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n维球体面积体积求解

08-24

对n维球体积公式的推导，物理系的高年级学生一般来说都知道一种巧妙的方法，那就是利用高斯积分∫e^(-x^2)dx=√π,∫dx1……∫dxnexp{-x1^2-……-xn^2}=(π)^n/2……①，对n维球体：x1^2+……+xn^2=R^2,记V(R)=∫dx1……∫dxn=R^nC(n)……②,其中V(R)是半径为R的n维球体的体积，而C(n)是n维单位球体积，对⑤式做微分可得n维球壳体积元为：dV(R)=nC(n)R^(n-1)dR……③，将此结果代入①式可得：π^n/2=∫dx1……∫dxnexp{-x1^2-……-xn^2}=nC(n)∫R^(n-1)exp{-R^2}dR,令R^2=x即可得：π^n/2=nC(n)*1/2*∫dx*x^(n/2-1)e^(-x),积分号里面是一个Γ函数，于是既有π^n/2=n/2*C(n)*Γ(n/2),即C(n)=π^n/[(n/2)*Γ(n/2)],而半径为R的n维球体积公式则为V(R)=R^nC(n)=(πR)^n/[(n/2)*Γ(n/2)],以上所有涉及高斯形式的积分其积分限都为(-∞，+∞)。


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