价格成本变化的单种群经济捕获模型

鞍山师范学院学报

Journal o f Anshan Teachers College

2000 03, 2(1) :65-70

价格成本变化的单种群经济捕获模型

刘会民

(鞍山师范学院生物数学研究所, 辽宁鞍山114005)

摘 要:利用常微分方程定性理论的方法讨论了价格成本变化的单种群经济捕获模型. 证明了平衡点的存在性、局部稳定性及极限环的存在性.

关键词:价格; 成本; 平衡点; 极限环

中图分类号:O175. 12 文献标识码:A 文章编号:1008 2441(2000) 01 0065 06

1 模型的建立

设某生物种群在t 时刻密度为x (t) , 而且满足方程

2=rx ln d t x ,

其中r 是内禀增长率, k 是环境最大容纳量.

该生物种群的增长不同于Gompertz 增长, 具有典型的退偿特性.

现在对该生物种群进行开发捕获, 而且假设捕获与种群密度和捕获强度的乘积成正比, 则被开发的生物种群模型为

2=rx ln d t x -qEx ,

其中E 是捕获强度, q 是捕获强度系数. 不失一般性, 本文总设q 1.

文献[1]、[2]讨论了具有单种群增长模型在常数捕获及E 为正常数时的捕获问题, 本文

将在捕获强度的变化率与净利润成正比的假定下, 建立具有退偿增长的生物种群捕获自反馈控制模型

2=rx ln d t x -Ex ,

=d (pEx -cE) , d t

其中p 是该种群的市场价格, c 是单位捕获成本, d 是比例系数.

(1. 2) (1. 1)

因为在需求一定时, 供给量越大, 价格越低; 供给量越小, 价格越高. 并设该生物的市场需

收稿日期:1999 09 16

基金项目:辽宁省教委科研基金资助项目

作者简介:刘会民(1955-) , 男, 辽宁台安人, 鞍山师范学院数学系副教授, 硕士。

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求为常数, 于是我们取市场价格函数为

p (s) =

, a +s

其中s 是该生物的市场投放量, a, b 为正常数. 显然

lim p (s) =s 0

=p max , lim p (s) =0, s ! a

而捕获成本与种群密度有关, 密度越大, 捕获单位生物越容易, 所需成本越低. 设成本函数为c(x ) =

, 假定捕获全部投入市场, 并设d 1. 于是模型(1. 2) 化为x

2=rx ln d t x -xy ,

=xy (-). d t a +xy x

令

R =R 0=

(x , y ) ∀R 2x #0, y #, (x , y ) ∀R 2x >0, y >0,

(1. 3)

由生态学和经济学意义, 我们在R 中研究系统(1. 3). 在R 上, 系统(1. 3) 等价于

=x (rx ln d t x -y ) (a +xy ) , d t =bxy -cy (a +xy ) .

(1. 4)

2 平衡点的讨论

易见, (k , 0) 是系统(1. 4) 的平衡点. 系统(1. 4) 的正平衡点是方程组

rx ln

-y =0, x

(2. 1)

b xy -cy (a +xy ) =0

与f 2:y =-+的交点.

x x c

定理1 当k 时, (k, 0) 是系统(1. 4) 的稳

b b

定结点.

在R 0内的解, 即曲线f 1:y =rx ln

定理2 系统(1. 4) 从正初值出发的任一解均有界. 证明 令M =ma f 1(倾线如图1, 2所示.

, x f 2于B 点B y x 轴于点. ) +1, f 2() +1, 见图1; 或M =e b

f 1(

) +1, f 2(k ) +1, 见图2. 等e

第1期刘会民:价格成本变化的单种群经济捕获模型

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示. 除原点之外OA 、OC 是系统(1. 4) 的轨线段, 当时间t +! 时, 系统(1. 4) 从R 出发的轨倾线f 1上方

线都将进入折线OABCO 所围成区域, 所以定理结论成立.

>k 时, (k , 0) 是全局渐近稳定的. b 定理4 (1) #k 时, 系统(1. 4) 无正平衡点.

b (2) 0

b

, x b b c

(4) 若0#1, x 0>k exp () ;

c c b

, x >max k exp () , x ; 2) 02#1, b c c 2-b

3) 2#1, b , k exp (2)

b c

5) x 2或x 0

b c

(5) 若0

b 1) 1∃2

b c c -b

, x

3) 2#1, , x 0

b c c -b 定理3 当其中x 1, 2=

%2rc 2r

(

2

) -8ar , (x 1

, 0) 分别是f 1, f 2与x 轴的交点, >k 时, f 1与f 2在R 0内无交点, 即b b

(1. 4) 不存在正平衡点(如图1).

证明 (k, 0) , (

b x x c

+-, 则有F(k ) =-0. 由零点定理必存在x 0∀(, x x c k c b b ac b

当

k ) 使得F(x 0) =0, 代入y =rx ln

可得(1. 4) 的正平衡点(x 0, y 0) . 又因为f &2(x ) >0, 而

鞍山师范学院学报 第2卷68

>0, 所以f 2与f 1只有一个交点, 故x 0是F (x ) =0唯一正实根, 即在R 0内系统(1. 4) 存在唯一正平衡点(x 0, y 0) , 且x 0∀(

, k) , y 0∀(0, ) (如图2)

. b e

图1 曲线f 1, f 2的位置关系1图2 曲线f 1, f 2的位置关系2

下面讨论(x 0, y 0) 的稳定性.

