分类讨论思想在平行四边形中的应用
2010年4月23日 ,由浙江师范大学携手睿达资优教育举办的首届“睿智大讲坛”全国初中数学名师教学观摩活动在杭州市公益中学隆重举行.来自全国各地的数学名师、特级教师各展风采,为全省的数学教师们奉上了一次数学课堂的盛宴.笔者有幸忝于评课专家之列,全程听取了所有授课名师的示范课例,下面结合浙江省特级教师、金华四中的童桂恒老师的一堂《平行四边形分类讨论》专题研究课的教学过程谈一谈听课的总结与回顾,以期与各位同仁商榷共勉. 引入 画一画：如图1，在边长为1的正方形网格中有A,B,C三点,请你画出以A,B,C为其中三个顶点的平行四边形． 点评 问题的起点较低,学生容易入手,但解决问题的思维要求较高,学生不容易考虑周全,这样的问题情境可以激发学生的求知欲望；由于图形形状的不确定性,引发了需要按一定的标准来讨论解决这个问题的必要性,并顺势点题. 专题探索课最关键一点在于学生能人人参加课堂,参加探索,教师以学生熟悉的格点图作图引入,能瞬间拉近师生之间的距离感,让每个学生都在短时间内集中注意力,进入课堂状态.同时作图虽简单,却无法一言以蔽之,必须分情况展开讨论,这就立刻切中了主题,效率较高. 在学生解答正确的情况下,教师回顾解题过程,总结出找第四点时,一类作图方法是以已知边为平行四边形的边,一类作图方法是以已知边为平行四边形的对角线两种不同情况,学生对分类标准有了初步的认识. 想一想：1.在平行四边形分类讨论问题中,常以什么为分类标准？(如图2) 2.这些平行四边形的面积之间有什么数量关系呢？(面积相等) 点评 通过第一问及时把画图所得的具体探索结果,上升到一般方法的层面,知识由感性认识归纳为理性认识.同时问题的指向性体现教师在课堂教学中的引导作用,学生紧紧跟随教师的引导,从一个内容转向另一个内容的探索.由于在格点图中,计算方便简单,学生可快速通过具体的数值,直观感悟此类平行四边形的一个共同特征,实现从特殊到一般的知识升华． 算一算：(1)如图3，在平面直角坐标系中,若以点A(2,1),B(5,1),C(3,3),D四点为顶点的四边形是平行四边形,请你写出点D的坐标.(点D的坐标为(6,3),(0,3),(4,-1)). (2)如图4，在平面直角坐标系中,若以点A(2,1),B(5,1),C(a,b),D四点为顶点的四边形是平行四边形,请你写出点D的坐标． 点评 课堂进行到此,学生思路已然打开,大脑处于兴奋阶段,此时引入平面直角坐标系,不仅把学生的思维引向更纵深的高层次,更使数与形得到了有机的结合,实现了“形”与“数”的转化；同时两个小题实现步步铺垫,由特殊到一般,层层深入,循序渐进探索出平行四边形四个顶点坐标之间的关系这一更具普遍性的规律,为下一步的变式埋下了伏笔,可谓一举多得. 练一练：如图5，若点C在过点A(2,1)的直线y=2x-3上,点B(5,1),且以A,B,C为其中三个顶点的平行四边形的面积为6,求平行四边形第四个顶点的坐标．点D的坐标为：(6,3),(0,3),(4,-1),(-2,-1)). 点评 通过前面的一系列探索活动,学生已经在头脑中建构起新的知识体系,此时教师出示的练习题正好让可以让学生有一个验证新知的机会,通过这个练习题,一方面学生能及时巩固平行四边形的分类方法,同时结合函数的知识进一步地应用前面所得的方法、规律后,对所学知识有更为深刻的理解和领悟,为自己的知识宝库增加经得起考验的真才实料,此外坐标系中网格的隐藏更加凸显了数学的本质,让学生在纯数学化的领域中作思维的畅�游. 变一变：如图5，在平面直角坐标系中,点A(2,1),B(5,1),点C在直线y=2x-3上运动.问：在直线y=0.5x上是否存在一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点D的坐标；若不存在,请说明理由. 