，

根据题意得：n2=5×4n，

解得：n=0（不合题意）或n=20，

故选C．

【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．

12．如图，双曲线y=（x＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．过D作DE⊥OA交OA于点E，若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）

A．1

B．2 C． D．3 【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．

【解答】解：∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，

∴DE∥AB，

∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，

∴DE为Rt△OAB的中位线，

∵△OED∽△OAB， ∴

．

∵双曲线的解析式是y=，

∴S△AOC=S△DOE=k， ∴S△AOB=4S△DOE=2k，

由S△AOB﹣S△AOC=S△OBC=3，得2k﹣k=3，

解得k=2． 故选B．

【点评】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）

13．地球的表面积约为5.1亿平方千米，其中海洋约占70%，则海洋的面积用科学记数法可表示为 3.57×108 平方千米．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】首先利用地球表面积乘以70%计算出海洋的面积，再用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：5.1亿×70%=3.57亿=35700 0000=3.57×108．

故答案为：3.57×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，若△ABC中BC边上的中线AM=8，则△DEF中EF边上的中线DN=6 【考点】相似三角形的性质．

【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为4：3，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求解．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，

∴△ABC中BC边上的中线：△DEF中EF边上的中线=4：3，

∵△ABC中BC边上的中线AM=8， ∴△DEF中EF边上的中线DN=6．

故答案为6．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

15．七（一）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）：

月均用水量x/m3

0＜x≤5

5＜x≤10

10＜x≤15 15＜x≤20 x＞

20

频数/户 12 20 3 频率

0.12

0.07

若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有 560 户．

【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．

【专题】图表型．

【分析】根据=总数之间的关系求出5＜x≤10的频数，再用整体×样本的百分比即可得出答

案．

【解答】解：根据题意得：

=100（户），

15＜x≤20的频数是0.07×100=7（户），

5＜x≤10的频数是：100﹣12﹣20﹣7﹣3=58（户），

则该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有×800=560（户）；

故答案为：560．

【点评】此题考查了用样本估计总体和频数、频率、总数之间的关系，掌握=总数，样本

估计整体=整体×样本的百分比是本题的关键．

16．如图，△ABC中，∠C是直角，AB=12cm，∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB的延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是 2 ．

【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等

于斜边的一半可得BC=AB，然后求出阴影部分的面积=S扇形ABE﹣S扇形BCD，列计算即可得解．

【解答】解：∵∠C是直角，∠ABC=60°， ∴∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴BC=AB=×12=6cm，

∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE， ∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°， ∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC

=S扇形ABE﹣S扇形BCD

=

﹣

=48π﹣12π =36πcm2．

故答案为：36πcm2．

【点评】本题考查了旋转的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．

17．在不透明的口袋中，有五个分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，1，3的完全相同的小球，现从口袋中任取一个小球，将该小球上的数字记为m，把数字m加1作为n代入关于x的一元一次不

等式mx﹣n＞3中，则此一元一次不等式有正整数解的概率是

．

【考点】概率公式；一元一次不等式的整数解．

【分析】

首先由题意可得共有

5

种情况，其中使得关于

x的一元一次不等式mx﹣n＞3中有正整数解的有两种情况，根据概率公式求解即可．

【解答】解：根据题意得：m与n的可能结果有：m=﹣3，n=﹣2；m=﹣2，n=﹣1；m=﹣1，n=0；m=1，n=2；m=3，n=4；

解不等式﹣3x+2＞3，解得x＜﹣，无正整数解； 解不等式﹣2x+1＞3，解得x＜﹣1，无正整数解；

解不等式﹣x＞3，解得x＜﹣3，无正整数解； 解不等式x﹣2＞3，解得x＞5，正整数解有无数个； 解不等式3x﹣4＞3，解得x＞，正整数解有无数个； 所以符合要求的有：m=1，n=2；m=3，n=4；两种情况， 所以此一元一次不等式有正整数解的概率是．