系统(1. 4) 在(x 0, y ) 的线性近似系数矩阵为

rx 0(ln -1) (a +x 0y 0) x 0

y 0ac x

因为(x 0, y 0) 满足(2. 1) 且F (x 0) =0, 所以有

T a 11+a 22=rx 0(ln =cx 0

令f 3:y =

-1) (a +x 0y 0) -cx 0y 0x 0

-x 0(a +x 0y 0)

,

-cx 0y 0

-1) -y 0. 2x 0(ln x 0c

-1) , 经计算f 3是一条开口向下的曲线, 且过点(, 0). 当2x (ln 2>1, 即f &3(0x e c c

+0) >f &1(0+0) 时, 在R 0内f 1与f 3相交于唯一点M (k exp (2) , 2exp (2) ) , 如图

c -b b -c c -b

-1) , 即T k exp (2) 时, y 0>02x 0(ln x 0c -b c c 2-b

-1) , 即T >0. 当

有交点, 如图4所示. 于是, 恒有y 0>2x 0(ln x -1) , 即T

0c

令

D a 11a 22-a 12a 21

2+a) =cy 0(a +x 0y 0) (rx 20-rx 0ln x 0

=cy 0(a +x 0y 0) (2a -

0+rx 20) . c

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考察辅助曲线f 4:y =rx -+2a . 令∋ () -8ar , 当∋

c c c

2

的x 有y =rx 2-+2a >0, 所以D >0; 当∋#0即2#8ar 时, f 4与y =0有两个交

c c

2

图3 曲线f 1, f 3的位置关系

1图4 曲线f 1, f 3的位置关系2

%() 2-8ar , x 1∃x 2. 显然当x 1

2rc 2r c

所以D x 2时, f 4(x ) >0, 所以D >0. 于是, 我们得到点, 其横坐标为x 1, 2=

k exp (2) 时, T

c c -b

(3) #1, x 00;

c c -b (4) 0;

c (5) 2>, x 0x 2时, D >0;

b c (6) 2>, x 1

b c

由参考文献[4]可知, 若D 0则(x 0, y 0) 是稳定的焦点或

(1)

结点; 若T >0, D >0, 则(x 0, y 0) 是不稳定的焦点或结点. 由上述(1) -(6) 经复杂计算可证定理结论. 证毕.

定理5 若下列条件之一成立, 则系统(1. 4) 至少存在一个包含(x 0, y 0) 的极限环, 如果仅有一个, 必是稳定的.

, x 0

(2) 2#1, , x 2

b c c -b

) , x 1, (3) 2#1, , x 0

b c -b c (1) 1∃

2

其中x 1, 2=2rc %2r (c ) -8ac (x 1

证明 由定理4知(x 0, y 0) 是不稳定的. 在(x 0, y 0) 足够小的邻域内作包含(x 0, y 0) 的闭曲线 , 系统(1. 4) 凡是与 相遇的轨线均穿过 跑向 的外部, 故 可作为环域G 的内境界线. ,

鞍山师范学院学报 第2卷70

ion 环域定理可知环域G 内至少存在一个包含(x 0, y 0) 的极限环. 如果存在一个, 它必定是稳定的. 证毕.

3 结 论

由前面讨论可知x =k 是最大种群均衡水平, P ma x =获强度最大经济利润.

>k 时, 即-c 单位捕获强度最大利润恒为负. 为此, 无论以何种方式从事该生b a

物种群开发都将亏本, 于是人们逐渐从该生物种群的开发中退出, 直到全部退出, 即捕获投入为零. 此时生物种群自然增长, 最终将趋于平衡态x =k , 即(k, 0) 是全局渐近稳定的.

当

0时, 最大利润为正. 于是吸引着人们为正的经济利润而投入, 即b a

不可能全部退出对该生物种群的开发. 无论种群处于生物学上过度开发或未处于生物学过度

当

开发, 系统最终在(x 0, y 0) 稳定下来, 或围绕(x 0, y 0) 作周期振荡, 种群持续生存. 参考文献:

[1]Clark C W. Mathematical Bionomic[M]2nd ed. New York:John Whiley, 1990. 15-60. [2]陈兰荪. 数学生态学模型与研究方法[M]. 北京:科学出版社, 1991. 58-78. [3]陈兰荪. 非线性生物动力系统[M]. 北京:科学出版社, 1993. 53-60.

[4]张锦炎. 常微分方程几何理论与分支问题[M]. 北京:北京大学出版社, 1987. 30-83.

是最大价格, 则-c 为单位捕a a

Economic Harvesting Model with Variable Price

and Cost for a S ingle Population

LI U Hui min

(I nstitute o f Biomathematics, Anshan Teachers College, Liaoning A nshan 114005)

Abstract:Using method of qualitative theory of ordinary differential equation, studies economic har

vesting model with variable price and c ost for a single population. Local stability and existence of equilib ria and existence of limit cycle are proved.

Key words:Price; Cost; Equilibrum point; Limit c ycle