略解：如图6，设点C(a,2a-3),点D(x,y)分下面三类情况： (1)以BC为对角线,即四边形ABDC为平行四边形,得点D(6,3)； (2)以AC为对角线,即四边形ABCD为平行四边形,得点D(-2,-1)； (3)以AB为对角线,若点C在直线AB的上方(a＞2),这时点D不存在；若点C在直线AB的下方(a＜2),这时点D的坐标为(6,3). 综上所述,存在点D,其坐标为(6,3)或(-2,-1),使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边�形. 点评 变式训练是数学解题的魅力所在.这个变式训练出现在课堂的成熟阶段.题目由单动点变为双动点,是对学生综合应用能力的有力考查.在教师的点拨之下,许多学生头脑中建立了解题的基本思路,学生会感觉到虽然教学内容一环扣一环,但本质的方法都是一样的：分类讨论求第四点.教师在讲解时运用了多种方法来确定“第四点”,以对角线为条件分类讨论、作直角三角形求第四点的坐标等,值得一提的是用平移的方法求第四点的坐标,甚至有同学会想到旋转可以吗？让学生体会到一题多解的乐趣和图形变换的强大功能.这么多方法的提炼使课堂的睿智性大大提高,学生都会感觉到自己越变越聪明.教师在讲解过程中对学生渗透了数学中分类思想、方程思想、数形结合思想,思维含量很高. 理一理：1. 已知平行四边形的三个顶点,求第四个顶点,常以什么为分类标准？ 2. 在本节课的学习中,主要运用了哪些数学思想？ 点评 在课堂小结环节,对分类的标准进行综合评述.意在引导学生应用分类讨论思想解决问题,必须保证分类科学、统一,不重复,不遗漏,并力求最简.同时也使学生明确运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.当学生对做到对各种分类标准“心中有数”时,分类讨论便不再令人望而生畏. 一个数学问题是否要分类及如何分类,这种经验的积累是十分重要的.一般情况下,当被研究的问题包含有多种可能的情况,导致我们不能将它们一概而论时,迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论,得出各种情况下相应的结论,而后进行综�合.分类是讨论的前奏,讨论是分类的延续,有了正确的分类,才有完整的讨论.所以,在确定分类思想、学会分类方法的同时,也就默默地渗透了讨论思�想.学生也会意识到各种数学知识、数学思想之间的联系和转化,“你中有我,我中有你”的情况更是经常出现,增加学生解题经验和解题信心. 总评 本节专题复习课,在一定程度上诠释了教师对“有效课堂、睿智课堂”的理解,也给广大教师提供了很好的借鉴.本课例具有以下亮点： 一、教学目标明确,内容选择有针对性,突出数学思想和数学活动的过程. 没有数学思维的活动不是真正意义上的活动,没有一定思维深度的数学活动不是好的数学活动.童老师试图引导学生将具体探索的情形进行抽象与归纳,上升到一个统一的形式来表示的高度. 二、教学设计科学合理,问题设计层次明确围绕为什么要进行分类？怎样分类？分类讨论的参照标准是什么？(即分类的临界点是什么？)来展开讨论的研究的． 什么是分类讨论？分类讨论是:根据某一标准将数学对象分为不同种类,然后分别对它们进行讨论,得出各种情况下相应结论的数学思想方法. 童老师的设计有较强的创新精神,设计逐层深入的问题串：画一画：想一想：算一算：练一练：变一变：理一理：议一议：引导学生有层次地进行探索,