故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

18．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB=

．则正方形ABCD的面积为4+

【考点】正方形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．

【分析】求出△AEB≌△APD，推出∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=135°，求出EP，过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD，

求出BE=

，由勾股定理求出BF=EF=

，求出S△APB+SAPD=+

，S△DPB=×DP×BE=，

即可求出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AE⊥AP，AE=AP=1，

∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAF=∠BAD=90°， ∵∠BAP=∠BAP，

（3）求点A运动到点A2所经过的路径长．

【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图-平移变换． 【分析】（1）根据平移的性质画出图形，得出点A1的坐标； （2）根据旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；

（3）利用弧长公式进而得出线段OA在旋转过程中点A运动到点A2所经过的路径长．

【解答】解：（1）如图所示，△A1O1B1即为所求，A1的坐标（0，4）；

（2）如图所示，△A2O2B2即为所求；

（3）∵△A1O1B1绕点O1逆时针旋转90°后得到的△A2O2B2，

∴∠A1O2A2=90°， ∵A（﹣2，3）， ∴A1O2=AO=

，

∴点A运动到点A2所经过的路径长=

=

．

【点评】此题主要考查了图形的旋转以及弧长计算，得出旋转后对应点位置是解题关键．

四、解答题：（本大题4个小题，每小题0分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

21．先化简，再求值：

÷（a﹣1﹣

），其中a是方程x2+x﹣3=0的解．

【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程x2+x﹣3=0的解得出

a2+a=3，再代入原式进行计算即可． 【解答】解：原式=

÷

=

= =

∵a是方程x2+x﹣3=0的解，

∴a2

+a﹣3=0，即a2

+a=3，

∴原式=．

【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

22．为积极响应市委，市政府提出的“实现伟大中国梦，建设美丽攀枝花”的号召，我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：

（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．

（3）在投稿篇数为9篇的4个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．

【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

【分析】（1）根据投稿6篇的班级个数是3个，所占的比例是25%，可求总共班级个数，利用投稿篇数为2的比例乘以360°即可求解；

（2）根据加权平均数公式可求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，再用总共班级个数﹣不同投稿情况的班级个数即可求解：

（3）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解．

【解答】解：（1）3÷25%=12（个），

×360°=30°．

故投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数为30°；

（2）12﹣1﹣2﹣3﹣4=2（个）， （2+3×2+5×2+6×3+9×4）÷12 =72÷12 =6（篇），

将该条形统计图补充完整为：

（3）画树状图如下：

总共12种情况，不在同一年级的有8种情况， 所选两个班正好不在同一年级的概率为：8÷12=．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．“不览夜景，未到重庆．”乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口．“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．

（1）若该游轮每晚获得10000元利润的同时，适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为多少元？

（2）春节期间，工商管理部门规定游轮船票单价不能低于44元，同时该游轮为提高市场占有

率，决定每晚售出船票数量不少于540张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最多？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．

【分析】（1）设票价应定为x元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润建立

方程求出其解即可；

（2）设每晚获得的利润为W元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润表示出W与x之间的关系，由二次函数的性质求出其解即可； 【解答】解：（1）设票价应定为x元，由题意，得

（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=10000，

解得：x1=80，x2=50．

∵适当控制游客人数，保持应有的服务水准， ∴x=80．

答：为适当控制游客人数，保持应有的服务水准，则票价应定为80元；

（2）设每晚获得的利润为W元，由题意，得 W=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，

=﹣10x2+1300x﹣30000 =﹣10（x2﹣130）﹣30000， =﹣10（x﹣65）2+12250． ∵

，

∴44≤x≤46．

∵a=﹣10＜0，

∴抛物线开口向下，在对称轴x=65的左侧，W随x的增大而增大．

∴x=46时，W最大=8640元．

答：票价应定为46元时，最大利润为8640元．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的顶点式的运用，二次函数的图象的性质及最值的运用，解答时求出解析式是关键．

24．已知矩形ABCD中，AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF于点F，且交AD的延长线于P．连接BF交对角线AC于点O．

