15年广东高职考数学真题卷

2015年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试

一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合M ={1,4}, N ={1,3,5}，则M N =（ ） A. {1} B. {4,5} C. {1,4,5} D. {1,3,4,5} 1.D 【分析】∵M ={1,4}, N ={1,3,5}，∴M N ={1,3,4,5}. 2. 函数f (

x )= ）

A. (-∞, -1] B. [-1, +∞) C. (-∞,1] D. (-∞, +∞) 2.B 【分析】由题意得，1+x …0，∴x …-1. 3. 不等式x -7x +6>0的解集是（ ）

A. (1,6) B. (-∞,1) (6, +∞) C. ∅ D. (-∞, +∞) 3.B 【分析】x -7x +6>0⇔(x -1)(x -6)>0，∴x 6.

22

4. 设a >0且a ≠1，x , y 为任意实数，则下列算式错误的是（ ）

A. a =1 B. a ⋅a =a 4.D 【分析】a

0x y x +y

a x x -y x 2x 2

a =a =a C. y D. ()

a

()

x 2

=a 2x .

5. 在平面直角坐标系中，已知三点A (1, -2), B (2, -1), C (0, -2)，则AB +BC =（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

5.A 【分析】AB +BC =AC =(-1,0) =1.

6. 下列方程的图像为双曲线的是（ ）

A. x -y =0 B. x =2y C. 3x +4y =1 D. 2x -y =2 6.D 【分析】由双曲线的定义可知，只有D 选项为双曲线.

7. 已知函数f (x )是奇函数，且f (2)=1，则⎡⎣f (-2)⎤⎦=（ ） A. -8 B. -1 C.1 D.8

7.B 【分析】∵f (x )是奇函数，且f (2)=1，∴f (-2)=-f (2)=-1，∴⎡⎣f (-2)⎤⎦=

3

3

2222222

(-1)

3

=-1

8. “0log a 3”的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件

8.C 【分析】当0log a 3；∵log a 2>log a 3，∴由对数函数的单调性可知0log a 3的充分必要条件. 9. 若函数f (x )=2sin ωx 的最小正周期为3π，则ω=（ ）

12

B. C.1 D.2 33

2π2=3π，∴ω=. 9.B 【分析】T =ω3

10. 当x >0时，下列不等式正确的是（ ）

44

A. x +„4 B. x +…4

x x 44

C. x +„8 D. x +…8

x x

A.

10.B

【分析】由基本不等式可知，x +号成立.

11. 已知向量a =(sin θ,2), b =(1,cos θ). 若a ⊥b ，则tan θ=（ ）

44…=4，当且仅当x =，即x =2时，等

x x 11

B. C. -2 D.2 22

11.C 【分析】∵a ⊥b ，∴a ⋅b =0，即sin θ+2cos θ=0，∴sin θ=-2cos θ，

sin θ-2cos θ

==-2. ∴tan θ=

cos θcos θ

1

12. 在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 1⋅a 4=，则log 3a 2+log 3a 3=（ ）

3

A. -1 B.1 C. -3 D.3

1

12.A 【分析】log 3a 2+log 3a 3=log 3(a 2⋅a 3)=log 3(a 1⋅a 4)=log 3=-1.

3

A. -

13. 若圆(x -1)+(y +1)=2与直线x +y -k =0相切，则k =（ ） A. ±2

B.

C. ± D. ±4 13.A 【分析】由题意得，圆心为(1, -

1)

d =

2

2

=，解得k =±2.

14. 七位顾客对某商品的满意度（满分为10分）打出的分数为：8,5,7,6,9,6,8. 去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

15.B 【分析】去掉一个最高分和最低分后，所剩数据为8,7 ,6,6,8，所以

x =

8+7+6+6+8

=7.

5

15. 甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班的概率是（ ） A.

1124 B. C. D. 3233

15.C 【分析】记甲班的两名男羽毛球运动员为男1，男2，乙班的两名男羽毛球运动员为男3，男4，所以一共有（男1，男2），（男1，男3），（男1，男4），（男2，男3），（男2，男4），（男3，男4）6种可能，其中来自不同班的有（男1，男3），（男1，男4），（男2，男3），（男2，男4）4种，所以概率为P =

42

=. 63

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.

16. 若等比数列{a n }满足a 1=4, a 2=20，则{a n }的前n 项和S n =.

a 220a 1(1-q n ) 4⨯(1-5n )

16. 5-1 【分析】q ===5，S n ===5n -1.

a 141-q 1-5

n

17. 质检部门从某工厂生产的同一批产品中随机抽取100件进行质检，发现其中5件不合格

品，由此估计这批产品中合格品的概率是 .

