陕西人口增长预测
陕西人口增长预测
摘要
人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，人口规模是否合理，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生态环境可持续发展，因此准确预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。运用马尔萨斯人口模型和逻辑模型，利用陕西统计年鉴和陕西省统计局有关数据陕西人口增长的中短期（2020年，2030年）和长期趋势（2050年）做出预测。 关键词：马尔萨斯人口模型，逻辑模型，人口预测，人口统计。
问题重述
人口问题是古今中外人们都十分关心的重要问题。其中最主要的问题是预测人口的数量和结构（各年龄段人口数以及男女性别比）。同济大学编的《高等数学（上）》（第六版）23页第20题就是预测世界人口总数的一个小问题。
近年来陕西的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着陕西人口的增长。
关于陕西人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录就是从《陕西统计年鉴2013（四）：人口》上收集到的部分数据。
试从陕西的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立陕西人口增长的数学模型，并由此对陕西人口增长的中短期（2020年，2030年）和长期趋势（2050年）做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
二、问题分析
陕西人口增长数量的变化和随着时间的发展过程是由很多因素决定的，例如，出生率和死亡率因素、迁入和迁出率因素、人口政策因素、经济因素、文化因素、医疗卫生因素、战争因素、自然环境和灾害因素。然而，出生率和死亡率是直接决定人口增长数量的因素。综合考虑这些因素成为构建符合本题中人口增长预测模型的关键。
建立模型对陕西人口增长数量进行定量预测，就是根据现有的统计资料和给定数据，从实际出发，并对未来的人口数量提出合理的控制要求和假设说明，应用科学的方法，对美国人口数量进行预测。为此，本文根据题目要求首先建立了具有预测性的马尔萨斯（Malthus）指数和Logistic增长模型。
三、问题假设
1）假设题目所给的数据全部真实可靠，可以作为用来建立和检验模型的数据。
2）假设一切自然因素和社会因素相对比较稳定，对总人口增长突然变化影
响微乎其微，可以直接利用题目所给数据建立模型和预测。
四、变量说明
五、模型建立
5.1 数据预处理
由于题目所给的数据的阶段性和不完备性，所以该数据不能准确预测未来人口数量的增长情况，但是基于抽样调查的等概率性，可以认为该数据是真实可效的、可以反映各个阶段的人口数量增长情况。因此，根据题中所给数据，结合建立的数学模型，可以较为准确的预测未来陕西的人口增长数量情况。题中所给数据表见附录a。
5.2 人口增长数量的马尔萨斯（malthus）模型
5.2.1 马尔萨斯（malthus）模型的建立
在任意时刻t，人口的增长速度显然可以用表达式v(t)=lim
t→t0
N(t)-N(t0)
t-t0
来表示，设t0时刻人口数量为N(to)=N0。我们将时间间隔[0, t]分成n 等份。由于人口的增长是连续变化的，在很短的一段时间内人口数量的变化是很小的，
t
增长速度可近似看成是不变的。因此，在第一段时间[0,]内，人口数量满足关
n系式
N(tn)-N0
=kN0
tn
[0,tn]时段内人口的增量为
t⎛t⎫
N ⎪-N0=kN0
n⎝n⎭
t
故时刻人口数量为 n
t⎫⎛t⎫⎛
N ⎪=N0 1+k⎪
n⎭⎝n⎭⎝
⎡t2t⎤
同理，第二时段⎢,⎥末人口的数量为
⎣nn⎦
t⎫⎛2t⎫⎛
N ⎪=N0 1+k⎪
n⎭⎝n⎭⎝
⎡n-1nt⎤
依次类推，可以得到，最后一时段⎢t,⎥末人口的数量为
nn⎦⎣
2
t⎫⎛
N(t)=N0 1+k⎪ （1）
n⎝⎭由于这是一个近似值。因为我们假设了在每一小段时间
⎡i-1it⎤
且等于该时段初始时刻的变t,⎥(i=1,2, ,n)内人口的增长速度是不变的，⎢⎣nn⎦
n
化速度。但这种近似程度将随着小区间的长度的缩小精度越高。若对时间间隔无限细分，就可以得到精确值。所以，经过时间t后人口总数为
tktkt
N(t)=limN0(1+k)n=N0lim(1+)kt=N0ekt （2）
n→∞n→∞nn
n
即种群预测的Malthus模型为：N(t)=N0ekt。 5.2.1 Logistis模型的建立
结合Malthus数学模型的推导，本文建立了符合本题的Logistic模型，其数学表达式为
dN(t)
=KN(t)(M-N(t)) （3） dt
该式中K为常系数，M为人口数量的最大值，N(t)为任意时刻t时人口的数量。整理该式得到N(t)的表达式为
N(t)=当t→∞时，N(t)的表达式为
N0MekM(t-t0)M-N0+N0e
kM(t-t0)
（4）
N(t)=
N0M
N0+(M-N0)e
-kM(t-t0)
即符合本题的Logistic模型为：N(t)=
N0MN0+(M-N0)e
-kM(t-t0)
六、模型求解
6.1.1 malthus 模型的求解
本文结合题中所给实测数据的第一部分，运用计算机MATLAB程序对（2）式进行求解，得到：
6.1.2 logistic模型的求解
结合题中所给实测数据，运用计算机MATLAB程序对（4）式进行求解，得到
七、结果分析
Malthus数学模型在短期预测中具有准确度高，操作简便，容易实现等优势，但是不能准确的预测出人口长期的发展趋势，不具备预测人口长期增长数量的能力。为此，本文对该模型进行了改进与优化，充分考虑影响美国人口增长的各种符合实际情况的因素后，建立了能准确表示出该种群的发展趋势，具备更好的预测能力的Logistic模型。
在人口数量增长的整个过程中，Logistic数学模型可以准确的表示出其增长规律，题中所给的实测数据与Logistic数学模型拟合数据，在误差允许的范围内，几乎一致。
相比较马尔萨斯（malthus），Logistic数学模型误差小，预测更准确。但Logistic数学模型操作繁杂，更适用于中长期预测；在短期人口增长预测中通常选用Malthus数学模型。
八、参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2010 [2] 秦新强.数学模型 西安：西安理工大学，2014
[3] 赵凤群，戴芳，王小侠，肖燕婷.数学实验基础.西安：西安理工大学理学院，2013
[4] 刘卫国.MATLAB程序设计与应用.北京：高等教育出版社，2006
九、附录