（1）若BC=4，tan∠ACB=，求S△DCP的值；

（2）求证：∠AOB=3∠PAF．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．

【分析】（1）根据AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF，可得AP=AC，由BC=4，tan∠ACB=，可求得AB=CD=2，根据勾股定理求出AC=2，再求出PD，用三角形面积公式计算即可；

（2）连接DF，证明△ADF≌△BCF，可知∠DAF=∠CBF，又∠ACB=∠DAC=2∠DAF，运用三角形外角性质易证．

【解答】解：（1）∵AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF，

∴AP=AC，

∵BC=4，tan∠ACB=，

∴AB=2，

根据勾股定理得AC=2，

∴DP=2

﹣4，

∴S△DCP=DPDC=（2

﹣4）×2=2

﹣4；

（2）如右图所示，连接DF，

由（1）易知PF=CF， ∴DF=CF，

∴∠FDC=∠FCD， ∴∠ADF=∠BCF，

在△ADF和△BCF中

∴△ADF≌△BCF，

∴∠DAF=∠CBF，

又∵∠ACB=∠DAC=2∠DAF， ∴∠AOB=∠CBF+∠ACB=3∠DAF．

【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角函数，有一定难度，关键是发现全等三角形，得到边角的等量关系．

五．解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）

25．对于平面直角坐标系中的任意两点A（a，b），B（c，d），我们把|a﹣c|+|b﹣d|叫做A、B两点之间的直角距离，记作d（A，B）

（1）已知O（0，0）为坐标原点，若点P坐标为（﹣1，3），求d（O，P）；

（2）若Q（x，y）在第一象限，且满足d（O，Q）=4，请写出x与y之间满足的关系式，并在平面直角坐标系内画出符合条件的点Q组成的图形；

（3）设M是一定点，N是直线y=mx+n上的动点，我们把d（M，N）的最小值叫做M到直线y=mx+n的直角距离，试求点M（2，﹣1）到直线y=x+3的直角距离．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）根据两点之间的直角距离的定义，结合O、P两点的坐标即可得出结论；

（2）根据两点之间的直角距离的定义，用含x、y的代数式表示出来d（O，Q）=4，结合点Q（x，y）在第一象限，即可得出结论；

（3）由点N在直线y=x+3上，设出点N的坐标为（m，m+3），通过寻找d（M，N）的最小值，得出点M（2，﹣1）到直线y=x+3的直角距离．

【解答】解：（1）根据题意得：d（O，P）=|0﹣（﹣1）|+|0﹣3|=1+3=4．

（2）d（O，Q）=4，即|x|+|y|=4， 又∵Q（x，y）在第一象限，

∴x＞0，y＞0，

∴x与y之间满足的关系式为：x+y=4，

即y=﹣x+4． 画出图形如下．

（3）∵点N在直线y=x+3上， ∴设点N的坐标为（m，m+3），

则：d（M，N）=|2﹣m|+|﹣1﹣（m+3）|=|2﹣m|+|m+4|，

当m＜﹣4时，d（M，N）=﹣2﹣2m＞6； 当﹣4≤m≤2时，d（M，N）=6； 当m＞2时，d（M，N）=2m+2＞6． 故d（M，N）的最小值为6．

答：点M（2，﹣1）到直线y=x+3的直角距离为6．

【点评】本题考查了一次函数的应用、画一次函数的图象以及求含绝对值号的一次方程的最值，解题的关键：（1）套用定义中的公式；（2）套用定义中的公式并结合具体情况画出一次函数图形；（3）分m的不同情况寻找最值．本题属于中档题，难度不大，只要能够读懂题中的新

定义，能够运用定义中给定的公式解决问题即可．

26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；

（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP=DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；

（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x2+x+2），则FE=﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=4EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四边形

CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x

2

+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最

大，并得到此时E点坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n得，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）存在．

抛物线的对称轴为直线x=﹣

=，

则D（，0），

∴CD=

=

=，

如图1，当CP=CD时，则P1（，4）；