17.0.95【分析】由题意可知合格的产品数量为95件，故这批产品中的合格品的概率为

95

=0.95 100

18. 已知向量a 和b 的夹角为

3π

，且|a |=b |=3，则a ⋅b = . 4

18. -3

【分析】a ⋅b =a ⋅b ⋅cos =3⨯(=-3. 2

1

，则3

19. 在△ABC 中，内角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c . 已知a =3, c =1, cos B =

b =

a 2+c 2-b 21

=，将a =3, c =

1代入可得19. 【分析】由余弦定理可得cos B =

2ac 3

b =20. 已知点A (2,1)和点B (-4,3)，则线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距为. 20.5 【分析】k AB =

3-11-1

=-，则线段AB 的垂直平分线的斜率为k ==3，设线

-4-23k AB

段AB 的中点为Q , 则Q 点的坐标为(

2-41+3

, ) ，即Q 点的坐标为(-1, 2) ，设AB 的垂直22

平分线的解析式为y =3x +b ，代入Q 点可得2=3⨯(-1) +b ，即b =5.

三、解答题：本大题共4小题，第21,22,24题各12分，第23题14分，满分50分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

21. 某单位有一块如图所示的四边形空地ABCD ，已知∠A =90，AB =3m，AD =4m,BC =12m，CD =13m.

（1）求cos C 的值；

（2）若在该空地上种植每平方米100元的草皮，问需要投入多少资金？

第21题图15GD1

21. 【解】（1）连结BD ，则△ABD 为直角三角形，

∴BD =

2

2

2

2

（m ），==5

∴BD +BC =25+144=169=13=CD ，∴△CBD 为直角三角形，∠CBD =90，故cos C =

BC 1211

=；（2）∵四边形ABCD 的面积=S △BAD +S △CBD =⨯3⨯4+⨯12⨯5 CD 1322

=36(m 2)，100×36=3600（元），∴种植草皮需要投入资金3600元.

22. 已知函数f (x )=a cos x +（1）求a 的值； （2）若sin θ=

⎛

⎝π⎫⎛π1⎫的图像经过点⎪ , -⎪. 6⎭⎝22⎭

1π

,0

π1-a 11⎛ππ⎫

=-，∴a =1；+⎪=-，即-a sin =-，

62222⎝26⎭

22. 【解】（1）由题意知，a cos

（2）∵sin θ=

1π,0

，∴cos θ==，故 323

ππ1π⎫⎛

. f (θ)=cos θ+⎪=cos θ⋅cos -

sin θ⋅sin =

6666⎝⎭

23. 在等差数列{a n }中，已知a 4=9, a 6+a 7=28. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ；

（3）若b n =

11*

T

4a n -1

23. 【解】（1）设{a n }的公差为d ，则有a 1+3d =9①，a 1+5d +a 1+6d =28，即

n +1(n ∈N *)；②，由①②解得a 1=3, d =2，故a n =a 1+(n -1)d =2（2）2a 1+11d =28

S n =

(3+2n +1)n =n

2

（3）∵b n =(n +2)；

111

==2

a n -1(2n +1)2-14n n +11⎡⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎤1⎛11⎫⎛1

，∴T =b +b +…+b = -=-+-+…+-n 12n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎢4⎝n n +1⎭4⎣⎝12⎭⎝23⎭⎝n n +1⎭⎦

11⎛1⎫

T

24. 已知中心在坐标原点，两个焦点F 1, F 2在x 轴上的椭圆E 的离心率为的焦点与F 2重合. （1）求椭圆E 的方程；

（2）若直线y =k (x +4)(k ≠0)交椭圆E 于C ，D 两点，试判断以坐标原点为圆心，周长等于△CF 2D 周长的圆O 与椭圆E 是否有交点？请说明理由.

42

，抛物线y =16x 5

x 2y 2

24. 【解】（1）设椭圆E 的方程为2+2=1(a >b >0)，因为抛物线y 2=16x 的焦点坐

a b

标为（4,0），所以c =4, F 1(-4,0), F 2(4,0). 又因为

c 4

=

，所以a =5, b ==3，a 5

x 2y 2

+=1；故椭圆E 的方程为（2）因为直线y =k (x +4)过焦点F 所以△CF 2D 的周1，259

长为4a =20.周长为20的圆的半径R =

201010=>3=b ，同时，R =

b