具体表现如下： 1、通过“画一画”寻找第四点的方法：实际上是解决了为什么要进行分类？童老师运用合情推理,从观察和画图的操作,使学生寻找到第四个点． 2、通过“想一想”,让学生从刚才的画图可知点D有三个点,是什么原因导致点D有三个点呢？童老师从对角线的不确定性来进行分类,实际上是解决了怎样进行分类的问题, 3、通过“算一算”, 童老师把刚才的想一想问题放入坐标系来研究,既是问题的提升,又是思想性的体现,即数与形得到了有机的结合,实现了“形”与“数”的转化,把学生的思维引向更高的层次；同时这一题通过层层深入探索出平行四边形四个顶点坐标之间的关系这一更具普遍性的规律,为下面复杂的问题作好了铺垫. 4、通过“练一练”, 童老师是把原问题中的已知三个点变为二个点,使点C的位置出现不确定性,再从面积是6和已知A、B二点的位置,让学生探索按C点的上下两种位置关系来分类讨论,但每种情况又要分类,是二重分类问题,且二重分类讨论时有重叠点,最后的结果还需要排除重叠点,所以分类讨论的要求较高,这样步步深入探究能激活学生的数学思维,产生较好的教学效果. 5、通过“变一变”教师提出的问题有了更高的要求,即前面的练一练,点C由二个点到点C的条件不确定,但通过画草图的尝试,同样可以从对角线分类来发现点C、D的位置,从而解决问题.但此外笔者以为变一变中也可以从图形的结构角度来分类,即可以从线段AB在平行四边中起到的作用来分类,从AB是平行四边形的边和AB是平行四边形的对角线这两个角度来分类： (1)如果AB是边,可以作上下平移出现的二个平行四边来解决； (2)如果AB是对角线,则线段CD必是对角线,只要过AB的中点去探求一条直线与另二条直线相交,且交点在对角线的两旁,这样做也没有脱离教学主题：分类讨论,可能更符合学生的认知策略,只要方便且合理的分类,对学生的认知水平的提高都很有帮助. 当然课堂中教师所涉及到的多种解法的尝试也可以拓展学生的解题思路,培养他们一题多解的良好习惯.三、注重变式探究,渗透分类讨论思想、方程思想、数形结合思想与转化思想 本节课童老师主要从平行四边形判定角度和分类讨论的思想,通过学生自主探究、合作交流把已知三点来寻求第四点得平行四边形,积累一定的数学活动经验后上升到探求已知二点寻求其余二点构造平行四边形,思想性和思维性强,但教师的设计循序渐进符合学生的认知规律产生了较好的课堂效果. 本节课用自主、合作、交流、提高的教学策略：体现出教师是学生学习活动的组织者、引导者和合作者,学生是学习的主人.改变了教师的教学行为和学生的学习行为.为学生提供独立分析问题、解决问题和组内互助的空间,引导学生投入到自主学习、合作交流的教学活动中,通过学生对问题的展示与处理,提出典型或共性的问题,揭示问题处理的共性和数学的本质. 教师注重学生对问题解决后的反思和积累；注重知识的灵活性、综合性,以及知识间的迁移转化；注重方法、规律的总结提升,问题解决的深度和广度,使题目的讲、评更具有针对性,更注重了学生学习的效果.四、教学目标达成度高： 本节课童老师通过(一)创设情境,引入课题；(二)勇于探究,建构新知；(三)拓展提高,创新应用等三个环节的设计,让学生手脑并用,积极思维、动手实践,既获得过程与方法的体验,知识和技能的落实,又获得思维能力的提升. 课堂是教师永远的主阵地.相信在众多和童老师一样,乐于研究课堂、善于研究课堂的名师的引领下,我们数学课堂的未来定会更加美好. 作者简介:姚志敏,民革党员,正教授级中学高级教师、浙江省特级教师、浙江省优秀教研员、浙江省名师名校长工作站导师、绍兴市名师班导师、杭州市名师实习基地导师,曾荣获绍兴市人民政府第二届基础教育教学成果一等奖、市、省教科研成果一、二等奖等. 近几年来一直从事“建构主义理论”指导下的初中数学课例研究和课案分析, 有30多篇教科研论文、案例发表在国家级及国家级核心期刊上,多篇论文被人民大学报刊复印资料转载． 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文